Четырехзначная логика

В логике четырехзначная логика — это любая логика с четырьмя значениями истинности. Было развито несколько типов четырехзначной логики.

Белнап

Нуэль Белнап рассмотрел проблему ответа на вопросы с помощью компьютера в 1975 году. Отмечая склонность человека ошибаться, он был обеспокоен случаем, когда два противоречивых факта загружались в память, а затем был сделан запрос. «Все мы знаем о плодовитости противоречий в двузначной логике: противоречия никогда не изолированы, заражая всю систему». Белнап предложил четырехзначную логику как средство сдерживания противоречия.

Он назвал таблицу значений A4 : Возможные значения: true , false , оба (истина и ложь) и ни одно (истина и ложь). Логика Belnap разработана для работы с несколькими источниками информации, так что если найдена только истина, то правда присваивается , если найдена только ложь, то присваивается ложь , если некоторые источники говорят правду, а другие говорят ложь, то оба присваиваются , и если информация отсутствует задано любым источником информации, то ни один из них не назначается. Эти четыре значения соответствуют элементам набора мощности на основе { T, F }.

T — верхняя грань, а F — нижняя грань логической решетки , где «Нет» и «Оба» находятся на крыльях. Белнап дает следующую интерпретацию: «Самое худшее — это когда говорят что-то ложное упрощение. Вам будет лучше (это одна из ваших надежд), если вам либо ничего об этом не расскажут, либо вам скажут и то, что это правда, и то, что это правда. ложно; хотя, конечно, лучше всего сказать, что это правда». Белнап отмечает, что в его 4-значной системе избегаются «парадоксы импликации» (A&~A)→B и A→(B∨~B).

Логические связки

Компания Belnap решила проблему расширения логических связок до формата A4 . Поскольку это набор степеней на { T, F }, элементы A4 упорядочены путем включения, что делает его решеткой , в которой оба находятся в верхней части, N - в нижней, а T и F - на крыльях. Ссылаясь на Дану Скотта , он предполагает, что связки представляют собой непрерывные по Скотту или монотонные функции . Сначала он расширяет отрицание , выводя, что ¬Both = Оба и ¬None = None. Если расширить И и Или, то монотонность зайдет лишь до определенного момента. Belnap использует эквивалентность (a&b = a, если и только если avb = b) для заполнения таблиц для этих связок. Он находит None & Both = F а None v Both = T. ,

&	Н	Ф	Т	Б
Н	Н	Ф	Н	Ф
Ф	Ф	Ф	Ф	Ф
Т	Н	Ф	Т	Б
Б	Ф	Ф	Б	Б

v	Н	Ф	Т	Б
Н	Н	Н	Т	Т
Ф	Н	Ф	Т	Б
Т	Т	Т	Т	Т
Б	Т	Б	Т	Б

В результате получается вторая решетка L4 , называемая «логической решеткой», где A4 — «решетка аппроксимации», определяющая непрерывность Скотта.

Реализация с использованием двух битов

Пусть один бит : 01=T и 10=F, 00=N и 11=B. для каждого значения истинности назначен

Тогда отношение подмножества в наборе степеней на {T, F} соответствует порядку ab<cd тогда и только тогда, когда a<c и b<d в двухбитовом представлении. Белнап называет решетку, связанную с этим порядком, «решеткой аппроксимации».

Логика, связанная с двухбитовыми переменными, может быть встроена в компьютерное оборудование.

Матричные переходы

Как дискретная система , четырехзначная логика иллюстрирует набор состояний, подлежащих переходам с помощью логических матриц, образующих систему переходов . Входной сигнал из двух битов преобразуется в выходной сигнал из двух бит посредством умножения матрицы .

Существует шестнадцать логических матриц размером 2x2 и четыре логических вектора, которые действуют как входные и выходные данные матричных переходов:

X = {A, B, C, D } = {(0,1), (1, 0), (0, 0), (1, 1) }.

Когда входной сигнал C, выходной сигнал всегда равен C. Четыре из шестнадцати имеют ноль только в одном углу, поэтому выходным результатом умножения векторной матрицы с булевой арифметикой всегда является D, за исключением входного сигнала C.

Еще девять логических матриц требуют описания, чтобы заполнить систему помеченных переходов, где матрицы обозначают переходы. За исключением C, входы A, B и D рассматриваются по порядку, а выход X выражается тройкой, например ABD для ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$ широко известный как единичная матрица .

Асимметричные матрицы различаются по своему действию на векторы-строки и вектор-столбцы. Здесь используется соглашение о строках:

${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$ имеет код BBB, ${\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}$ код ААА

${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$ имеет код CDB, ${\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}$ код ДКА.

Остальные операции над X выражаются матрицами с тремя нулями, поэтому выходные данные включают C для трети входных данных. В этих случаях коды: CAA, BCA, ACA и CBB.

Приложения

Четырехзначная логика была установлена ​​IEEE в стандарте IEEE 1364 : она моделирует значения сигналов в цифровых схемах. Четыре значения 1 , 0 , Z и X. : 1 и 0 означают логические значения «истина» и «ложь», Z означает высокий импеданс или разомкнутую цепь, а X означает «безразлично» (например, значение не имеет никакого эффекта). Эта логика сама по себе является подмножеством стандарта 9-значной логики, называемого 1164 и реализованного на языке описания аппаратного обеспечения сверхбыстрых интегральных схем, VHDL IEEE std_logic .

Не следует путать четырехзначную математическую логику (с использованием операторов, таблиц истинности, силлогизмов, исчисления высказываний, теорем и т. д.) с протоколами связи, построенными с использованием двоичной логики и отображающими ответы с четырьмя возможными состояниями, реализованными с булевым типом значений: например, стандарт SAE J1939 , используемый для передачи данных CAN в тяжелых дорожных транспортных средствах, который имеет четыре логических (логических) значения: False , True , Error Condition и Not установлено (представлено значениями 0–3). Состояние ошибки означает, что существует техническая проблема, препятствующая получению данных. Логика для этого, например, True и Error Condition = Error Condition . Параметр «Не установлено» используется для обозначения функции, которой нет в этом автомобиле, и ее следует игнорировать при логических расчетах. По CAN обычно отправляются сообщения с фиксированными данными, каждое из которых содержит множество значений сигнала, поэтому сигнал, представляющий неустановленную функцию, будет отправлен в любом случае.

Разделенный бит, предложенный гейт

При создании углеродных нанотрубок для логических вентилей использовались полевые транзисторы из углеродных нанотрубок (CNFET). Ожидаемый спрос на хранение данных в Интернете вещей (IoT) является мотивацией. Было сделано предложение для приложения процесса 32 нм с использованием разделенного битового вентиля: «Благодаря использованию технологии CNFET в узле 32 нм с помощью предлагаемого вентиля SQI были предложены архитектуры QSRAM с двумя разделенными битовыми линиями для решения проблемы растущего спроса на Была предложена емкость хранения в приложениях IoT/IoVT, таких как новый декодер четвертично-двоичного кода для QSRAM».

См. также

• Чатушкоти - система четырех ценностей, используемая в буддийской логике.
• Неклассическая логика
• Многозначная логика
• Трехзначная логика

Дальнейшее чтение

• Ариэли, Офер; Аврон, Арнон (декабрь 2017 г.). «Четырехзначная параопределенная логика» . Студия Логика . 105 (6) (опубликовано 10 апреля 2017 г.): 1087–1122. дои : 10.1007/s11225-017-9721-4 . S2CID   207243272 .
• Бимбо, Каталин ; Данн, Дж. Майкл (лето 2001 г.). «Четырехзначная логика» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 42 (3): 171–192. дои : 10.1305/ndjfl/1063372199 . МР   2010180 . Збл   1034.03021 – через проект Евклид .
• Феррейра, Дж. Улиссес (30 сентября – 1 октября 2017 г.). Четырехзначная логика (PDF) . 9-я Международная конференция по сетям и коммуникациям (NeCoM 2017) . Компьютерные науки и информационные технологии . Том. 7, нет. 4. Дубай. стр. 71–84. дои : 10.5121/csit.2017.71206 . ISBN  978-1-921987-72-4 .