Серия ускорения

В математике ускорение серии наборов преобразований последовательностей для повышения скорости сходимости серии является одним из . Методы для серии ускорения часто применяются в численном анализе , где они используются для улучшения скорости численной интеграции . Методы серии ускорения также могут быть использованы, например, для получения различных идентичностей на специальных функциях . Таким образом, преобразование Эйлера, применяемое к гипергеометрическому серии, дает некоторые из классических, хорошо известных идентификаторов гипергеометрических серий.

Определение

Учитывая последовательность

S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

имея предел

\lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,

Ускоренная серия - это вторая последовательность

S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

который сходится быстрее к $\ell$ чем исходная последовательность, в том смысле, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.

Если исходная последовательность расходящейся , преобразование последовательности действует как метод экстраполяции в антилимит $\ell$ .

Сопоставления от оригинала в преобразованную серию могут быть линейными статьи (как определено в преобразовании последовательности ) или нелинейным. В целом, нелинейные преобразования последовательности имеют тенденцию быть более мощными.

Обзор

Две классические методы для ускорения серии - это трансформация серии Эйлера ^{[ 1 ]} и трансформация Каммера серии . ^{[ 2 ]} В 20-м веке было разработано множество гораздо более быстро сходящихся и специальных инструментов, в том числе экстраполяция Ричардсона , представленные Льюисом Фраем Ричардсоном в начале 20-го века, но также известным и использованным Катахиро Такебе в 1722 году; процесс дельты Айткена , введенный Александром Айткеном в 1926 году, но также известный и использованный Такаказу Секи в 18 веке; Метод Эпсилона, данное Питером Винном в 1956 году; Levin U-Transform; и метод Уилф-Эйлбергера -хада или метод WZ .

Для чередующихся серий , несколько мощных методов, предлагающих скорости конвергенции из $5.828^{-n}$ до конца $17.93^{-n}$ для суммирования $n$ Термины описаны Cohen et al . ^{[ 3 ]}

Трансформация Эйлера

Основным примером преобразования линейной последовательности , предлагающей улучшенную конвергенцию, является преобразование Эйлера. Он предназначен для применения к чередующейся серии; это дано

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}

где $\Delta$ оператор переходной разницы , для которого есть формула

(\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.

Если оригинальная серия, с левой стороны, только медленно сходится, прямое различия, как правило, станут небольшими довольно быстро; Дополнительная мощность двух дополнительно улучшает скорость, с которой сходится правая сторона.

Особенно эффективной численной реализацией преобразования Эйлера является преобразование Ван Вийнгаарден . ^{[ 4 ]}

Конформные отображения

Серия

S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

может быть написан как $f(1)$ , где функция f определяется как

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.

Функция $f(z)$ может иметь особенности в сложной плоскости ( филиала сингулярности , поляки или важные особенности ), которые ограничивают радиус сходимости серии. Если точка $z=1$ близко или на границе диска сходимости, серия для $S$ сходится очень медленно. Затем можно улучшить сходимость серии с помощью конформного картирования , которое перемещает сингулярности так, чтобы точка отображается на карту с $z=1$ заканчивается глубже в новом диске конвергенции.

Конформное трансформация $z=\Phi (w)$ нужно выбрать так, чтобы $\Phi (0)=0$ и один обычно выбирает функцию, которая имеет конечную производную при w = 0. Можно предположить, что $\Phi (1)=1$ без потери общности, так как всегда может изменить W , чтобы переопределить $\Phi$ Полем Затем мы рассмотрим функцию

g(w)=f(\Phi (w)).

С $\Phi (1)=1$ , у нас есть $f(1)=g(1)$ Полем Мы можем получить серии расширения $g(w)$ Поместив $z=\Phi (w)$ в серии расширение $f(z)$ потому что $\Phi (0)=0$ ; первый $n$ Условия расширения серии для $f(z)$ даст первое $n$ Условия расширения серии для $g(w)$ если $\Phi '(0)\neq 0$ Полем Поставка $w=1$ Таким образом, в этой серии расширение приведет к серии, так что, если оно сходится, оно будет сходиться к тому же значению, что и оригинальная серия.

Нелинейные преобразования последовательности

Примерами таких нелинейных преобразований последовательностей являются приблизительные средства PADé , преобразование хвостовиков и преобразования последовательности Левина .

Особенно нелинейные преобразования последовательности часто обеспечивают мощные численные методы для суммирования дивергентных серий или асимптотических рядов , которые возникают, например, в теории возмущений и могут использоваться в качестве высокоэффективных методов экстраполяции .

Метод AITKEN

Простым нелинейным преобразованием последовательности является метод экстраполяции AITKEN или дельта-квадрат,

\mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }

определяется

s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.

Это преобразование обычно используется для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности; ЭРИСТИЧЕСКИЙ, это устраняет самую большую часть абсолютной ошибки .

Смотрите также

Ссылки

^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.27» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математическая серия. Тол. 55 (девятая перепечатка с дополнительными исправлениями десятой оригинальной печати с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью -Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 Полем LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.26» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математическая серия. Тол. 55 (девятая перепечатка с дополнительными исправлениями десятой оригинальной печати с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью -Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 Полем LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Анри Коэн , Фернандо Родригес Виллегас и Дон Загеер , « Ускорение конвергенции чередующейся серии », Экспериментальная математика , 9 : 1 (2000) Стр. 3.
^ William H. Press, et al. , Численные рецепты в C , (1987) Кембриджское университетское издательство, ISBN 0-521-43108-5 (см. Раздел 5.1 5.1).

C. Brezinski и M. Redivo Zaglia , методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия, 1991.
GA Baker Jr. и P. Graves-Morris, Padé Abstracmants , Cambridge Up, 1996.
Вейсштейн, Эрик В. "Улучшение сходимости" . MathWorld .
Herbert HH Homeier: скалярные преобразования последовательности типа Левина , журнал вычислительной и прикладной математики, вып. 122, нет. 1–2, стр. 81 (2000). Homeier, HHH (2000). «Скалярные преобразования последовательности типа Левина». Журнал вычислительной и прикладной математики . 122 (1–2): 81–147. Arxiv : Math/0005209 . Bibcode : 2000jcoam.122 ... 81H . doi : 10.1016/s0377-0427 (00) 00359-9 . , arxiv : математика/0005209 .
Brezinski Claude и Redivo-Zaglia Michela: «Генезис и ранние события процесса Эйткена, Трансформация Хэнкс, $\epsilon$ -алгоритм и связанные с ними методы фиксированной точки », Численные алгоритмы, том 80, № 1, (2019), стр.11-133.
Delahayse JP: «Sipqurece Copications», Spring Pletection, Berlin, ISBL 978-354015285285285 (1988).
Sidi Avram: «Методы векторной экстраполяции с приложениями», SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
Brezinski Claude, Redivo-Zaglia Michela и Saad Yousef: «Преобразования последовательности Шенкса и ускорение Андерсона», Siam Review, Vol.60, № 3 (2018), стр. 646–669. doi: 10.1137/17m1120725.
Брезинский Клод: «Воспоминания Питера Винна », Численные алгоритмы, том 80 (2019), стр. 5-10.
Brezinski Claude и Redivo-Zaglia Michela: «Экстраполяция и рациональная приближение», Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

Внешние ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.27» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математическая серия. Тол. 55 (девятая перепечатка с дополнительными исправлениями десятой оригинальной печати с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью -Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 Полем LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[2] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.26» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математическая серия. Тол. 55 (девятая перепечатка с дополнительными исправлениями десятой оригинальной печати с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью -Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 Полем LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[3] Анри Коэн , Фернандо Родригес Виллегас и Дон Загеер , « Ускорение конвергенции чередующейся серии », Экспериментальная математика , 9 : 1 (2000) Стр. 3.

[4] William H. Press, et al. , Численные рецепты в C , (1987) Кембриджское университетское издательство, ISBN 0-521-43108-5 (см. Раздел 5.1 5.1).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]