Многозначная функция
Множественная функция (или соответствие ) — это математическая функция, которая отображает элементы из одного набора, области определения функции , в подмножества другого набора. Множественные функции используются в различных математических областях, включая оптимизацию , теорию управления и теорию игр .
В некоторых источниках функции с множеством значений также известны как многозначные функции. [ 1 ] но здесь и во многих других ссылках по математическому анализу - многозначная функция это многозначная функция f , которая обладает дополнительным свойством непрерывности , а именно тем, что выбор элемента в множестве определяет соответствующий элемент в каждом наборе для y, близкого к x определяет , и, таким образом, локально обычную функцию.
Примеры
[ редактировать ]argmax . функции, как правило, многозначен Например, .
Многозначный анализ
[ редактировать ]Множественный анализ — это исследование множеств в духе математического анализа и общей топологии .
Вместо того, чтобы рассматривать наборы только точек, множественный анализ рассматривает наборы множеств. Если набор множеств наделен топологией или наследует соответствующую топологию из основного топологического пространства, то можно изучать сходимость множеств.
Большая часть многозначного анализа возникла в результате изучения математической экономики и оптимального управления , частично как обобщение выпуклого анализа ; термин « вариационный анализ » используется такими авторами, как Р. Тиррел Рокафеллар и Роджер Дж. Б. Уэтс , Джонатан Борвейн и Адриан Льюис , а также Борис Мордухович . В теории оптимизации сходимость аппроксимирующих субдифференциалов к субдифференциалу важна для понимания необходимых или достаточных условий для любой точки минимизации.
Существуют многозначные расширения следующих понятий точечного анализа: непрерывность , дифференциация , интеграция , [ 2 ] теорема о неявной функции , сжимающие отображения , теория меры , теоремы о неподвижной точке , [ 3 ] оптимизация и теория топологических степеней . В частности, уравнения обобщаются на включения , а дифференциальные уравнения - на дифференциальные включения .
Можно выделить несколько концепций, обобщающих непрерывность , таких как свойство замкнутого графа и верхняя и нижняя полунепрерывность. [ а ] . Существуют также различные обобщения меры на мультифункции.
Приложения
[ редактировать ]Многозначные функции возникают в теории оптимального управления , особенно в дифференциальных включениях и связанных с ними предметах, таких как теория игр , где теорема Какутани о неподвижной точке для многозначных функций была применена для доказательства существования равновесий Нэша . Это, среди многих других свойств, слабо связанных с аппроксимируемостью верхних геминепрерывных мультифункций с помощью непрерывных функций, объясняет, почему верхняя геминепрерывность более предпочтительна, чем нижняя геминепрерывность.
Тем не менее, полунепрерывные снизу мультифункции обычно обладают непрерывными выборками, как указано в теореме выбора Майкла , которая дает другую характеристику паракомпактных пространств. [ 4 ] [ 5 ] Другие теоремы выбора, такие как направленный непрерывный выбор Брессана-Коломбо, теорема об измеримом выборе Куратовского и Рилла-Нардзевского , измеримый выбор Ауманна и выбор Фрышковского для разложимых отображений, важны в оптимальном управлении и теории дифференциальных включений .
Примечания
[ редактировать ]- ^ Некоторые авторы используют термин «полунепрерывный» вместо «полунепрерывный».
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Реповш, Душан (1998). Непрерывные выборки многозначных отображений . Павел Владимирович. Семенов. Дордрехт: Клювер Академик. ISBN 0-7923-5277-7 . ОСЛК 39739641 .
- ^ Ауманн, Роберт Дж. (1965). «Интегралы от множественных функций» . Журнал математического анализа и приложений . 12 (1): 1–12. дои : 10.1016/0022-247X(65)90049-1 .
- ^ Какутани, Шизуо (1941). «Обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке». Математический журнал Дьюка . 8 (3): 457–459. дои : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .
- ^ Эрнест Майкл (март 1956 г.). «Непрерывные выборки. I» (PDF) . Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. дои : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 .
- ^ Душан Реповш ; П.В. Семенов (2008). «Эрнест Михаэль и теория непрерывного выбора». Приложение топологии . 155 (8): 755–763. arXiv : 0803.4473 . дои : 10.1016/j.topol.2006.06.011 . S2CID 14509315 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- К. Даймлинг, Многозначные дифференциальные уравнения , Вальтер де Грюйтер, 1992 г.
- CD Aliprantis и KC Border, Бесконечный размерный анализ. Путеводитель для автостопщика , Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 г.
- Дж. Андрес и Л. Горневич, Топологические принципы неподвижной точки для краевых задач , Kluwer Academic Publishers, 2003 г.
- Ж.-П. Обен и А. Челлина, Дифференциальные включения, многозначные отображения и теория жизнеспособности , Grundl. дер Мат. Висс. 264, Шпрингер-Ферлаг, Берлин, 1984 г.
- Ж.-П. Обен и Х. Франковска , Многозначный анализ , Биркхойзер, Базель, 1990.
- Д. Реповш и П.В. Семенов, Непрерывные выборки многозначных отображений , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 1998.
- ЕС Тарафдар и МСР Чоудхури, Топологические методы для многозначного нелинейного анализа , World Scientific, Сингапур, 2008 г.
- Митрой, Ф.-К.; Никодим, К.; Вонсович, С. (2013). «Неравенства Эрмита-Адамара для выпуклых многозначных функций» . демонстрация Математическая 46 (4): 655–662. дои : 10.1515/dema-2013-0483 .