Алгебра Гекке пары
математике алгебра Гекке пары ( G , K ) локально компактных или редуктивных групп Ли является алгеброй мер В при свертке . Его также можно определить для пары ( g , K ) максимальной компактной подгруппы K группы Ли с алгеброй Ли g , и в этом случае алгебра Гекке является алгеброй с приближенным тождеством , чьи приблизительно единичные модули такие же, как и K -конечные представления пар ( g , K ).
Алгебра Гекке пары является обобщением классической алгебры Гекке, изученной Эрихом Гекке , что соответствует случаю (GL 2 ( Q ), GL 2 ( Z )).
Локально компактные группы
[ редактировать ]Пусть ( G , K ) — пара, состоящая из локально компактной топологической группы G и замкнутой подгруппы K группы G. унимодулярной Тогда пространство би- K -инвариантных непрерывных функций носителя компактного
- с С ∞ [ К \ Г / К ]
может быть наделено структурой ассоциативной алгебры при операции свертки . [1] Эту алгебру часто обозначают
- Ч ( Г // К )
и называется алгеброй Гекке пары ( G , K ).
Характеристики
[ редактировать ]Если ( G , K ) — пара Гельфанда , то алгебра Гекке оказывается коммутативной.
Редуктивные группы Ли и алгебры Ли
[ редактировать ]В 1979 году Дэниел Флат дал аналогичную конструкцию для общих редуктивных групп G. Ли [2] Алгебра Гекке пары ( g , K ) алгебры Ли g с группой Ли G и максимальной компактной подгруппой K — это алгебра K -конечных распределений на G с носителем в K , с произведением, заданным сверткой . [3] [4]
Примеры
[ редактировать ]Конечные группы
[ редактировать ]Когда G — конечная группа и K — любая подгруппа G , то алгебра Гекке натянута на двойные классы класса H \ G / H .
SL( n ) над p -адическим полем
[ редактировать ]Для специальной линейной группы над p числами - адическими
- G = SL n ( Q p ) и K = SL n ( Z p ),
представления соответствующего коммутативного кольца Гекке были изучены Яном Г. Макдональдом .
GL(2) над рациональными числами
[ редактировать ]Для общей линейной группы над числами рациональными
- G = GL 2 ( Q ) и K = GL 2 ( Z )
алгебра Гекке пары ( G , K — классическая алгебра Гекке , являющаяся коммутативным кольцом операторов Гекке в теории модулярных форм .
Это бесполезно
[ редактировать ]Случай, ведущий к алгебре Ивахори–Хекке конечной группы Вейля, - это случай, когда G является конечной группой Шевалле над конечным полем с p к элементы, а B — ее борелевская подгруппа . Ивахори показал, что кольцо Хекке
- Ч ( Г // Б )
получается из общей алгебры Гекке H q группы Вейля W группы G путем специализации неопределенного q последней алгебры до p к , мощность конечного поля. Джордж Люстиг заметил в 1984 году: [5]
Я думаю, правильнее всего было бы назвать ее алгеброй Ивахори, но название «кольцо (или алгебра) Гекке», данное самим Ивахори, используется уже почти 20 лет, и сейчас, вероятно, уже слишком поздно его менять.
Ивахори и Мацумото (1965) рассмотрели случай, когда G — группа точек редуктивной алгебраической группы над неархимедовым локальным полем F например Qp , а K — это то, что сейчас называется подгруппой Ивахори в G. , Полученное кольцо Гекке изоморфно алгебре Гекке аффинной группы Вейля группы G или аффинной Гекке , где неопределенное q специализировано по мощности поля вычетов группы F. алгебре
Примечания
[ редактировать ]- ^ Bump 1997 , с. 309, §3.4
- ^ Bump 1997 , с. 310, §3.4
- ^ Bump 1997 , с. 310, §3.4
- ^ Кнапп и Воган 1995
- ^ Люстиг 1984 , с. xi
Ссылки
[ редактировать ]- Бамп, Дэниел (1997). Автоморфные формы и представления . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 55. Издательство Кембриджского университета .
- Кнапп, Энтони В .; Воган, Дэвид А. (1995). Когомологическая индукция и унитарные представления . Принстонская математическая серия. Том. 45. Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-03756-1 . МР 1330919 .
- Люстиг, Джордж (1984). Характеры редуктивных групп над конечным полем . Анналы математических исследований. Том. 107. Издательство Принстонского университета .
- Шимура, Горо (1971). Введение в арифметическую теорию автоморфных функций (изд. в мягкой обложке). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08092-5 .