Родовое свойство

В математике свойства, которые справедливы для «типичных» примеров, называются родовыми свойствами . Например, общее свойство класса функций — это свойство, которое верно для «почти всех» этих функций, как в утверждениях «Общий многочлен не имеет корня в нуле» или «Общая квадратная матрица обратимый ». Другой пример: общее свойство пространства — это свойство, которое выполняется «почти во всех» точках пространства, как в утверждении: «Если $f : M \to N$ — гладкая функция между гладкими многообразиями , то общая точка $N$ не является критическим значением $f$ ». (Это по теореме Сарда .)

В математике существует множество различных понятий «общего» (то, что подразумевается под «почти все»), а также соответствующие двойственные понятия «почти нет» ( незначительное множество ); два основных класса:

В теории меры родовое свойство — это свойство, которое выполняется почти всюду , при этом двойственное понятие имеет нулевое множество , что означает «с вероятностью 0».
В топологии и алгебраической геометрии родовое свойство — это свойство, которое сохраняется на плотном открытом множестве или, в более общем смысле, на остаточном множестве , причем двойственное понятие представляет собой нигде не плотное множество или, в более общем смысле, на скудном множестве .

Есть несколько естественных примеров, когда эти понятия не тождественны. ^{[ 1 ]} Например, множество чисел Лиувилля является общим в топологическом смысле, но имеет нулевую меру Лебега. ^{[ 2 ]}

В теории меры

В теории меры родовое свойство — это свойство, которое выполняется почти всюду . Двойственное понятие — это нулевое множество , то есть множество нулевой меры.

По вероятности

В теории вероятности родовое свойство — это событие, которое происходит почти наверняка , то есть оно происходит с вероятностью 1. Например, закон больших чисел гласит, что выборочное среднее почти наверняка сходится к генеральному среднему значению. Это определение в случае теории меры, специализированной для вероятностного пространства.

В дискретной математике

В дискретной математике термин «почти все» используется для обозначения коконечных (все, кроме конечного числа), сосчетных (все, кроме счетного числа), для достаточно больших чисел или, иногда, асимптотически почти наверняка . Эта концепция особенно важна при изучении случайных графов .

В топологии

В топологии и алгебраической геометрии родовое свойство — это свойство, которое сохраняется на плотном открытом множестве или, в более общем смысле, на остаточном множестве (счетном пересечении плотных открытых множеств), при этом двойственное понятие представляет собой замкнутое, нигде не плотное множество , или, в более общем смысле, ( на остаточном множестве. скудное множество счетное объединение нигде не плотных замкнутых множеств).

Однако одной лишь плотности недостаточно для характеристики родового свойства. Это можно увидеть даже в действительных числах , где как рациональные числа, так и их дополнения, иррациональные числа, плотны. Поскольку не имеет смысла говорить, что и множество, и его дополнение демонстрируют типичное поведение, и рациональные, и иррациональные числа не могут быть примерами множеств, достаточно больших, чтобы быть типичными. Следовательно, мы полагаемся на более сильное определение, приведенное выше, которое подразумевает, что иррациональные числа типичны, а рациональные — нет.

Для приложений, если свойство сохраняется в остаточном наборе , оно может не выполняться для каждой точки, но небольшое его возмущение обычно приводит к тому, что одна из них оказывается внутри остаточного набора (из-за нигде плотности компонентов скудного набора), и, таким образом, это наиболее важный случай, который следует рассматривать в теоремах и алгоритмах.

В функциональных пространствах

Свойство является общим в C ^р если набор, содержащий это свойство, содержит остаточное подмножество в C ^р топология . Здесь С ^р — функциональное пространство членами которого являются непрерывные функции с r непрерывными производными от многообразия M до многообразия N. ,

Пространство С ^р( M , N ), C ^р отображения между M и N , является пространством Бэра , следовательно, любое остаточное множество плотно . Именно это свойство функционального пространства делает родовые свойства типичными .

В алгебраической геометрии

Алгебраические разновидности

Свойство неприводимого алгебраического многообразия X называется истинным в общем случае, если оно справедливо, за исключением собственного замкнутого по Зарискому подмножества X , другими словами, если оно выполняется на непустом открытом по Зарисскому подмножестве. Это определение согласуется с приведенным выше топологическим, поскольку для неприводимых алгебраических многообразий любое непустое открытое множество плотно.

Например, по критерию регулярности Якобиана точка общего положения многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой. (Это утверждение известно как общая гладкость .) Это верно, поскольку критерий Якобиана можно использовать для нахождения уравнений для негладких точек: это именно те точки, в которых матрица Якобиана точки X не имеет полного ранга. . В нулевой характеристике эти уравнения нетривиальны, поэтому они не могут быть верны для каждой точки многообразия. Следовательно, множество всех нерегулярных точек X является собственным замкнутым по Зарисскому подмножеством X .

Вот еще один пример. Пусть f : X → Y — регулярное отображение двух алгебраических многообразий. Для каждой точки y из Y рассмотрим размерность слоя f над y , то есть dim f ⁻¹( у ). Как правило, это число является постоянным. Оно не обязательно везде одинаково. Если, скажем, X — раздутие Y в некоторой точке, а f — естественная проекция, то относительная размерность f равна нулю, за исключением раздутой точки, где она равна dim Y — 1.

Говорят, что некоторые свойства имеют очень общий характер . Часто это означает, что основное поле несчетно и что это свойство истинно, за исключением счетного объединения собственных подмножеств, замкнутых по Зарисскому (т. е. свойство справедливо на плотном G _δ множестве ). Например, это понятие очень общего возникает при рассмотрении рациональной связности . Однако другие определения очень общего могут встречаться и встречаются в других контекстах.

Общая точка

В алгебраической геометрии общая точка алгебраического многообразия — это точка, координаты которой не удовлетворяют никакому другому алгебраическому соотношению, кроме тех, которым удовлетворяет каждая точка многообразия. Например, общая точка аффинного пространства над полем $k$ — это точка, координаты которой алгебраически независимы над $k$ .

В теории схем , где точки являются подмногообразиями, общей точкой многообразия является точка, замыканием которой для топологии Зарисского является все многообразие.

Типовое свойство — это свойство общей точки. Оказывается, что для любого разумного свойства оно истинно в общей точке подмногообразия (в смысле истинности для открытого плотного подмножества) тогда и только тогда, когда это свойство истинно в общей точке. Такие результаты часто доказываются с использованием методов пределов аффинных схем, разработанных в EGA IV 8.

Общее положение

Родственным понятием в алгебраической геометрии является общее положение , точное значение которого зависит от контекста. Например, на евклидовой плоскости три точки общего положения не лежат на одной прямой . Это связано с тем, что свойство неколлинеарности является общим свойством конфигурационного пространства трех точек в R. ².

В вычислимости

В вычислимости и алгоритмической случайности бесконечная строка натуральных чисел $f\in \omega ^{\omega }$ называется 1-генерическим , если для любого в.п. множества $W\subseteq \omega ^{<\omega }$ , или $f$ имеет начальный сегмент $\sigma$ в $W$ , или $f$ имеет начальный сегмент $\sigma$ такое, что каждое расширение $\tau \succcurlyeq \sigma$ находится не в W. 1-генерики важны для вычислимости, поскольку многие конструкции можно упростить, рассматривая соответствующий 1-генерик. ^{[ 3 ]} Некоторые ключевые свойства:

1-генерик содержит каждое натуральное число в качестве элемента;
Ни один 1-генерик не является вычислимым (или даже ограниченным вычислимой функцией);
Все 1-дженерики $f$ являются обобщенно низкими : $f'\equiv _{\mathrm {T} }f\oplus \varnothing '$ .

1-генеричность связана с топологическим понятием «генеричность» следующим образом. Пространство Бэра $\omega ^{\omega }$ имеет топологию с базовыми открытыми множествами $[\sigma ]=\{f:\sigma \preccurlyeq f\}$ для каждой конечной строки натуральных чисел $\sigma \in \omega ^{<\omega }$ . Тогда элемент $f\in \omega ^{\omega }$ является 1-генерическим тогда и только тогда, когда оно не находится на границе какого-либо открытого множества. В частности, 1-генерики должны соответствовать каждому плотному открытому множеству (хотя это строго более слабое свойство, называемое слабо 1-генериком ).

Результаты универсальности

Теорема Сарда : если $f\colon M\to N$ является гладкой функцией между гладкими многообразиями , то точка общего положения N не является критическим значением f критические значения f представляют собой нулевое множество в N. –
Критерий Якобиана / общая гладкость : общая точка многообразия над полем нулевой характеристики является гладкой.
Управляемость и наблюдаемость линейных стационарных систем являются общими как в топологическом смысле, так и в смысле теории меры. ^{[ 4 ]}

Ссылки

^ Хант, Брайан Р.; Калошин, Вадим Ю. (2010). Распространенность . Справочник по динамическим системам. Том. 3. С. 43–87. дои : 10.1016/s1874-575x(10)00310-3 . ISBN 9780444531414 .
^ Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория | СпрингерЛинк . Тексты для аспирантов по математике. Том. 2. дои : 10.1007/978-1-4684-9339-9 . ISBN 978-1-4684-9341-2 .
^ Соаре, Роберт И. (2016), «Сводимость по Тьюрингу» , Вычислимость по Тьюрингу , Теория и приложения вычислимости, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 51–78, doi : 10.1007/978-3-642-31933-4_3 , ISBN 978-3-642-31932-7 , получено 1 ноября 2020 г.
^ Полдерман, Ян Виллем; Виллемс, Ян К. (1998). Введение в теорию математических систем | СпрингерЛинк . Тексты по прикладной математике. Том. 26. дои : 10.1007/978-1-4757-2953-5 . ISBN 978-1-4757-2955-9 .

Виггинс, Стивен (2003), Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-00177-7
Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека классики Wiley, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , doi : 10.1002/9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9 , МР 1288523

[1] Хант, Брайан Р.; Калошин, Вадим Ю. (2010). Распространенность . Справочник по динамическим системам. Том. 3. С. 43–87. дои : 10.1016/s1874-575x(10)00310-3 . ISBN 9780444531414 .

[2] Окстоби, Джон К. (1980). Мера и категория | СпрингерЛинк . Тексты для аспирантов по математике. Том. 2. дои : 10.1007/978-1-4684-9339-9 . ISBN 978-1-4684-9341-2 .

[3] Соаре, Роберт И. (2016), «Сводимость по Тьюрингу» , Вычислимость по Тьюрингу , Теория и приложения вычислимости, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 51–78, doi : 10.1007/978-3-642-31933-4_3 , ISBN 978-3-642-31932-7 , получено 1 ноября 2020 г.

[4] Полдерман, Ян Виллем; Виллемс, Ян К. (1998). Введение в теорию математических систем | СпрингерЛинк . Тексты по прикладной математике. Том. 26. дои : 10.1007/978-1-4757-2953-5 . ISBN 978-1-4757-2955-9 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]