Матрица Манина

В математике матрицы Манина , названные в честь Юрия Манина, представившего их примерно в 1987–88 годах, ^[1]^[2]^[3] — это класс матриц с элементами в необязательно коммутативном кольце , которые в определенном смысле ведут себя как матрицы, элементы которых коммутируют. В частности, для них существует естественное определение определителя , большинство линейной алгебры, теорем таких как правило Крамера , теорема Кэли-Гамильтона и для них справедливо и т. Д. Любая матрица с коммутирующими элементами является матрицей Манина. Эти матрицы имеют приложения в теории представлений , в частности, в тождестве Капелли , янгианских и квантовых интегрируемых системах .

Матрицы Манина являются частными примерами общей конструкции Манина «некоммутативных симметрий», которую можно применить к любой алгебре.С этой точки зрения они являются «некоммутативными эндоморфизмами» алгебры полиномов C [ x ₁ , ... x _n ].Взяв (q)-(супер)-коммутирующие переменные, получим (q)-(супер)-аналоги матриц Манина, тесно связанных с квантовыми группами. Работы Манина находились под влиянием квантовой теории групп .Он обнаружил, что квантованная алгебра функций Fun _q (GL) может быть определена требованием, чтобы T и T ^т одновременно являются q-матрицами Манина.В этом смысле следует подчеркнуть, что (q)-матрицы Манина определяются только половиной отношений родственной квантовой группы Fun _q (GL) и этих отношений достаточно для многих теорем линейной алгебры.

Определение

Контекст

Матрицы с общими некоммутативными элементами не допускают естественной конструкции определителя со значениями в основном кольце, и основные теоремы линейной алгебры не выполняются. Существует несколько модификаций теории детерминантов: Определитель Дьедонне , который принимает значения в абелианизации K ^*/[ К ^*, К ^*] мультипликативной группы K ^* заземляющего кольца К ; и теория квазидетерминантов . Но аналогия между этими определителями и коммутативными определителями не полная. С другой стороны, если рассмотреть некоторые конкретные классы матриц с некоммутативными элементами, то найдутся примеры, где можно определить определитель и доказать теоремы линейной алгебры, очень похожие на их коммутативные аналоги. Примеры включают: квантовые группы и q-детерминант; матрица Капелли и определитель Капелли ; суперматрицы и Березиниан .

Матрицы Манина — это общий и естественный класс матриц с необязательно коммутативными элементами, которые допускают естественное определение определителя и обобщения теорем линейной алгебры.

Формальное определение

размера n на m Матрица M с элементами M _ij над кольцом R (не обязательно коммутативная) является матрицей Манина, если все элементы в данном столбце коммутируют и если для всех i , j , k , l выполняется условие [ M _ij , M _kl ] знак равно [ M _kj , M _il ]. Здесь [ a , b ] обозначает ab − ba ) коммутатор a b и ( . ^[3]

Определение лучше видно из следующих формул.Прямоугольная матрица M называется матрицей Манина, если для любой подматрицы размера 2×2, состоящей из строк i и k и столбцов j и l :

{\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{ij}&\cdots &M_{il}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}

имеют место следующие коммутационные соотношения

ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(entries in the same column commute) }}

ad-da=cb-bc,~~~{\text{(cross commutation relation)}}.

Повсеместное распространение матриц Манина 2 × 2

Ниже представлены примеры проявления свойства Манина в различных очень простых и естественных вопросах, касающихся матриц 2×2. Общая идея заключается в следующем: рассмотрим хорошо известные факты линейной алгебры и посмотрим, как ослабить предположение о коммутативности матричных элементов так, чтобы результаты сохранялись истинными. Ответ: тогда и только тогда, когда M — матрица Манина. ^[3] Доказательством всех наблюдений является прямая проверка в одну строку.

Рассмотрим матрицу 2×2. $M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.$

Наблюдение 1. Кодействие на плоскости.
Рассмотрим кольцо полиномов C [ x ₁ , x ₂ ] и предположим, что матричные элементы a , b , c , d коммутируют с x ₁ , x ₂ .Определите y ₁ , y ₂ по

{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.

Тогда y ₁ , y ₂ коммутируют между собой тогда и только тогда, когда M — матрица Манина.

Доказательство:

[y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2}+[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.

Требуя, чтобы это значение было равно нулю, мы получаем отношения Манина.

Наблюдение 2. Кодействие на суперплоскости.
Рассмотрим алгебру Грассмана C [ ψ ₁ , ψ ₂ ] и предположим, что матричные элементы a , b , c , d коммутируют с ψ ₁ , ψ ₂ .Определим φ ₁ , φ ₂ как

{\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.

Тогда φ ₁ , φ ₂ являются переменными Грассмана (т.е. антикоммутируют между собой и φ _i²=0) тогда и только тогда, когда M — матрица Манина.

Наблюдения 1,2 справедливы для общих матриц Манина размера n × m .Они демонстрируют оригинальный подход Манина, описанный ниже (обычные матрицы следует рассматривать как гомоморфизмы колец полиномов, тогда как матрицы Манина являются более общими «некоммутативными гомоморфизмами»).Обратите внимание, что генераторы полиномиальной алгебры представлены в виде векторов-столбцов, а алгебры Грассмана — в виде векторов-строок, то же самое можно обобщить на произвольную пару двойственных алгебр Кошуля и связанных с ними общих матриц Манина.

Наблюдение 3. Правило Крамера . Обратная матрица задается стандартной формулой

M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

тогда и только тогда, когда M — матрица Манина.

Доказательство:

{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{if and only if }}M{\text{ is a Manin matrix}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\0&ad-cb\end{pmatrix}}.

Наблюдение 4. Теорема Кэли–Гамильтона . Равенство

M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}=0

выполняется тогда и только тогда, когда M — матрица Манина.

Наблюдение 5. Мультипликативность определителей.

тот ^{столбец}( MN ) = оно ^{столбец}( M )det( N ) выполняется для всех комплексных матриц N тогда и только тогда, когда M является матрицей Манина.

Где это ^{столбец} Матрица 2×2 определяется как ad − cb , т.е. элементы из первого столбца ( a , c ) стоят первыми в произведениях.

Концептуальное определение. Понятие «некоммутативных симметрий»

По словам Ю. Согласно идеологии Манина, любой алгебре можно сопоставить определенную биалгебру ее «некоммутативных симметрий (т.е. эндоморфизмов)». В более общем смысле паре алгебр A , B можно сопоставить ее алгебру «некоммутативных гомоморфизмов» A и B. между Эти идеи естественным образом связаны с идеями некоммутативной геометрии .Рассмотренные здесь матрицы Манина являются примерами этой общей конструкции, применяемой к полиномиальным алгебрам C [ x ₁ , ... x _n ].

Область геометрии касается пространств, а область алгебры, соответственно, алгебр, мостом между двумя областями является привязка к каждому пространству алгебры функций на нем, которая является коммутативной алгеброй.Многие понятия геометрии можно переписать на языке алгебр и наоборот.

Идею симметрии G пространства V можно рассматривать как действие G на V , т.е. существование отображения G× V -> V.Эту идею можно перевести на алгебраический язык как существование гомоморфизма Fun(G) $\otimes$ Fun(V) <- Fun(V) (поскольку обычно отображения между функциями и пространствами идут в противоположных направлениях).Также могут быть составлены отображения пространства в себя (они образуют полугруппу), следовательно, двойственный объект Fun(G) является биалгеброй .

Наконец, можно взять эти два свойства за основу и дать чисто алгебраическое определение «симметрии», которое можно применить к произвольной алгебре (не обязательно коммутативной):

Определение. Алгебра некоммутативных симметрий (эндоморфизмов) некоторой алгебры A — это биалгебра End(A) такая, что существуют гомоморфизмы, называемые кодействием :

$coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,$

которое естественным образом совместимо с коумножением.Наконец, End(A) должна удовлетворять только отношениям, вытекающим из вышеизложенного, и никаким другим отношениям, т. е. это универсальная кодействующая биалгебра для A .

Кодействие следует мыслить как двойственное действию G× V -> V , поэтому оно и называется кодействием . Совместимость отображения коумножения с отображением кодействия двойственна g (hv) = (gh) v . Эту совместимость можно легко написать.

факт, что эта конструкция, примененная к алгебре многочленов C [ x1 _{Несколько удивительным является тот} ,..., xn _] , даст не обычную алгебру матриц Mat _n (точнее, алгебру функций на ней), а гораздо большую некоммутативную алгебра матриц Манина (точнее, алгебра, порожденная элементами M _ij .Точнее, справедливы следующие простые предложения.

Предложение . Рассмотрим алгебру полиномов Pol = C [ x ₁ ,..., x _n ] и матрицу M с элементами из некоторой алгебры EndPol .Элементы $y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol$ коммутируют между собой тогда и только тогда, когда M — матрица Манина.

Следствие. Карта $x_{i}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}$ является гомоморфизмом из Pol в EndPol $\otimes$ Пол . Это определяет сотрудничество.

Действительно, чтобы убедиться в том, что отображение является гомоморфизмом, нам нужно лишь проверить, что y _i коммутируют между собой.

Предложение . Определим карту коумножения по формуле $\Delta (M_{ij})=\sum _{l}M_{il}\otimes M_{lj}$ .Тогда оно коассоциативно и согласовано с кодействием на алгебре полиномов, определенной в предыдущем предложении.

Из двух приведенных выше предложений следует, что алгебра, порожденная элементами матрицы Манина, является биалгеброй, взаимодействующей с алгеброй полиномов. Если не накладывать других соотношений, получается алгебра некоммутативных эндоморфизмов алгебры полиномов.

Характеристики

Элементарные примеры и свойства

Любая матрица с коммутирующими элементами является матрицей Манина.
Любая матрица, элементы которой из разных строк коммутируют между собой (такие матрицы иногда называют матрицами Картье — Фоата ), является матрицей Манена.
Любая подматрица матрицы Манина является матрицей Манина.
В матрице Манина можно менять местами строки и столбцы, результат также будет матрицей Манина. Можно добавить строку или столбец, умноженный на центральный элемент, в другую строку или столбец, и результат снова будет матрицей Манина. Т.е. можно производить элементарные преобразования с ограничением на то, что множитель является центральным.
Рассмотрим две матрицы Манина M , N такие, что все их элементы коммутируют, тогда сумма M+N и произведение MN также будут матрицами Манина.
Если матрица M и одновременно транспонировать матрицу M ^т являются матрицами Манина, то все элементы M коммутируют друг с другом.
Недопустимые факты: M ^к вообще не является матрицей Манина (за исключением k = -1, обсуждаемого ниже); ни det( M ), ни Tr( M ) не являются центральными в алгебре, порожденной M _ij вообще (этим матрицы Манина отличаются от квантовых групп); дет( е ^М) ≠ и ^{Тр( М )}; log(it( M )) ≠ Tr(log( M )).
Рассмотрим алгебру полиномов C [ x _ij ] и обозначим через $\partial _{ij}$ операторы дифференцирования по

x _ij , формируем матрицы X, D с соответствующими элементами.Также рассмотрим переменную z и соответствующий дифференциальный оператор $\partial _{z}$ . Ниже приведен пример матрицы Манина, котораяважно для идентичности Капелли :

{\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.

можно Заменить X , D любыми матрицами, элементы которыхудовлетворяют соотношению: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl , то же самое касается z и его производной.

Вычисление определителя этой матрицы двумя способами: прямым и через формулу дополнения Шура по существу дает тождество Капелли. и его обобщение (см. раздел 4.3.1, ^[4] на основе ^[5]).

Определитель = определитель столбца

Определитель матрицы Манина можно определить по стандартной формуле с указанием, что в произведении первыми стоят элементы из первых столбцов.

Теоремы линейной алгебры

Многие утверждения линейной алгебры справедливы для матриц Манина, даже если R не коммутативен. В частности, определитель можно определить стандартным способом с помощью перестановок и он удовлетворяет правилу Крамера . ^[3] Теорема Мак-Магона справедлива для матриц Манина и, собственно, для их обобщений (супер), (q) и т. д. аналогов.

Предложение. Правило Крамера (см. ^[2] или раздел 4.1. ^[3])Обратная матрица Манина M может быть определена по стандартной формуле: $M^{-1}={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},$ где М ^прил. - это сопряженная матрица, заданная стандартной формулой - ее (i,j)-й элемент является определителем столбца матрицы (n - 1) × (n - 1), полученной в результате удаления строки j и столбца i из M и умножения на (-1) ^я+дж.

Единственное отличие от коммутативного случая состоит в том, что следует обратить внимание, что все определители вычисляются как определители-столбцы, а также сопряженная матрица стоит справа, а коммутативная, обратная к определителю M , стоит слева, т.е. из-за некоммутативности порядок важен.

Предложение. Инверсия – это тоже Манин. (См. раздел 4.3. ^[3])Предположим, что существует двусторонняя обратная матрица Манина M , тогда она также будет матрицей Манина.Более того, det(M ⁻¹) = (оно(М)) ⁻¹.

Это предложение несколько нетривиально, из него следует результат Энрикеса-Рубцова и Бабелон-Талона в теории квантовых интегрируемых систем (см. раздел 4.2.1). ^[4]).

Предложение. Теорема Кэли–Гамильтона (см. раздел 7.1. ^[3])

det^{column}(t-M)|_{t=M}^{right~substitute}=0,~~i.e.~~\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{n-i}=0.

Где σi _— коэффициенты характеристического многочлена $det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}$ .

Предложение. Тождества Ньютона (см. раздел 7.2.1. ^[3]) $\forall k\geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\sum _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{k-i})$

Где σi _— коэффициенты характеристического многочлена $det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}$ ,и по соглашению σ _i =0 для i>n , где n — размер M. матрицы

Предложение. Определитель через дополнение Шура (См. раздел 5.2. ^[3])Предположим, что приведенная ниже блочная матрица представляет собой матрицу Манина и двусторонние обратные M ⁻¹, А ⁻¹, Д ⁻¹ существовать, то

det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B)=det^{column}(D)det^{column}(A-BD^{-1}C).

Более того, Шур дополняет $(D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)$ являются матрицами Манина.

Предложение. Основная теорема Мак-Магона

^[6]

Примеры и приложения

Матрица Капелли как матрица Манина и центр U(gl _n )

Тождество Капелли XIX века дает один из первых примеров определителей для матриц с некоммутирующими элементами. Матрицы Манина открывают новый взгляд на эту классическую тему. Этот пример связан с алгеброй Ли gl _n и служит прототипом для более сложных приложений петлевой алгебры Ли для gl _n , янгианских и интегрируемых систем.

Возьмем E _ij — матрицы с 1 в позиции ( i,j ) и нулями во всех остальных местах.Сформируйте матрицу E с элементами E _ij в позиции ( i,j ). Это матрица с элементами в кольце матриц Mat _n . Это не матрица Манина, однако существуют модификации, которые преобразуют ее в матрицу Манина, как описано ниже.

Введем формальную переменную z коммутирующую с Eij _, , соответственно d/dz — оператор дифференцирования по z . Единственное, что будет использоваться, это то, что коммутатор этих операторов равен 1.

Наблюдение. Матрица $d/dzId-E/z$ является матрицей Манина.

Здесь Id — единичная матрица.

Пример 2 × 2: $M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix}}.$

Полезно проверить требование коммутативности столбцов: $[d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21}/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0$ .

Наблюдение. Матрица $exp(-d/dz)(Id+E/z)$ является матрицей Манина.

Единственное, что требуется от для _Eij это то, что они удовлетворяют коммутационным соотношениям [ Eij _{наблюдений ,} , Ekl _этих ]= δ _jk E _il - δ _li E _kj . Таким образом, наблюдения верны, если E _ij являются генераторами универсальной обертывающей алгебры Ли gl _n или ее образов в любом представлении.Например, можно взять

E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}.

Здесь ψ — переменные Грассмана .

Наблюдение. $z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1,n-2,...,1,0))$

В правой части этого равенства находится определитель Капелли (или, точнее, характеристический полином Капелли), а в левой части — матрица Манина с ее естественным определителем.Таким образом, матрицы Манина дают новый взгляд на определитель Капелли. Более того, тождество Капелли и его обобщение могут быть получены с помощью методов матриц Манина.Также это дает простой способ доказать, что это выражение принадлежит центру универсальной обертывающей алгебры U(gl _n ), что далеко не тривиально. Действительно, достаточно проверить инвариантность относительно действия группы GL _n методом сопряжения. $det^{col}(d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)$ . Таким образом, единственное свойство, используемое здесь, это то, что $det(gM)=det(Mg)=det(M)det(g)$ что верно для любой матрицы Манина M и любой матрицы g с центральными (например, скалярными) элементами.

Петлевая алгебра для gl _n , соответствие Ленглендса и матрица Манина

Матрицы типа Янга как матрицы Манина

Наблюдение. Пусть T(z) — порождающая матрица янгиана для gl _n .Тогда матрица exp(-d/dz) T(z) является матрицей Манина.

Квантовый определитель Янгиана можно определить как exp (nd/dz) det ^{столбец}(exp(-d/dz) T(z)) . Обратите внимание, что exp(-d/dz) можно отменить, поэтому выражение от него не зависит. Таким образом, определитель в теории Янга имеет естественную интерпретацию через матрицы Манина.

Для квантовых интегрируемых систем важно построить коммутативные подалгебры в янгиане.Хорошо известно, что в классических предельных выражениях Tr(T ^к(z)) порождают пуассоновскую коммутативную подалгебру. Правильное квантованиеиз этих выражений было впервые предложено с использованием тождеств Ньютона для матриц Манина:

Предложение. Коэффициенты Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z)) для всех k коммутируют между собой. Они порождают коммутативную подалгебру в Янгиане. Та же подалгебра, что и коэффициенты характеристического многочлена det ^{столбец}(1-exp(-d/dz) T(z)) .

(Подалгебру иногда называют подалгеброй Бете, поскольку анзац Бете — это метод поиска ее совместных собственных пар.)

Дополнительные вопросы

История

Манин предложил общую конструкцию «некоммутативных симметрий» в: ^[1]частный случай, называемый матрицами Манина, обсуждается в ^[2] где были изложены некоторые основные свойства. Основной мотивацией этих работ было дать новый взгляд на квантовые группы. Квантовые матрицы Fun _q ( GL _n ) можно определить как такие матрицы, что T и одновременно T ^т являются q-матрицами Манина (т.е. являются некоммутативными симметриями q-коммутирующих полиномов x _i x _j = qx _j x _i .После оригинальных работ Манина до 2003 года было всего несколько статей по матрицам Манина.Но около и некоторые после этой даты матрицы Манина появились в нескольких не совсем связанных между собой областях: ^[6] получил некоторое некоммутативное обобщение главного тождества Мак-Магона, которое использовалось в теории узлов; были найдены приложения к квантовым интегрируемым системам, в которых были найдены алгебры Ли; ^[4] появились обобщения тождества Капелли с использованием матриц Манина. ^[7]Направления, предложенные в этих работах, получили дальнейшее развитие.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Манин, Юрий (1987), «Некоторые замечания об алгебрах Кошуля и квантовых группах» , Annales de l'Institut Fourier , 37 (4): 191–205, doi : 10.5802/aif.1117 , Zbl 0625.58040
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Манин, Ю. (1988). «Квантовые группы и некоммутативная геометрия» . Университет Монреаля, Центр математических исследований : 91 страница. ISBN 978-2-921120-00-5 . Збл 0724.17006 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я А. Червов; Г. Фальки; В. Рубцов (2009). «Алгебраические свойства матриц Манина I». Достижения прикладной математики . 43 (3). Эльзевир: 239–315. arXiv : 0901.0235 . дои : 10.1016/j.aam.2009.02.003 . ISSN 0196-8858 . S2CID 14101198 . Збл 1230.05043 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с А. Червов; Г. Фальки (2008). «Матрицы Манина и формула Талалаева» . Журнал физики А. 41 (19): 239–315. arXiv : 0711.2236 . Бибкод : 2008JPhA...41s4006C . дои : 10.1088/1751-8113/41/19/194006 . S2CID 16193419 . Збл 1151.81022 .
^ Мухин Е.; Тарасов В.; Варченко, А. (2006), Обобщение тождества Капелли , arXiv : math/0610799 , Bibcode : 2006math.....10799M
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гаруфалидис, Ставрос; Ле, ТТК; Зейлбергер, Дорон (2006), «Квантовая основная теорема Мак-Магона», Proc. Натл. акад. наук. США , 103 (38): 13928–13931, arXiv : math/0303319 , Bibcode : 2006PNAS..10313928G , doi : 10.1073/pnas.0606003103 , PMC 1599890 , PMID 16966614
^ Караччиоло, Серджио; Спортиелло, Андреа; Сокал, Алан Д. (2009), «Некоммутативные определители, формулы Коши – Бине и тождества типа Капелли. I. Обобщения тождеств Капелли и Тернбулла» (Исследовательская статья) , Electron. Дж. Комб. , 16 (1, номер R103): 43, arXiv : 0809.3516 , Bibcode : 2008arXiv0809.3516C , doi : 10.37236/192 , ISSN 1077-8926 , S2CID 1765203 , Zbl 1192.15001

Дальнейшее чтение

В. Рубцов; Д. Талалаев; А. Силантьев (2009). «Матрицы Манина, квантовые эллиптические коммутативные семейства и характеристический полином эллиптической модели Годена». СИГМА . 5 : 110. arXiv : 0908.4064 . Бибкод : 2009SIGMA...5..110R . дои : 10.3842/SIGMA.2009.110 . S2CID 15639061 . Збл 1190.37079 .
Суэми Родригес-Ромо; Эрл Тафт (2002). «Некоторые квантовоподобные алгебры Хопфа, которые остаются некоммутативными при q = 1». Летт. Математика. Физ . 61 : 41–50. дои : 10.1023/A:1020221319846 . S2CID 115931689 .
Суэми Родригес-Ромо; Эрл Тафт (2005). «Левая квантовая группа» . Дж. Алгебра . 286 : 154–160. дои : 10.1016/j.jalgebra.2005.01.002 .
С. Ван (1998). «Квантовые группы симметрии конечных пространств». Комм. Математика. Физ . 195 (1): 195–211. arXiv : математика/9807091 . Бибкод : 1998CMaPh.195..195W . дои : 10.1007/s002200050385 . S2CID 14688083 .
Теодор Баница; Жюльен Бишон; Бенуа Коллинз (2007). «Некоммутативный гармонический анализ с приложениями к вероятности». Квантовые группы перестановок: обзор . Банах Центр Издательство. Том. 78. Варшава. стр. 13–34. arXiv : math/0612724 . Бибкод : 2006math.....12724B . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Матьяз Конвалинка (2007). «Обобщение фундаментального преобразования Фоаты и его приложения к правоквантовой алгебре». arXiv : math/0703203 .
Конвалинка, Матяж (2007). «Детерминантное тождество некоммутативного Сильвестра» . Электрон. Дж. Комбин . 14 (1). #Р42. arXiv : math/0703213 . Бибкод : 2007math......3213K . дои : 10.37236/960 . ISSN 1077-8926 . S2CID 544799 .

[Manin87-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Манин, Юрий (1987), «Некоторые замечания об алгебрах Кошуля и квантовых группах» , Annales de l'Institut Fourier , 37 (4): 191–205, doi : 10.5802/aif.1117 , Zbl 0625.58040

[Manin88-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Манин, Ю. (1988). «Квантовые группы и некоммутативная геометрия» . Университет Монреаля, Центр математических исследований : 91 страница. ISBN 978-2-921120-00-5 . Збл 0724.17006 .

[properties-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я А. Червов; Г. Фальки; В. Рубцов (2009). «Алгебраические свойства матриц Манина I». Достижения прикладной математики . 43 (3). Эльзевир: 239–315. arXiv : 0901.0235 . дои : 10.1016/j.aam.2009.02.003 . ISSN 0196-8858 . S2CID 14101198 . Збл 1230.05043 .

[CF07-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с А. Червов; Г. Фальки (2008). «Матрицы Манина и формула Талалаева» . Журнал физики А. 41 (19): 239–315. arXiv : 0711.2236 . Бибкод : 2008JPhA...41s4006C . дои : 10.1088/1751-8113/41/19/194006 . S2CID 16193419 . Збл 1151.81022 .

[MTV06-5] Мухин Е.; Тарасов В.; Варченко, А. (2006), Обобщение тождества Капелли , arXiv : math/0610799 , Bibcode : 2006math.....10799M

[GLZ03-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Гаруфалидис, Ставрос; Ле, ТТК; Зейлбергер, Дорон (2006), «Квантовая основная теорема Мак-Магона», Proc. Натл. акад. наук. США , 103 (38): 13928–13931, arXiv : math/0303319 , Bibcode : 2006PNAS..10313928G , doi : 10.1073/pnas.0606003103 , PMC 1599890 , PMID 16966614

[CSS08-7] Караччиоло, Серджио; Спортиелло, Андреа; Сокал, Алан Д. (2009), «Некоммутативные определители, формулы Коши – Бине и тождества типа Капелли. I. Обобщения тождеств Капелли и Тернбулла» (Исследовательская статья) , Electron. Дж. Комб. , 16 (1, номер R103): 43, arXiv : 0809.3516 , Bibcode : 2008arXiv0809.3516C , doi : 10.37236/192 , ISSN 1077-8926 , S2CID 1765203 , Zbl 1192.15001

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]