Преинтуиционизм
В философии математики преинтуиционисты Л. — это имя, данное Дж. Брауэром нескольким влиятельным математикам, которые разделяли схожие взгляды на природу математики. Этот термин был введен Брауэром в его лекциях в Кембридже в 1951 году , где он описал различия между своей философией интуиционизма и ее предшественниками: [1]
Совершенно иной направленности [от «старой формалистической школы» Дедекинда , Кантора , Пеано , Цермело , Кутюра и т. д.] была доинтуиционистская школа, руководимая главным образом Пуанкаре , Борелем и Лебегом . Эти мыслители, кажется, придерживались модифицированной точки зрения наблюдения за введением натуральных чисел , за принцип полной индукции [...] Для них, даже для таких теорем, которые были выведены с помощью классической логики, они постулировали существование и точность независима от языка и логики и считала ее непротиворечивость несомненной даже без логических доказательств. Однако для континуума они, похоже, не искали истоков, строго внешних по отношению к языку и логике.
Знакомство с натуральными числами
[ редактировать ] | В этом разделе есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
Пре-интуиционисты, по определению Л. Дж. Брауэра , отличались от формалистской точки зрения по нескольким причинам: [1] особенно в отношении введения натуральных чисел или того, как натуральные числа определяются/обозначаются. Для Пуанкаре определение математической сущности — это конструкция самой сущности, а не выражение лежащей в ее основе сущности или существования.
Это означает, что ни один математический объект не существует без его построения человеком, как в уме, так и в языке.
Принцип полной индукции
[ редактировать ]Это чувство определения позволило Пуанкаре спорить с Бертраном Расселом по поводу Джузеппе Пеано аксиоматической теории натуральных чисел .
Пеано Пятая аксиома гласит:
- Позвольте это; ноль обладает свойством P ;
- И; Если каждое натуральное число меньше числа x обладает свойством P, x также обладает свойством P. то
- Поэтому; натуральное число обладает свойством P. каждое
Это принцип полной индукции , который устанавливает свойство индукции , необходимое для системы. Поскольку аксиома Пеано так же бесконечна , как и натуральные числа , трудно доказать, что свойство P действительно принадлежит любому x , а также x + 1. Что можно сделать, так это сказать, что если после некоторого количества n испытаний, которые показывают свойство P сохраняется в x и x + 1, то мы можем заключить, что оно будет оставаться верным после n + 1 испытаний. Но это сама по себе индукция. И, следовательно, этот аргумент вызывает вопрос .
Исходя из этого Пуанкаре утверждает, что если нам не удастся установить непротиворечивость аксиом Пеано для натуральных чисел, не впадая в цикличность, то принцип полной индукции не будет доказуем с помощью общей логики .
Таким образом, арифметика и математика вообще не аналитичны , а синтетически . Таким образом, логицизм отвергается, а интуиция удерживается. Пуанкаре и преинтуиционисты разделяли понимание разницы между логикой и математикой, которая связана не только с языком , но и с самим знанием .
Споры по поводу исключенной середины
[ редактировать ]Именно за это утверждение, среди прочих, Пуанкаре считали близким к интуиционистам. Однако, по мнению Брауэра , пре-интуиционисты не смогли зайти настолько далеко, насколько это необходимо, в отделении математики от метафизики, поскольку они все еще использовали principium tertii exclusi (« закон исключенного третьего »).
Принцип исключенного третьего действительно приводит к некоторым странным ситуациям. Например, такие утверждения о будущем, как «Завтра будет морское сражение», пока не кажутся ни истинными, ни ложными . Таким образом, возникает некоторый вопрос, должны ли утверждения быть истинными или ложными в некоторых ситуациях . Интуиционисту это кажется таким же нестрогим, как и порочный круг Пеано .
Однако для пре-интуиционистов это все равно что смешивать яблоки и апельсины. Для них одно дело была математика (путаное изобретение человеческого разума, т. е . синтетическое), а другое — логика (аналитическая).
Другие преинтуиционисты
[ редактировать ]Приведенные выше примеры включают только работы Пуанкаре , однако Брауэр назвал и других математиков пре-интуиционистами; Борель и Лебег . Другие математики, такие как Герман Вейль (который в конце концов разочаровался в интуиционизме, чувствуя, что он налагает чрезмерные ограничения на математический прогресс) и Леопольд Кронекер, также сыграли свою роль, хотя Брауэр не цитирует их в своей окончательной речи.
На самом деле Кронекер, пожалуй, самый известный из пре-интуиционистов благодаря своей единственной и часто цитируемой фразе: «Бог создал натуральные числа; все остальное — дело рук человека».
Кронекер идет почти в противоположном направлении от Пуанкаре, веря в натуральные числа, а не в закон исключенного третьего. Он был первым математиком, выразившим сомнение в отношении неконструктивных доказательств существования , утверждающих, что что-то должно существовать, потому что можно показать, что это «невозможно» не существовать.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Луицен Эгбертус Ян Брауэр (под редакцией Аренда Хейтинга , Собрание сочинений , Северная Голландия, 1975, стр. 509.
Ссылки
[ редактировать ]- Логические извилины - краткая статья Яна Сраатхофа о различных атаках Брауэра на аргументы преинтуиционистов о принципе исключенного третьего.
- Доказательство и интуиция - статья о многих разновидностях знания, касающихся интуициониста и логика.
- Кембриджские лекции Брауэра по интуиционизму , в которых Брауэр говорит о доинтуиционистской школе и обращается к тому, что он считает ее многочисленными недостатками.