Параметризация (геометрия)

В математике а точнее в геометрии , параметризация (или параметризация ; также параметризация , параметризация ) — это процесс нахождения параметрических уравнений кривой , , поверхности или, в более общем смысле, многообразия или многообразия , определяемых неявным уравнением . Обратный процесс называется имплицитизацией . ^[1] «Параметризировать» само по себе означает «выражать через параметры ». ^[2]

Параметризация — это математический процесс, состоящий в выражении состояния системы , процесса или модели как функции некоторых независимых величин, называемых параметрами . Состояние системы обычно определяется конечным набором координат , и, таким образом, параметризация состоит из одной функции нескольких действительных переменных для каждой координаты. Количество параметров – это количество степеней свободы системы.

Например, положение точки , которая движется по кривой в трехмерном пространстве, определяется временем, необходимым для достижения точки при старте из фиксированного начала координат. Если $x, y, z$ — координаты точки, то движение таким образом описывается параметрическим уравнением ^[1]

{\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t)\\z&=h(t),\end{aligned}}

где $t$ — параметр и обозначает время. Такое параметрическое уравнение полностью определяет кривую без необходимости какой-либо интерпретации $t$ как времени и поэтому называется параметрическим уравнением кривой (иногда это сокращают, говоря, что у человека есть параметрическая кривая ). Аналогично можно получить параметрическое уравнение поверхности, рассматривая функции двух параметров $t$ и $u$ .

Неуникальность

Параметризации обычно не уникальны . Обычный трехмерный объект может быть одинаково эффективно параметризован (или «координирован») с помощью декартовых координат ( x , y , z ), цилиндрических полярных координат ( ρ , φ , z ), сферических координат ( r , φ, θ) или других системы координат .

Точно так же цветовое пространство трехцветного цветового зрения человека может быть параметризовано с помощью трех цветов: красного, зеленого и синего ( RGB ) или голубого, пурпурного, желтого и черного ( CMYK) .

Размерность

Как правило, минимальное количество параметров, необходимых для описания модели или геометрического объекта, равно ее размерности , а областью действия параметров — в пределах допустимых диапазонов — является пространство параметров . Хотя хороший набор параметров позволяет идентифицировать каждую точку в пространстве объекта, может случиться так, что для данной параметризации разные значения параметров могут относиться к одной и той же точке. Такие отображения сюръективны , но не инъективны . Примером может служить пара цилиндрических полярных координат (ρ, φ, z ) и (ρ, φ + 2π, z ).

Инвариантность

Как указывалось выше, существует произвол в выборе параметров данной модели, геометрического объекта и т. д. Часто возникает желание определить внутренние свойства объекта, не зависящие от этого произвола и поэтому независимые от какого-либо конкретного выбора параметры. Это особенно справедливо в физике, где параметризационная инвариантность (или «репараметризационная инвариантность») является руководящим принципом в поиске физически приемлемых теорий (особенно в общей теории относительности ).

Например, хотя положение фиксированной точки на некоторой кривой линии может быть задано набором чисел, значения которых зависят от того, как параметризована кривая, длина (соответственно определенная) кривой между двумя такими фиксированными точками не будет зависеть от конкретный выбор параметризации (в данном случае: метод, с помощью которого произвольная точка на линии однозначно индексируется). Таким образом, длина кривой является величиной, не зависящей от параметризации. В таких случаях параметризация — это математический инструмент, используемый для извлечения результата, значение которого не зависит от деталей параметризации и не ссылается на них. В более общем смысле параметризационная инвариантность физической теории подразумевает, что либо размерность , либо объем пространства параметров больше, чем необходимо для описания рассматриваемой физики (физических величин).

теория Хотя общая относительности может быть выражена без ссылки на систему координат, расчеты физических (то есть наблюдаемых) величин, таких как кривизна пространства-времени, неизменно предполагают введение определенной системы координат, чтобы ссылаться на точки пространства-времени, участвующие в расчете. . Тогда в контексте общей теории относительности выбор системы координат можно рассматривать как метод «параметризации» пространства-времени, а нечувствительность результата вычисления физически значимой величины к этому выбору можно рассматривать как пример. параметризационной инвариантности.

Другой пример: физические теории, наблюдаемые величины которых зависят только от относительных расстояний (отношений расстояний) между парами объектов, называются масштабно-инвариантными . В таких теориях любое упоминание в ходе расчета абсолютного расстояния означало бы введение параметра, к которому теория инвариантна.

Примеры

Поверхность мальчика
Параметризация распределений Коши МакКаллахом
Параметризация (климат) — параметрическое представление моделей общей циркуляции и числового прогноза погоды.
Профиль сингулярной изотермической сферы
Модель Lambda-CDM , стандартная модель космологии Большого взрыва .

Техники

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Хьюз-Халлет, Дебора; МакКаллум, Уильям Г.; Глисон, Эндрю М. (1 января 2012 г.). Исчисление: одно- и многомерное . Джон Уайли. п. 780. ИСБН 9780470888612 . OCLC 828768012 .
^ «Определение ПАРАМЕТРИРОВАТЬ» . www.merriam-webster.com . Проверено 11 мая 2017 г.

Внешние ссылки

Краткое описание параметризации из Университета штата Орегон , ее полезность, а также список статей по этой теме.

[hughes-1] Перейти обратно: ^а ^б Хьюз-Халлет, Дебора; МакКаллум, Уильям Г.; Глисон, Эндрю М. (1 января 2012 г.). Исчисление: одно- и многомерное . Джон Уайли. п. 780. ИСБН 9780470888612 . OCLC 828768012 .

[2] «Определение ПАРАМЕТРИРОВАТЬ» . www.merriam-webster.com . Проверено 11 мая 2017 г.

[1]

[2]