Параметризация МакКаллахом распределений Коши

В теории вероятностей «стандартное» распределение Коши — это распределение вероятностей, которого функция плотности вероятности (pdf) равна

$f(x)={1 \over \pi (1+x^{2})}$

для х реально . равна Медиана 0, а первый и третий квартиль соответственно -1 и +1. Как правило, распределение Коши — это любое распределение вероятностей, принадлежащее к тому же семейству масштабов местоположения, что и это. Таким образом, если X имеет стандартное распределение Коши, а µ — любое действительное число и σ > 0, то Y = µ + σX имеет распределение Коши, медиана которого равна µ , а первый и третий квартиль равны соответственно µ − σ и µ + σ .

Параметризация МакКалла , введенная Питером МакКаллагом , профессором статистики , Чикагского университета использует два параметра нестандартизованного распределения для формирования одного комплексного параметра, а именно комплексного числа θ = μ + iσ , i где единица мнимая . Он также расширяет обычный диапазон масштабных параметров, включив в него σ <0.

Хотя параметр условно выражается с помощью комплексного числа, плотность по-прежнему является плотностью по реальной линии. В частности, плотность может быть записана с использованием вещественных параметров μ и σ , каждый из которых может принимать положительные или отрицательные значения, как

$f(x)={1 \over \pi \left\vert \sigma \right\vert \left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)}\,,$

где распределение считается вырожденным, если σ = 0. Альтернативную форму плотности можно записать с использованием комплексного параметра θ = µ + iσ как

$f(x)={\left\vert \Im {\theta }\right\vert \over \pi \left\vert x-\theta \right\vert ^{2}}\,,$

где $\Im {\theta }=\sigma$.

На вопрос «Зачем вводить комплексные числа, если только о случайных величинах речь идет с действительным знаком?» МакКалла написал:

На этот вопрос я не могу дать лучшего ответа, чем представить любопытный результат, заключающийся в том, что

$Y^{*}={aY+b \over cY+d}\sim C\left({a\theta +b \over c\theta +d}\right)$

для всех действительных чисел a , b , c и d . ...индуцированное преобразование в пространстве параметров имеет ту же дробно-линейную форму, что и преобразование в демонстрационном пространстве, только если пространство параметров считается комплексной плоскостью.

Другими словами, если случайная величина Y имеет распределение Коши с комплексным параметром θ , то случайная величина Y  ^* определенное выше, имеет распределение Коши с параметром ( aθ + b )/( cθ + d ).

МакКаллах также писал: «Распределение первой точки выхода из верхней полуплоскости броуновской частицы , начиная с θ, представляет собой плотность Коши на реальной линии с параметром θ ». Кроме того, МакКалла показывает, что комплекснозначная параметризация позволяет установить простую связь между распределением Коши и «круговым распределением Коши».

Использование комплексного параметра также позволяет легко доказать инвариантность f-дивергенций (например, дивергенции Кульбака-Лейблера, дивергенции хи-квадрат и т. д.) относительно вещественных дробно-линейных преобразований (групповое действие SL(2,R)), и покажите, что все f-расхождения между одномерными плотностями Коши симметричны.

Ссылки

• Питер МакКаллах , «Условный вывод и модели Коши» , Biometrika , том 79 (1992), страницы 247–259. PDF с домашней страницы Маккаллаха.

• Фрэнк Нильсен и Казуки Окамура, «О f-расхождениях между распределениями Коши» , arXiv 2101.12459 (2021).