Квазиконформное отображение

В математическом комплексном анализе квазиконформное отображение , введенное Гречем (1928) и названное Альфорсом (1935) , представляет собой (слабо дифференцируемый) гомеоморфизм между плоскими областями, который в первом порядке переводит малые круги в малые эллипсы с ограниченным эксцентриситетом .

Интуитивно пусть f : D → D ′ — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм между открытыми множествами на плоскости. Если f , непрерывно дифференцируема то она K -квазиконформна, если производная f ограниченным K. в каждой точке отображает окружности в эллипсы с эксцентриситетом ,

Определение

Предположим, : D → D ′ , где D и D ′ — две области в C. f Существует множество эквивалентных определений, в зависимости от требуемой гладкости f . Если f предполагается, что имеет непрерывные частные производные , то f является квазиконформным при условии, что оно удовлетворяет уравнению Бельтрами

{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\mu (z){\frac {\partial f}{\partial z}},

( 1 )

для некоторой комплекснозначной измеримой по Лебегу µ, удовлетворяющей $\sup |\mu |<1$ ( Берс 1977 ). Это уравнение допускает геометрическую интерпретацию. Снабдим D метрическим тензором

ds^{2}=\Omega (z)^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2},

где Ω( z ) > 0. Тогда f удовлетворяет ( 1 ) именно тогда, когда это конформное преобразование из D, снабженное этой метрикой, в область D ′, снабженную стандартной евклидовой метрикой. Функция f тогда называется µ-конформной . В более общем смысле, непрерывную дифференцируемость f можно заменить более слабым условием нахождения f в пространстве Соболева W ^1,2( D ) функций, производные распределения первого порядка которых находятся в L ²( Д ) . В этом случае f должно быть слабым решением ( 1 ). Когда µ почти всюду равна нулю, любой гомеоморфизм из W ^1,2( D ), которое является слабым решением ( 1 ), конформно.

Не обращаясь к вспомогательной метрике, рассмотрим эффект отката по f обычной евклидовой метрики. Результирующая метрика тогда определяется выражением

\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}\left|\,dz+\mu (z)\,d{\bar {z}}\right|^{2}

что относительно фоновой евклидовой метрики $dzd{\bar {z}}$ , имеет собственные значения

(1+|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}},\qquad (1-|\mu |)^{2}\textstyle {\left|{\frac {\partial f}{\partial z}}\right|^{2}}.

Собственные значения представляют собой, соответственно, квадрат длины большой и малой осей эллипса, полученного оттягиванием назад вдоль f единичной окружности в касательной плоскости.

Соответственно, расширение f в точке z определяется выражением

K(z)={\frac {1+|\mu (z)|}{1-|\mu (z)|}}.

(Существенная) верхняя грань K ( z ) определяется выражением

K=\sup _{z\in D}|K(z)|={\frac {1+\|\mu \|_{\infty }}{1-\|\mu \|_{\infty }}}

и называется расширением f .

Определение, основанное на понятии экстремальной длины , следующее. Если существует конечное K такое, что для любого набора Γ кривых в D экстремальная длина Γ не более чем в K раз превышает экстремальную длину { f o γ : γ ∈ Γ }. Тогда f - квазиконформна K .

Если f - квазиконформно K для некоторого конечного K , то f квазиконформно.

Характеристики

Если K > 1, то отображения x + iy ↦ Kx + iy и x + iy ↦ x + iKy оба квазиконформны и имеют постоянную дилатацию K .

Если s > −1, то отображение $z\mapsto z\,|z|^{s}$ квазиконформен (здесь z — комплексное число ) и имеет постоянное расширение $\max(1+s,{\frac {1}{1+s}})$ . Когда s ≠ 0, это пример квазиконформного гомеоморфизма, который не является гладким. Если s = 0, это просто тождественная карта.

Гомеоморфизм 1-квазиконформен тогда и только тогда, когда он конформен. Следовательно, тождественное отображение всегда 1-квазиконформно. Если f : D → D ′ K -квазиконформно и g : D ′ → D ” K ′-квазиконформно, то g o f ′ -квазиконформно KK . Обратный K -квазиконформный гомеоморфизм является K -квазиконформным. Набор 1-квазиконформных отображений образует группу по композиции.

Пространство K-квазиконформных отображений комплексной плоскости в себя, переводящих три различные точки в три заданные точки, компактно.

Теорема об измеримом отображении Римана

Центральное значение в теории квазиконформных отображений в двух измерениях имеет измеримая теорема Римана об отображении , доказанная Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом. Теорема обобщает теорему Римана об отображении конформных гомеоморфизмов в квазиконформные и формулируется следующим образом. Предположим, что D — односвязная область в C , не равная C , и предположим, что µ : D → C измерима по Лебегу и удовлетворяет условию $\|\mu \|_{\infty }<1$ . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм f из D в единичный круг, находящийся в пространстве Соболева W ^1,2( D ) и удовлетворяет соответствующему уравнению Бельтрами ( 1 ) в смысле распределения . Как и в случае с теоремой об отображении Римана, это f уникально до трех вещественных параметров.

Вычислительная квазиконформная геометрия

В последнее время квазиконформная геометрия привлекла внимание из различных областей, таких как прикладная математика, компьютерное зрение и медицинская визуализация. Была разработана вычислительная квазиконформная геометрия, которая расширяет квазиконформную теорию на дискретную среду. Он нашел различные важные применения в анализе медицинских изображений, компьютерном зрении и графике.

См. также

Ссылки

Альфорс, Ларс (1935), «К теории поверхностей суперпозиции», Acta Mathematica (на немецком языке), 65 (1): 157–194, doi : 10.1007/BF02420945 , ISSN 0001-5962 , JFM 61.0365.03 , Zbl 0012.17204 .
Альфорс, Ларс В. (2006) [1966], Лекции по квазиконформным отображениям , Серия университетских лекций, том. 38 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-3644-6 , MR 2241787 , Zbl 1103.30001 , (отзывы о первом издании: MR 0200442 , Збл 1103.30001 ).
Берс, Липман (1977), «Квазиконформные отображения с приложениями к дифференциальным уравнениям, теории функций и топологии», Бюллетень Американского математического общества , 83 (6): 1083–1100, doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14390 -5 , МР 0463433 .
Караман, Петру (1974) [1968], n –мерные квазиконформные (QCf) отображения (пересмотренная редакция), Бухарест / Танбридж Уэллс, Кент : Editura Academiei / Abacus Press, стр. 553, ISBN. 0-85626-005-3 , МР 0357782 , Збл 0342.30015 .
Гретч, Герберт (1928), «О некоторых экстремальных проблемах конформного отображения. I, II.», сообщает о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге. Математико-физический класс (на немецком языке), 80 : 367–376, 497–502, JFM 54.0378.01 .
Хейнонен, Юха (декабрь 2006 г.), «Что такое… квазиконформное отображение?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 53 (11): 1334–1335, MR 2268390 , Zbl 1142.30322 .
Джонс, Гарет Вин; Махадеван, Л. (2013), «Плоская морфометрия, сдвиг и оптимальные квазиконформные отображения» , Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences , 469 (2153): 20120653, Bibcode : 2013RSPSA.46920653J , doi : 10.1098/rspa.2012.0653 , ISSN 1364-5021 .
Лехто, О.; Виртанен, К.И. (1973), Квазиконформные отображения на плоскости , Основные положения математических наук, вып. 126 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. VIII + 258, ISBN 3-540-03303-3 , MR 0344463 , Zbl 0267.30016 (также доступен как ISBN 0-387-03303-3 ).
Морри, Чарльз Б. младший (1938), «О решениях квазилинейных эллиптических уравнений в частных производных», Труды Американского математического общества , 43 (1): 126–166, doi : 10.2307/1989904 , JFM 62.0565. 02 , JSTOR 1989904 , MR 1501936 , Збл 0018.40501 .
Пападопулос, Атанас, изд. (2007), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. I, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 11, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/029 , ISBN 978-3-03719-029-6 , МР 2284826 .
Пападопулос, Атанас, изд. (2009), Справочник по теории Тейхмюллера. Том. II, Лекции IRMA по математике и теоретической физике, 13, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, дои : 10.4171/055 , ISBN 978-3-03719-055-5 , МР 2524085 .
Зорич, В.А. (2001) [1994], «Квазиконформное отображение» , Энциклопедия математики , EMS Press .