Божественные пропорции: рациональная тригонометрия в универсальную геометрию

Божественные пропорции: рациональная тригонометрия в универсальную геометрию
Автор	Норман Дж. Уайлдбергер
Жанр	Математика
Издатель	Дикое яйцо
Дата публикации	2005

Божественные пропорции: рациональная тригонометрия в универсальную геометрию - это книга 2005 года Математика Нормана Дж. Дикогоргера о предлагаемом альтернативном подходе к евклидовой геометрии и тригонометрии , называемой рациональной тригонометрией . Книга выступает за замену обычного основного количества тригонометрии, евклидово расстояния и угла , на расстоянии квадрата и квадрата синуса угла соответственно. Это логически эквивалентно стандартной разработке (поскольку величины замены могут быть выражены с точки зрения стандартных и наоборот). Автор утверждает, что его подход имеет некоторые преимущества, такие как избегание потребности в иррациональных числах .

Книга была «по существу самостоятельно опубликовано» ^{[ 1 ]} Wildberger через свою издательскую компанию Wild Egg. Формулы и теоремы в книге считаются правильной математикой, но претензии о практическом или педагогическом превосходстве в первую очередь продвигаются самим Вилдбергером и получают смешанные отзывы.

Обзор

Основная идея божественных пропорций состоит в том, чтобы заменить расстояния на квадратное евклидовое расстояние , которое Wildberger называет квадрансом , и заменить меры угла на квадраты своих синусов, которые Wildberger называет разбросом между двумя линиями. Божественные пропорции определяют обе эти концепции непосредственно из декартовых координат точек, которые определяют сегмент линии или пару пересеченных линий. Определенные таким образом, они являются рациональными функциями этих координат и могут быть рассчитаны непосредственно без необходимости принимать квадратные корни или обратные тригонометрические функции, необходимые при вычислении расстояний или угла. ^{[ 1 ]}

Для Wildberger, финиста , эта замена имеет предполагаемое преимущество, избегая концепций ограничений и фактической бесконечности, используемых при определении реальных чисел , которые, как утверждает Wildberger, необоснованный. ^{[ 2 ]}^{[ 1 ]} Это также позволяет расширять аналогичные концепции непосредственно от рациональных чисел до других численных систем, таких как конечные поля, использующие те же формулы для квадратных и распространения. ^{[ 1 ]} Кроме того, этот метод позволяет избежать двусмысленности двух дополнительных углов, образованных парой линий, поскольку оба углы имеют одинаковое распространение. Эта система, как утверждается, является более интуитивной и простирается более от двух до трех измерений. ^{[ 3 ]} Однако, в обмен на эти преимущества, каждый теряет аддитивность расстояний и углов: например, если линейный сегмент делится на два, его длина - это сумма длины двух частей, но объединение квадратов произведений - Более сложный и требует квадратных корней. ^{[ 1 ]}

Организация и темы

Божественные пропорции разделены на четыре части. Часть I представляет собой обзор использования квадратных и распространения для замены расстояния и угла, и делает аргумент в пользу их преимуществ. Часть II формализует претензии, сделанные в части I, и доказывает их строго. ^{[ 1 ]} Вместо того, чтобы определять линии как бесконечные наборы точек, они определяются своими однородными координатами , которые могут использоваться в формулах для проверки частоты точек и линий. Как и синус, косинус и касательная заменяются рациональными эквивалентами, называемыми «крестом» и «поворотом», а божественные пропорции разрабатывают различные аналоги тригонометрических идентичностей с участием этих величин, ^{[ 3 ]} в том числе версии пифагорейской теоремы , закон синусов и закон косинусов . ^{[ 4 ]}

Часть III разрабатывает геометрию треугольников и конических секций, используя инструменты, разработанные в двух предыдущих частях. ^{[ 1 ]} Хорошо известные результаты, такие как формула Херона для расчета площади треугольника с его боковых длины или теорема с надписящими углами в той форме, что углы, поднятые аккордом круга из других точек на круге, равны, переформулированы в терминах квадратного и распространенного и тем самым обобщенного в произвольные области чисел. ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]} Наконец, часть IV рассматривает практическое применение в физике и съемках и разрабатывает расширения до более высокого эвклидового пространства и полярных координат . ^{[ 1 ]}

Аудитория

Божественные пропорции не предполагают много математического происхождения в своих читателях, но его многочисленные длинные формулы, частое рассмотрение конечных полей и (после части I) акцент на математической строгости, вероятно, станет препятствиями для популярной аудитории математики . Вместо этого он в основном написан для учителей и исследователей математики. Тем не менее, это также может быть читаемым студентами -математикой и содержит упражнения, позволяющие использовать в качестве основы для курса математики. ^{[ 1 ]}^{[ 6 ]}

Критический прием

Особенностью книги, которая была наиболее положительно получена рецензентами, была ее работа, расширяя результаты в геометрии расстояния и углов до конечных полей. Рецензент Лаура Уисвелл нашла эту работу впечатляющей и была очарована результатом, что наименьшее конечное поле, содержащее Пентагон обычный $\mathbb {F} _{19}$ . ^{[ 1 ]} Майкл Хенл называет расширение геометрии секции треугольника и конического секции на конечные поля, в части III книги «Элегантная теория большой общности», ^{[ 4 ]} И Уильям Баркер также пишет одобрительно об этом аспекте книги, назвав ее «особенно роман» и, возможно, открывая новые направления исследования. ^{[ 6 ]}

Wiswell поднимает вопрос о том, сколько из подробных результатов, представленных без атрибуции в этой работе, на самом деле новое. ^{[ 1 ]} В этом свете Майкл Хенл отмечает, что использование квадратного евклидового расстояния «часто встречается удобным в другом месте»; ^{[ 4 ]} Например, он используется в геометрии расстояний , статистике наименьших квадратов и выпуклой оптимизации . Джеймс Франклин отмечает, что для пространств из трех или более измерений, моделируемых традиционно с использованием линейной алгебры , использование распространения божественными пропорциями не сильно отличается от стандартных методов, включающих точечные продукты вместо тригонометрических функций. ^{[ 5 ]}

Преимущество методов Wildberger, отмеченных Хенлом, состоит в том, что, поскольку они включают только простую алгебру, доказательства легко следить за компьютером и легко подтвердить. Тем не менее, он предполагает, что утверждения книги о большей простоте в общей теории опираются на ложное сравнение, при котором квадратные и разбросы взвешены не против соответствующих классических концепций расстояний, углов и сини, а гораздо более широкий набор инструментов из классических Тригонометрия. Он также отмечает, что для студента с научным калькулятором, формулами, которые избегают квадратных корней и тригонометрических функций, являются не проблемами, ^{[ 4 ]} И Баркер добавляет, что новые формулы часто включают большее количество индивидуальных этапов расчета. ^{[ 6 ]} Хотя несколько рецензентов считали, что сокращение количества времени, необходимого для обучения студентов -тригонометрии, было бы очень желанным ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]}^{[ 7 ]} Пол Кэмпбелл скептически относится к тому, что эти методы фактически ускорят обучение. ^{[ 7 ]} Джерри Леверша сохраняет непредвзятость, написав, что «будет интересно увидеть некоторые учебники, направленные на школьных учеников [которых Wildberger] обещал произвести, и ... контролируемые эксперименты с участием студенческих морских свинок». ^{[ 3 ]} Однако эти учебники и эксперименты не были опубликованы.

Висвелл не убежден утверждением о том, что обычная геометрия имеет основополагающие недостатки, которых избегают эти методы. ^{[ 1 ]} Согласившись с Wiswell, Баркер отмечает, что могут быть и другие математики, которые разделяют философские подозрения Wildberger в бесконечном, и что эта работа должна быть для них большим интересом. ^{[ 6 ]}

Последний вопрос, поднятый несколькими рецензентами,-это инерция: предполагая, что ради аргумента, что эти методы лучше, они достаточно лучше, чтобы сделать стоящие большие индивидуальные усилия по переосмыслению геометрии и тригонометрии в этих терминах и институциональных усилий RE -Работает школьная программа, чтобы использовать их вместо классической геометрии и тригонометрии? Генл, Баркер и Леверша пришли к выводу, что книга не доложила об этом, ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 6 ]} Но Сандра Арлингхаус рассматривает эту работу как возможность для таких областей, как ее математическая география, «которые относительно мало инвестировали в традиционную институциональную жесткость», чтобы продемонстрировать обещание такой замены. ^{[ 8 ]}

Смотрите также

Конфигурация перкса , конечный набор точек и линий в евклидовой плоскости, который не может быть представлен с помощью рациональных координат

Ссылки

^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин ^час ^я ^Дж ^k ^л Wiswell, Laura (июнь 2007 г.), «Обзор божественных пропорций », Материалы Эдинбургского математического общества , 50 (2): 509–510, doi : 10.1017/s0013091507215020 , ProQuest 228292466
^ Gefter, Amanda (2013), «Математика с умолчанием: почему бесконечность должна идти», New Scientist , 219 (2930): 32–35, doi : 10.1016/s0262-4079 (13) 62043-6
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Леверша, Джерри (март 2008 г.), «Обзор божественных масштабов », Математическая газета , 92 (523): 184–186, doi : 10.1017/s0025557200182944 , JSTOR 27821758 , S2CID 125430473
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Генл, Майкл (декабрь 2007 г.), «Обзор божественных пропорций », Американский математический ежемесячный , 114 (10): 933–937, JSTOR 27642383
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в Франклин, Джеймс (июнь 2006 г.), «Обзор божественных пропорций » (PDF) , Математический разведчик , 28 (3): 73–74, doi : 10.1007/bf02986892 , s2cid 121754449
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Баркер, Уильям (июль 2008 г.), «Обзор божественных масштабов » , Обзоры MAA , Математическая ассоциация Америки
^ Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Кэмпбелл, Пол Дж. (Февраль 2007 г.), «Обзор божественных пропорций », Mathematic Magazine , 80 (1): 84–85, doi : 10.1080/0025570x.2007.11953460 , JSTOR 27643001 , S2CID 2185433799
^ Арлингхаус, Сандра Л. (июнь 2006 г.), «Обзор божественных пропорций » , Солнцестояние: электронный журнал географии и математики , 17 (1), HDL : 2027.42/60314

[wiswell-1] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон ^глин ^час ^я ^Дж ^k ^л Wiswell, Laura (июнь 2007 г.), «Обзор божественных пропорций », Материалы Эдинбургского математического общества , 50 (2): 509–510, doi : 10.1017/s0013091507215020 , ProQuest 228292466

[gefter-2] Gefter, Amanda (2013), «Математика с умолчанием: почему бесконечность должна идти», New Scientist , 219 (2930): 32–35, doi : 10.1016/s0262-4079 (13) 62043-6

[leversha-3] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Леверша, Джерри (март 2008 г.), «Обзор божественных масштабов », Математическая газета , 92 (523): 184–186, doi : 10.1017/s0025557200182944 , JSTOR 27821758 , S2CID 125430473

[henle-4] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Генл, Майкл (декабрь 2007 г.), «Обзор божественных пропорций », Американский математический ежемесячный , 114 (10): 933–937, JSTOR 27642383

[franklin-5] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в Франклин, Джеймс (июнь 2006 г.), «Обзор божественных пропорций » (PDF) , Математический разведчик , 28 (3): 73–74, doi : 10.1007/bf02986892 , s2cid 121754449

[barker-6] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Баркер, Уильям (июль 2008 г.), «Обзор божественных масштабов » , Обзоры MAA , Математическая ассоциация Америки

[campbell-7] Подпрыгнуть до: ^а ^{беременный} Кэмпбелл, Пол Дж. (Февраль 2007 г.), «Обзор божественных пропорций », Mathematic Magazine , 80 (1): 84–85, doi : 10.1080/0025570x.2007.11953460 , JSTOR 27643001 , S2CID 2185433799

[arlinghaus-8] Арлингхаус, Сандра Л. (июнь 2006 г.), «Обзор божественных пропорций » , Солнцестояние: электронный журнал географии и математики , 17 (1), HDL : 2027.42/60314

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]