Масштабная инвариантность

Винеровский процесс масштабно-инвариантен.

В физике , математике и статистике — это свойство объектов или законов, которые не изменяются , масштабная инвариантность если масштабы длины, энергии или других переменных умножаются на общий коэффициент и, таким образом, представляют собой универсальность.

Технический термин для этого преобразования — расширение (также известное как расширение ). Дилатации могут составлять часть более крупной конформной симметрии .

В математике масштабная инвариантность обычно относится к инвариантности отдельных функций или кривых . Тесно связанное понятие — самоподобие , когда функция или кривая инвариантны относительно дискретного подмножества расширений. также могут Распределения вероятностей случайных процессов проявлять такого рода масштабную инвариантность или самоподобие.
В классической теории поля масштабная инвариантность чаще всего применяется к инвариантности всей теории относительно расширений. Такие теории обычно описывают классические физические процессы без характерного масштаба длины.
В квантовой теории поля масштабная инвариантность имеет интерпретацию с точки зрения физики элементарных частиц . В масштабно-инвариантной теории сила взаимодействия частиц не зависит от энергии участвующих частиц.
В статистической механике особенностью фазовых переходов является масштабная инвариантность . Ключевое наблюдение заключается в том, что вблизи фазового перехода или критической точки флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этих явлений следует искать явно масштабно-инвариантную теорию. Такие теории являются масштабно-инвариантными статистическими теориями поля и формально очень похожи на масштабно-инвариантные квантовые теории поля.
Универсальность — это наблюдение, что самые разные микроскопические системы могут демонстрировать одинаковое поведение при фазовом переходе. Таким образом, фазовые переходы во многих различных системах могут быть описаны одной и той же основной масштабно-инвариантной теорией.
В общем, безразмерные величины масштабно-инвариантны. Аналогичным понятием в статистике являются стандартизированные моменты , которые являются масштабно-инвариантной статистикой переменной, а нестандартизованные моменты - нет.

самоподобие инвариантные кривые и Масштабно -

В математике можно рассмотреть масштабные свойства функции или кривой f $(x) при$ изменении масштаба переменной $x$ . То есть нас интересует форма $f (λx)$ для некоторого масштабного коэффициента $λ$ , который можно принять за изменение масштаба длины или размера. Требование, чтобы $f (x)$ было инвариантным при всех изменениях масштаба, обычно считается равным

f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)

для некоторого выбора показателя Δ и для всех расширений $λ$ . Это эквивалентно тому, что $f$ является однородной функцией степени Δ.

Примерами масштабно-инвариантных функций являются мономы $f(x)=x^{n}$ , для которого $∆ = n$ , причем, очевидно,

f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x)~.

Примером масштабно-инвариантной кривой является логарифмическая спираль , разновидность кривой, которая часто встречается в природе. В полярных координатах $(r, θ)$ спираль можно записать как

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a)~.

С учетом вращения кривой она инвариантна при всех изменениях масштаба $λ$ ; то есть $θ (λr)$ идентично повернутой версии $θ (r)$ .

Проективная геометрия [ править ]

Идея масштабной инвариантности монома обобщается в более высоких измерениях до идеи однородного многочлена и, в более общем плане, до однородной функции . Однородные функции — естественные обитатели проективного пространства , а однородные многочлены изучаются как проективные многообразия в проективной геометрии . Проективная геометрия — особенно богатая область математики; в своей наиболее абстрактной форме — геометрии схем — она связана с различными темами теории струн .

Фракталы [ править ]

Иногда говорят, что фракталы масштабно-инвариантны, хотя точнее следует сказать, что они самоподобны . Фрактал равен самому себе, как правило, только для дискретного набора значений $λ$ , и даже тогда, возможно, придется применить сдвиг и вращение, чтобы сопоставить фрактал с самим собой.

Так, например, кривая Коха масштабируется с $∆ = 1$ , но масштабирование справедливо только для значений $λ = 1/3. н$ для целого числа $n$ . Кроме того, кривая Коха масштабируется не только в начале координат, но и, в определенном смысле, «везде»: ее миниатюрные копии можно найти на всем протяжении кривой.

Некоторые фракталы могут иметь одновременное действие нескольких коэффициентов масштабирования; такое масштабирование изучается с помощью мультифрактального анализа .

Периодические внешние и внутренние лучи являются инвариантными кривыми.

инвариантность в процессах Масштабная случайных

Если $P (f)$ — средняя ожидаемая мощность на частоте $f$ , то шум масштабируется как

P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)

с Δ = 0 для белого шума , Δ = -1 для розового шума и Δ = -2 для броуновского шума (и, в более общем плане, броуновского движения ).

Точнее, масштабирование в стохастических системах касается вероятности выбора конкретной конфигурации из множества всех возможных случайных конфигураций. Эта вероятность определяется распределением вероятностей .

Примерами масштабно-инвариантных распределений являются распределение Парето и распределение Зипфиана .

инвариантные распределения Твиди Масштабно -

Распределения Твиди — это частный случай моделей экспоненциальной дисперсии , класса статистических моделей, используемых для описания распределений ошибок для обобщенной линейной модели и характеризующихся замыканием при аддитивной и репродуктивной свертке, а также при масштабном преобразовании. ^[1]К ним относятся ряд распространенных распределений: нормальное распределение , распределение Пуассона и гамма-распределение , а также более необычные распределения, такие как сложное гамма-распределение Пуассона, положительные стабильные распределения и чрезвычайно стабильные распределения. Вследствие присущей им масштабной инвариантности случайные переменные Твиди Y демонстрируют дисперсию var( Y ), что означает E( Y степенной закон ):

{\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}

,

где a и p — положительные константы. Это отклонение от среднего степенного закона известно в физической литературе как масштабирование флуктуаций . ^[2] и в экологической литературе как закон Тейлора . ^[3]

Случайные последовательности, управляемые распределениями Твиди и оцениваемые методом расширения ячеек, демонстрируют двуусловную связь между дисперсией среднего степенного закона и автокорреляцией степенного закона . Теорема Винера-Хинчина далее подразумевает, что для любой последовательности, которая демонстрирует отклонение от среднего степенного закона в этих условиях, также будет проявляться 1/f шум . ^[4]

Теорема о сходимости Твиди дает гипотетическое объяснение широкого проявления флуктуационного масштабирования и 1/f . шума ^[5]По сути, это требует, чтобы любая модель экспоненциальной дисперсии, которая асимптотически демонстрирует отклонение от среднего степенного закона, должна была выражать функцию дисперсии , которая входит в область притяжения модели Твиди. Почти все функции распределения с конечными производящими функциями кумулянта квалифицируются как модели экспоненциальной дисперсии, и большинство моделей экспоненциальной дисперсии проявляют функции дисперсии этой формы. Следовательно, многие распределения вероятностей имеют функции дисперсии, которые выражают это асимптотическое поведение , и распределения Твиди становятся фокусами сходимости для широкого диапазона типов данных. ^[4]

Подобно тому, как центральная предельная теорема требует, чтобы определенные виды случайных величин имели в качестве фокуса сходимости распределение Гаусса и выражали белый шум , теорема сходимости Твиди требует, чтобы определенные негауссовы случайные величины выражали шум 1/f и масштабирование флуктуаций. ^[4]

Космология [ править ]

В физической космологии спектр мощности пространственного распределения космического микроволнового фона близок к масштабно-инвариантной функции. что спектр представляет собой степенной закон, в космологии термин «масштабно-инвариантный» указывает на то, что амплитуда $P (k)$ первичных флуктуаций как функция волнового числа k $Хотя в математике это означает ,$ приблизительно постоянна, т.е. плоский спектр. Эта модель согласуется с предположением о космической инфляции .

классической поля Масштабная инвариантность в теории

Классическая теория поля в общих чертах описывается полем или набором полей φ , которые зависят от координат x . Допустимые конфигурации поля затем определяются путем решения дифференциальных уравнений для φ , и эти уравнения известны как уравнения поля .

Чтобы теория была масштабно-инвариантной, ее уравнения поля должны быть инвариантны относительно изменения масштаба координат в сочетании с некоторым указанным изменением масштаба полей:

x\rightarrow \lambda x~,

\varphi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\varphi ~.

Параметр ∆ известен как масштабная размерность поля, и его значение зависит от рассматриваемой теории. Масштабная инвариантность обычно сохраняется при условии, что в теории не появляется масштаб фиксированной длины. И наоборот, наличие фиксированной шкалы длины указывает на то, что теория не является масштабно-инвариантной.

Следствием масштабной инвариантности является то, что, получив решение масштабно-инвариантного уравнения поля, мы можем автоматически найти другие решения, соответствующим образом изменив масштаб как координат, так и полей. Говоря техническим языком, при наличии решения φ ( x ) всегда есть другие решения вида

\lambda ^{\Delta }\varphi (\lambda x).

Масштабная инвариантность конфигураций полей [ править ]

Чтобы конкретная конфигурация поля φ ( x ) была масштабно-инвариантной, мы требуем, чтобы

\varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)

где Δ – это опять же масштабная размерность поля.

Отметим, что это условие является достаточно ограничительным. В общем, решения даже масштабно-инвариантных уравнений поля не будут масштабно-инвариантными, и в таких случаях говорят, что симметрия спонтанно нарушена .

Классический электромагнетизм [ править ]

Примером масштабно-инвариантной классической теории поля является электромагнетизм без зарядов и токов. Поля — это электрические и магнитные поля E ( x , t ) и B ( x , t ), а их уравнения поля — уравнения Максвелла .

В отсутствие зарядов и токов эти уравнения поля принимают форму волновых уравнений.

{\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}

где с — скорость света.

Эти уравнения поля инвариантны относительно преобразования

{\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}

Более того, для данных решений уравнений Максвелла E ( x , t ) и B ( x , t ) справедливо, что E ( λ x , λt ) и B ( λ x , λt ) также являются решениями.

Безмассовая теория скалярного поля [ править ]

Другим примером масштабно-инвариантной классической теории поля является безмассовое скалярное поле (обратите внимание, что название «скаляр» не связано с масштабной инвариантностью). Скалярное поле $φ (x, t)$ является функцией набора пространственных переменных x и временной переменной $t$ .

Рассмотрим сначала линейную теорию. Как и приведенные выше уравнения электромагнитного поля, уравнение движения этой теории также является волновым уравнением:

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,

и инвариантен относительно преобразования

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda t.

Название «безмассовый» относится к отсутствию термина $\propto m^{2}\varphi$ в уравнении поля. Такой член часто называют «массовым», и он нарушает инвариантность при вышеуказанном преобразовании. В релятивистских теориях поля масштаб массы $m$ физически эквивалентен масштабу фиксированной длины через

L={\frac {\hbar }{mc}},

поэтому неудивительно, что теория массивного скалярного поля не является масштабно-инвариантной.

Фи ⁴ теория [ править ]

Все уравнения поля в приведенных выше примерах линейны по полям, а это означает, что масштабная размерность Δ не так важна. скалярного поля Однако обычно требуется, чтобы действие было безразмерным, и это фиксирует масштабную размерность $φ$ . В частности,

\Delta ={\frac {D-2}{2}},

где $D$ — совокупное количество пространственных и временных измерений.

Учитывая эту масштабную размерность для $φ$ , существуют определенные нелинейные модификации безмассовой скалярной теории поля, которые также являются масштабно-инвариантными. Одним из примеров является безмассовая φ ⁴ теория для $D$ = 4. Уравнение поля имеет вид

{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi +g\varphi ^{3}=0.

(Обратите внимание, что имя $φ$ ⁴ выводится из формы лагранжиана , который содержит четвертую степень $φ$ .)

Когда $D$ = 4 (например, три пространственных измерения и одно временное измерение), размерность масштабирования скалярного поля равна Δ = 1. Тогда уравнение поля инвариантно относительно преобразования

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda t,

\varphi (x)\rightarrow \lambda ^{-1}\varphi (x).

Ключевым моментом является то, что параметр $g$ должен быть безразмерным, иначе в теорию вводится фиксированный масштаб длины: Для $φ$ ⁴теории, это имеет место только при $D$ = 4. Заметим, что при этих преобразованиях аргумент функции $φ$ не меняется.

поля инвариантность в квантовой Масштабная теории

Масштабная зависимость квантовой теории поля (КТП) характеризуется тем, как ее параметры связи зависят от энергетического масштаба данного физического процесса. Эта энергетическая зависимость описывается ренормгруппой и кодируется в бета-функциях теории.

Чтобы КТП была масштабно-инвариантной, ее параметры связи должны быть независимыми от масштаба энергии, о чем свидетельствует исчезновение бета-функций теории. Такие теории также известны как неподвижные точки соответствующего потока ренормгруппы. ^[6]

Квантовая электродинамика [ править ]

Простым примером масштабно-инвариантной КТП является квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц. Эта теория фактически не имеет параметров связи (поскольку фотоны безмассовы и невзаимодействуют) и, следовательно, масштабно-инвариантна, как и классическая теория.

Однако в природе электромагнитное поле связано с заряженными частицами, такими как электроны . КТП, описывающая взаимодействия фотонов и заряженных частиц, представляет собой квантовую электродинамику (КЭД), и эта теория не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции QED . Это говорит нам о том, что электрический заряд (который в теории является параметром связи) увеличивается с увеличением энергии. Следовательно, хотя квантованное электромагнитное поле без заряженных частиц является масштабно-инвариантным, КЭД не является масштабно-инвариантным.

Безмассовая теория скалярного поля [ править ]

Свободная, безмассовая квантованная скалярная теория поля не имеет параметров связи. Поэтому, как и классическая версия, она масштабно-инвариантна. На языке ренормгруппы эта теория известна как гауссова неподвижная точка .

Однако, несмотря на то, что классическая безмассовая φ ⁴теория масштабно-инвариантна в D = 4, квантованная версия не является масштабно-инвариантной. Мы можем видеть это из бета-функции параметра связи g .

Несмотря на то, что квантованная безмассовая φ ⁴не является масштабно-инвариантным, существуют масштабно-инвариантные квантованные скалярные теории поля, отличные от гауссовой фиксированной точки. Одним из примеров является фиксированная точка Вильсона-Фишера ( см. ниже).

Конформная теория поля [ править ]

Масштабно-инвариантные КТП почти всегда инвариантны относительно полной конформной симметрии , и изучением таких КТП является конформная теория поля (КТП). Операторы в CFT имеют четко определенную масштабную размерность , аналогичную масштабной размерности ∆ . классического поля, обсуждавшегося выше Однако масштабные размерности операторов в CFT обычно отличаются от масштабных размерностей полей в соответствующей классической теории. Дополнительные вклады, появляющиеся в CFT, известны как аномальные размерности масштабирования .

и аномалии Масштабные конформные

φ ⁴Приведенный выше пример теории демонстрирует, что параметры связи квантовой теории поля могут зависеть от масштаба, даже если соответствующая классическая теория поля масштабно-инвариантна (или конформно-инвариантна). В этом случае классическая масштабная (или конформная) инвариантность называется аномальной . Классическая масштабно-инвариантная теория поля, в которой масштабная инвариантность нарушается квантовыми эффектами, обеспечивает объяснение почти экспоненциального расширения ранней Вселенной, называемого космической инфляцией , при условии, что эту теорию можно изучать с помощью теории возмущений . ^[7]

Фазовые переходы [ править ]

В статистической механике , когда система претерпевает фазовый переход , ее колебания описываются масштабно-инвариантной статистической теорией поля . Для системы, находящейся в равновесии (т.е. независимой от времени) в $D$ пространственных измерениях, соответствующая статистическая теория поля формально аналогична $D$ -мерной CFT. Размерности масштабирования в таких задачах обычно называют критическими показателями , и в принципе можно вычислить эти показатели в соответствующей CFT.

Модель Изинга [ править ]

Примером, связывающим воедино многие идеи этой статьи, является фазовый переход модели Изинга — простой модели ферромагнитных веществ. Это модель статистической механики, которая также имеет описание в терминах конформной теории поля. Система состоит из массива узлов решетки, образующих $D$ -мерную периодическую решетку. С каждым узлом решетки связан магнитный момент или спин , и этот спин может принимать значение +1 или -1. (Эти состояния также называются вверх и вниз соответственно.)

Ключевым моментом является то, что модель Изинга имеет спин-спиновое взаимодействие, что делает энергетически выгодным выравнивание двух соседних спинов. С другой стороны, тепловые флуктуации обычно вносят хаотичность в выравнивание спинов. некоторой критической температуре $T c$ при возникает спонтанное намагничивание Говорят, что . Это означает, что ниже $T c$ спин-спиновое взаимодействие начнет доминировать, и произойдет некоторое суммарное выравнивание спинов в одном из двух направлений.

Примером физических величин, которые хотелось бы вычислить при этой критической температуре, является корреляция между спинами, разделенными расстоянием $r$ . Это имеет общее поведение:

G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},

за какое-то конкретное значение $\eta$ , который является примером критического показателя.

Описание ЦФТ [ править ]

Колебания при температуре $T c$ масштабно-инвариантны, поэтому ожидается, что модель Изинга при этом фазовом переходе будет описываться масштабно-инвариантной статистической теорией поля. Фактически, эта теория представляет собой фиксированную точку Вильсона-Фишера , особую масштабно-инвариантную скалярную теорию поля .

В этом контексте $G (r)$ понимается как корреляционная функция скалярных полей,

\langle \phi (0)\phi (r)\rangle \propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}}.

Теперь мы можем объединить ряд уже увиденных идей.

Из вышеизложенного видно, что критический показатель $η$ для этого фазового перехода также является аномальной размерностью . Это связано с тем, что классическая размерность скалярного поля

\Delta ={\frac {D-2}{2}}

модифицируется, чтобы стать

\Delta ={\frac {D-2+\eta }{2}},

где $D$ — число измерений решетки модели Изинга.

Таким образом, это аномальное измерение в конформной теории поля совпадает с частным критическим показателем фазового перехода модели Изинга.

что для размерности $D \equiv 4- ε$ η $Обратите внимание ,$ можно вычислить приближенно, используя эпсилон-разложение , и можно найти, что

\eta ={\frac {\epsilon ^{2}}{54}}+O(\epsilon ^{3})

.

В физически интересном случае трех пространственных измерений $ε$ = 1, и поэтому это разложение не является строго надежным. Однако полуколичественный прогноз состоит в том, что $η$ численно мало в трех измерениях.

С другой стороны, в двумерном случае модель Изинга точно разрешима. В частности, это эквивалентно одной из минимальных моделей , семейству хорошо понятных CFT, и можно точно вычислить $η$ (и другие критические показатели)

\eta _{_{D=2}}={\frac {1}{4}}

.

Шрамма Эволюция Лёвнера -

Аномальные размеры в некоторых двумерных CFT могут быть связаны с типичными фрактальными размерностями случайных блужданий, где случайные блуждания определяются посредством эволюции Шрамма – Лёвнера (SLE). Как мы видели выше, КТМ описывают физику фазовых переходов, и поэтому с этими фрактальными размерностями можно связать критические показатели некоторых фазовых переходов. Примеры включают 2 -мерную критическую модель Изинга и более общую 2 - мерную критическую модель Поттса . Связь других 2- d CFT с SLE является активной областью исследований.

Универсальность [ править ]

Явление, известное как универсальность, наблюдается во многих физических системах. Он выражает идею о том, что разные микроскопические физики могут привести к одному и тому же масштабному поведению при фазовом переходе. Канонический пример универсальности включает следующие две системы:

Фазовый переход модели Изинга , описанный выше.
в классических жидкостях Переход жидкость-пар .

Хотя микроскопическая физика этих двух систем совершенно различна, их критические показатели оказываются одинаковыми. Более того, эти показатели можно вычислить, используя ту же статистическую теорию поля. Ключевое наблюдение заключается в том, что при фазовом переходе или критической точке флуктуации происходят на всех масштабах длины, и поэтому для описания этих явлений следует искать масштабно-инвариантную статистическую теорию поля. В некотором смысле универсальность — это наблюдение того, что таких масштабно-инвариантных теорий относительно немного.

Совокупность различных микроскопических теорий, описываемых одной и той же масштабно-инвариантной теорией, известна как класс универсальности . Другими примерами систем, принадлежащих к классу универсальности, являются:

Лавины в грудах песка. Вероятность схода лавины находится в степенной зависимости от размера лавины, и лавины возникают во всех масштабах размеров.
Частота сбоев в сети Интернет в зависимости от размера и продолжительности.
Частота цитирования журнальных статей, рассматриваемая в сети всех цитирований среди всех статей, как функция количества цитирований в данной статье. ^{[ нужна цитата ]}
Образование и распространение трещин и разрывов в различных материалах: от стали до камня и бумаги. Изменения направления надрыва или шероховатости изломанной поверхности находятся в степенной зависимости от масштаба размеров.
Электрический пробой диэлектриков , напоминающий трещины и разрывы.
Просачивание в жидкостей через неупорядоченные среды, например нефть через трещины горных пород или воду через фильтровальную бумагу, например, хроматографии . Степенное масштабирование связывает скорость потока с распределением трещин.
Диффузия в молекул растворе . ограниченной и явление агрегации диффузионно -
Распределение горных пород разного размера в агрегатной смеси, подвергающейся встряхиванию (под действием силы тяжести на породы).

Ключевое наблюдение заключается в том, что поведение всех этих различных систем напоминает фазовый переход язык статистической механики и масштабно-инвариантной статистической теории поля и что для их описания можно применять .

примеры инвариантности Другие масштабной

без приложенных сил ньютоновской жидкости Механика

При определенных обстоятельствах механика жидкости представляет собой масштабно-инвариантную классическую теорию поля. Поля представляют собой скорость потока жидкости, $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ , плотность жидкости, $\rho (\mathbf {x} ,t)$ , и давление жидкости, $P(\mathbf {x} ,t)$ . Эти поля должны удовлетворять как уравнению Навье–Стокса , так и уравнению неразрывности . Для ньютоновской жидкости они принимают соответствующие формы

\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0

где $\mu$ – динамическая вязкость .

Чтобы вывести масштабную инвариантность этих уравнений, мы задаем уравнение состояния , связывающее давление жидкости с плотностью жидкости. Уравнение состояния зависит от типа жидкости и условий, которым она подвергается. Например, мы рассматриваем изотермический идеальный газ , который удовлетворяет условию

P=c_{s}^{2}\rho ,

где $c_{s}$ – скорость звука в жидкости. Учитывая это уравнение состояния, Навье–Стокса и уравнение неразрывности инвариантны относительно преобразований

x\rightarrow \lambda x,

t\rightarrow \lambda ^{2}t,

\rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,

\mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .

Учитывая решения $\mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)$ и $\rho (\mathbf {x} ,t)$ , мы автоматически получаем это $\lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)$ и $\lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)$ также являются решениями.

Компьютерное зрение [ править ]

В компьютерном зрении и биологическом зрении масштабные преобразования возникают из-за отображения перспективных изображений и из-за того, что объекты в мире имеют разные физические размеры. В этих областях инвариантность масштаба относится к локальным дескрипторам изображения или визуальным представлениям данных изображения, которые остаются неизменными при изменении локального масштаба в области изображения. ^[8] Обнаружение локальных максимумов по шкалам нормализованных производных ответов обеспечивает общую основу для получения масштабной инвариантности на основе данных изображения. ^[9]^[10] Примеры приложений включают обнаружение капель , обнаружение углов , обнаружение гребней и распознавание объектов с помощью масштабно-инвариантного преобразования признаков .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Йоргенсен, Б. (1997). Теория моделей дисперсии . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0412997112 .
^ Эйслер, З.; Бартос, И.; Кертеш, Дж. (2008). «Масштабирование флуктуаций в сложных системах: закон Тейлора и не только». Адв Физ . 57 (1): 89–142. arXiv : 0708.2053 . Бибкод : 2008AdPhy..57...89E . дои : 10.1080/00018730801893043 . S2CID 119608542 .
^ Кендал, штат Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Степенной закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясненные сходимостью, подобной центральному пределу». Физ. Преподобный Е. 83 (6): 066115. Бибкод : 2011PhRvE..83f6115K . дои : 10.1103/PhysRevE.83.066115 . ПМИД 21797449 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кендал, штат Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/ f и мультифрактальности» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 84 (6): 066120. Бибкод : 2011PhRvE..84f6120K . дои : 10.1103/PhysRevE.84.066120 . ПМИД 22304168 .
^ Йоргенсен, Б.; Мартинес-младший; Цао, М. (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Сканирование J Статистика . 21 (3): 223–243. JSTOR 4616314 .
^ Дж. Зинн-Джастин (2010) Статья в Scholarpedia «Критические явления: теоретический подход поля» .
^ Сальвио, Струмия (17 марта 2014 г.). «Агравитация» . JHEP . 2014 (6): 080. arXiv : 1403.4226 . Бибкод : 2014JHEP...06..080S . дои : 10.1007/JHEP06(2014)080 . S2CID 256010671 .
^ Линдеберг, Т. (2013) Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей, PLoS ONE 8 (7): e66990.
^ Линдеберг, Тони (1998). «Обнаружение признаков с автоматическим выбором масштаба» . Международный журнал компьютерного зрения . 30 (2): 79–116. дои : 10.1023/А:1008045108935 . S2CID 723210 .
^ Т. Линдеберг (2014) «Выбор масштаба», Компьютерное зрение: Справочное руководство, (К. Икеучи, редактор), Springer, страницы 701-713.

Дальнейшее чтение [ править ]

Зинн-Джастин, Жан (2002). Квантовая теория поля и критические явления . Издательство Оксфордского университета. Обширное обсуждение масштабной инвариантности в квантовых и статистических теориях поля, приложений к критическим явлениям, эпсилон-разложению и смежных тем.
ДиФранческо, П.; Матье, П.; Сенешаль, Д. (1997). Конформная теория поля . Спрингер-Верлаг.
Муссардо, Г. (2010). Статистическая теория поля. Введение в точно решаемые модели статистической физики . Издательство Оксфордского университета.

[Jørgensen1997-1] Йоргенсен, Б. (1997). Теория моделей дисперсии . Лондон: Чепмен и Холл. ISBN 978-0412997112 .

[Eisler2008-2] Эйслер, З.; Бартос, И.; Кертеш, Дж. (2008). «Масштабирование флуктуаций в сложных системах: закон Тейлора и не только». Адв Физ . 57 (1): 89–142. arXiv : 0708.2053 . Бибкод : 2008AdPhy..57...89E . дои : 10.1080/00018730801893043 . S2CID 119608542 .

[Kendal2011a-3] Кендал, штат Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Степенной закон Тейлора и масштабирование флуктуаций, объясненные сходимостью, подобной центральному пределу». Физ. Преподобный Е. 83 (6): 066115. Бибкод : 2011PhRvE..83f6115K . дои : 10.1103/PhysRevE.83.066115 . ПМИД 21797449 .

[Kendal2011-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кендал, штат Вашингтон; Йоргенсен, Б. (2011). «Сходимость Твиди: математическая основа степенного закона Тейлора, шума 1/ f и мультифрактальности» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 84 (6): 066120. Бибкод : 2011PhRvE..84f6120K . дои : 10.1103/PhysRevE.84.066120 . ПМИД 22304168 .

[Jørgensen1994-5] Йоргенсен, Б.; Мартинес-младший; Цао, М. (1994). «Асимптотическое поведение функции дисперсии». Сканирование J Статистика . 21 (3): 223–243. JSTOR 4616314 .

[6] Дж. Зинн-Джастин (2010) Статья в Scholarpedia «Критические явления: теоретический подход поля» .

[7] Сальвио, Струмия (17 марта 2014 г.). «Агравитация» . JHEP . 2014 (6): 080. arXiv : 1403.4226 . Бибкод : 2014JHEP...06..080S . дои : 10.1007/JHEP06(2014)080 . S2CID 256010671 .

[Lin13PONE-8] Линдеберг, Т. (2013) Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей, PLoS ONE 8 (7): e66990.

[Lindeberg1998-9] Линдеберг, Тони (1998). «Обнаружение признаков с автоматическим выбором масштаба» . Международный журнал компьютерного зрения . 30 (2): 79–116. дои : 10.1023/А:1008045108935 . S2CID 723210 .

[Lin14CompVis-10] Т. Линдеберг (2014) «Выбор масштаба», Компьютерное зрение: Справочное руководство, (К. Икеучи, редактор), Springer, страницы 701-713.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

самоподобие инвариантные кривые и Масштабно -

Проективная геометрия [ править ]

Фракталы [ править ]

инвариантность в процессах Масштабная случайных

инвариантные распределения Твиди Масштабно -

Космология [ править ]

классической поля Масштабная инвариантность в теории

Масштабная инвариантность конфигураций полей [ править ]

Классический электромагнетизм [ править ]

Безмассовая теория скалярного поля [ править ]

Фи 4 теория [ править ]

поля инвариантность в квантовой Масштабная теории

Квантовая электродинамика [ править ]

Безмассовая теория скалярного поля [ править ]

Конформная теория поля [ править ]

и аномалии Масштабные конформные

Фазовые переходы [ править ]

Модель Изинга [ править ]

Описание ЦФТ [ править ]

Шрамма Эволюция Лёвнера -

Универсальность [ править ]

примеры инвариантности Другие масштабной

без приложенных сил ньютоновской жидкости Механика

Компьютерное зрение [ править ]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Фи ⁴ теория [ править ]