Квантовый предел скорости

В квантовой механике предел квантовой скорости ( QSL ) — это ограничение минимального времени, в течение которого квантовая система эволюционирует между двумя различимыми (ортогональными) состояниями. ^[1] Теоремы QSL тесно связаны с соотношениями неопределенности время-энергия. В 1945 году Леонид Мандельштам и Игорь Тамм вывели соотношение неопределенности время-энергия, которое ограничивает скорость эволюции с точки зрения дисперсии энергии. ^[2] Более полувека спустя Норман Марголюс и Лев Левитин показали, что скорость эволюции не может превышать среднюю энергию, ^[3] результат, известный как теорема Марголуса-Левитина. Реалистичные физические системы, находящиеся в контакте с окружающей средой, известны как открытые квантовые системы , и их эволюция также подлежит QSL. ^[4]^[5] Весьма примечательно было показано, что эффекты окружающей среды, такие как немарковская динамика, могут ускорять квантовые процессы. ^[6] что было подтверждено в эксперименте по КЭД с резонатором. ^[7]

QSL использовались для изучения пределов вычислений. ^[8]^[9] и сложность. В 2017 году QSL исследовались в квантовом генераторе при высокой температуре. ^[10] В 2018 году было показано, что QSL не ограничиваются квантовой областью и что аналогичные ограничения справедливы и в классических системах. ^[11]^[12] В 2021 году границы QSL Мандельштама-Тамма и Марголуса-Левитина были одновременно проверены в одном эксперименте. ^[13] что указывало на существование «двух разных режимов: один, в котором предел Мандельштама-Тамма всегда ограничивает эволюцию, и второй, в котором переход к пределу Марголуса-Левитина происходит в более длительные моменты времени».

Предварительные определения

Теоремы о пределе скорости могут быть сформулированы как для чистых состояний , так и для смешанных состояний ; для чистых состояний они принимают более простую форму. Произвольное чистое состояние можно записать как линейную комбинацию собственных состояний энергии:

|\psi \rangle =\sum _{n}c_{n}|E_{n}\rangle .

Задача – дать нижнюю границу интервала времени $t_{\perp }$ требуется для исходного состояния $|\psi \rangle$ перейти в состояние, ортогональное $|\psi \rangle$ . Временная эволюция чистого состояния определяется уравнением Шрёдингера :

|\psi _{t}\rangle =\sum _{n}c_{n}e^{itE_{n}/\hbar }|E_{n}\rangle .

Ортогональность достигается, когда

\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle =0

и минимальный интервал времени $t=t_{\perp }$ необходимый для достижения этого условия, называется интервалом ортогонализации ^[2] или время ортогонализации. ^[14]

Предел Мандельштама–Тамма

Для чистых состояний теорема Мандельштама – Тамма утверждает, что минимальное время $t_{\perp }$ необходимое для того, чтобы состояние превратилось в ортогональное состояние, ограничено ниже:

t_{\perp }\geq {\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}={\frac {h}{4\,\delta E}}

,

где

(\delta E)^{2}=\left\langle \psi |H^{2}|\psi \right\rangle -(\left\langle \psi |H|\psi \right\rangle )^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{n,m}|c_{n}|^{2}|c_{m}|^{2}(E_{n}-E_{m})^{2}

,

- это дисперсия энергии системы и $H$ — гамильтонов оператор . Квантовая эволюция не зависит от конкретного гамильтониана, используемого для перемещения квантовой системы вдоль заданной кривой в проективном гильбертовом пространстве ; расстояние вдоль этой кривой измеряется метрикой Фубини–Студи . ^[15] Иногда его называют квантовым углом , поскольку его можно понимать как арккос внутреннего продукта начального и конечного состояний.

Для смешанных состояний

Предел Мандельштама – Тамма можно также установить для смешанных состояний и для изменяющихся во времени гамильтонианов. В этом случае метрику Буреса вместо метрики Фубини–Студи необходимо использовать . Смешанное состояние можно понимать как сумму чистых состояний, взвешенную по классическим вероятностям ; аналогично метрика Буреса представляет собой взвешенную сумму метрики Фубини – Стьюди. Для изменяющегося во времени гамильтониана $H_{t}$ и изменяющаяся во времени матрица плотности $\rho _{t},$ дисперсия энергии определяется выражением

\sigma _{H}^{2}(t)=|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t}^{2})|-|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|^{2}

Тогда предел Мандельштама–Тамма примет вид

\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })

,

где $D_{B}$ — расстояние Буреса между начальным и конечным состояниями. Расстояние Буреса является геодезическим и дает кратчайшее возможное расстояние любой непрерывной кривой, соединяющей две точки. $\sigma _{H}(t)$ понимаемую как бесконечно малую длину пути вдоль кривой, параметризованной $t.$ Эквивалентно, время $\tau$ принято эволюционировать из $\rho$ к $\rho '$ ограничен как

\tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}D_{B}(\rho ,\rho ')

где

{\overline {\sigma }}_{H}={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }\sigma _{H}(t)dt

– это усредненная по времени неопределенность энергии. Для чистого состояния, развивающегося под действием изменяющегося во времени гамильтониана, время $\tau$ принятое для перехода из одного чистого состояния в другое чистое состояние, ортогональное ему, ограничено как ^[16]

\tau \geq {\frac {\hbar }{{\overline {\sigma }}_{H}}}{\frac {\pi }{2}}

Отсюда следует, что для чистого состояния имеется матрица плотности $\rho _{t}=|\psi _{t}\rangle \langle \psi _{t}|.$ Квантовый угол (расстояние Фубини – Стьюди) тогда равен $D_{B}(\rho _{0},\rho _{t})=\arccos |\langle \psi _{0}|\psi _{t}\rangle |$ и так делается вывод $D_{B}=\arccos 0=\pi /2$ когда начальное и конечное состояния ортогональны.

Предел Марголуса – Левита

Для случая чистого состояния Марголюс и Левитин ^[3] получить другой предел, который

\tau _{\perp }\geq {\frac {h}{4\langle E\rangle }},

где $\langle E\rangle$ средняя энергия, $\langle E\rangle =E_{\text{avg}}=\langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{n}|c_{n}|^{2}E_{n}.$ Эта форма применяется, когда гамильтониан не зависит от времени, а энергия основного состояния определяется как ноль.

Для изменяющихся во времени состояний

Теорему Марголюса-Левитина можно также обобщить на случай, когда гамильтониан меняется со временем и система описывается смешанным состоянием . ^[16] В таком виде оно задается

\int _{0}^{\tau }|{\text{tr}}(\rho _{t}H_{t})|dt\geq \hbar D_{B}(\rho _{0},\rho _{\tau })

основное состояние определено так, что оно всегда имеет нулевую энергию.

Это дает результат для состояний, изменяющихся во времени. Хотя он также обеспечивает границу для смешанных состояний, граница (для смешанных состояний) может быть настолько свободной, что становится неинформативной. ^[17] Теорема Марголюса-Левитина еще не установлена для нестационарных квантовых систем, гамильтонианы которых $H_{t}$ управляются произвольными параметрами, зависящими от времени, за исключением адиабатического случая. ^[18]

Предел Левитина–Тофоли

Результат Льва Б. Левитина и Томмазо Тоффоли, полученный в 2009 году , утверждает, что точная оценка теоремы Мандельштама – Тамма достигается только для состояния кубита . ^[14] Это двухуровневое состояние в равной суперпозиции

\left|\psi _{q}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\left|E_{0}\right\rangle +e^{i\varphi }\left|E_{1}\right\rangle \right)

для собственных состояний энергии $E_{0}=0$ и $E_{1}=\pm \pi \hbar /\Delta t$ . Штаты $\left|E_{0}\right\rangle$ и $\left|E_{1}\right\rangle$ уникальны с точностью до вырождения энергетического уровня $E_{1}$ и произвольный фазовый коэффициент $\varphi .$ Этот результат является точным, поскольку это состояние также удовлетворяет границе Марголуса-Левитина, поскольку $E_{\text{avg}}=\delta E$ и так $t_{\perp }=\hbar \pi /2E_{\text{avg}}=\hbar \pi /2\delta E.$ Этот результат устанавливает, что комбинированные ограничения являются строгими:

t_{\perp }\geq \max \left({\frac {\pi \hbar }{2\,\delta E}}\;,\;{\frac {\pi \hbar }{2\,E_{\text{avg}}}}\right)

Левитин и Тоффоли также дают оценку средней энергии через максимум. Для любого чистого состояния $\left|\psi \right\rangle ,$ средняя энергия ограничена как

{\frac {E_{\text{max}}}{4}}\leq E_{\text{avg}}\leq {\frac {E_{\text{max}}}{2}}

где $E_{\text{max}}$ - максимальное собственное значение энергии, появляющееся в $\left|\psi \right\rangle .$ (Это теорема о четверть защемленной сфере замаскированная , перенесенная в комплексное проективное пространство .) Таким образом, существует оценка

{\frac {\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}\leq t_{\perp }\leq {\frac {2\pi \hbar }{E_{\text{max}}}}

Строгая нижняя граница $E_{\text{max}}t_{\perp }=\pi \hbar$ снова достигается для состояния кубита $\left|\psi _{q}\right\rangle$ с $E_{\text{max}}=E_{1}$ .

Предел Бремермана

Границы предела квантовой скорости устанавливают верхнюю границу, при которой вычисления могут выполняться . Вычислительная техника построена из физической материи, соответствующей квантовой механике, и каждая операция, если она должна быть однозначной, должна быть переходом системы из одного состояния в ортогональное состояние. Предположим, что вычислительная машина представляет собой физическую систему, развивающуюся по гамильтониану, который не меняется со временем. Тогда согласно теореме Марголуса-Левитина количество операций в единицу времени на единицу энергии ограничено сверху величиной

{\frac {2}{\hbar \pi }}=6\times 10^{33}\mathrm {s} ^{-1}\cdot \mathrm {J} ^{-1}

Это устанавливает строгий верхний предел количества вычислений, которые может выполнить физическая материя. Скорость обработки всех видов вычислений не может быть выше примерно 6 × 10 ³³ операций в секунду на джоуль энергии. Сюда входят и «классические» компьютеры, поскольку даже классические компьютеры по-прежнему состоят из материи, подчиняющейся квантовой механике. ^[19]^[20]

Эта граница — не просто фантастический предел: она имеет практические последствия для квантовостойкой криптографии . Если представить себе компьютер, работающий на этом пределе, то перебор с целью взлома 128-битного ключа шифрования требует лишь скромных ресурсов. Для грубого подбора 256-битного ключа требуются компьютеры планетарного масштаба, в то время как перебор 512-битных ключей фактически недостижим в течение существования Вселенной, даже если бы для решения этой проблемы были применены компьютеры галактического размера.

Граница Бекенштейна ограничивает объем информации, которая может храниться в объеме пространства. Максимальная скорость изменения информации в этом объеме пространства определяется пределом квантовой скорости. Это произведение пределов иногда называют пределом Бремермана – Бекенштейна ; оно насыщается излучением Хокинга . ^[1] То есть излучение Хокинга испускается с максимально допустимой скоростью, установленной этими границами.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Деффнер, С.; Кэмпбелл, С. (10 октября 2017 г.). «Квантовые ограничения скорости: от принципа неопределенности Гейзенберга к оптимальному квантовому управлению». Дж. Физ. А: Математика. Теор. 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Бибкод : 2017JPhA...50S3001D . дои : 10.1088/1751-8121/aa86c6 . S2CID 3477317 .
^ Jump up to: ^а ^б Мандельштам, Л.И.; Тамм, И.Э. (1945). «Соотношение неопределенности между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике». Дж. Физ. (СССР) . 9 : 249–254. Перепечатано как Мандельштам Л.; Тамм, Иг. (1991). «Соотношение неопределенности между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике». Болотовский Борис М.; Френкель, Виктор Я.; Пайерлс, Рудольф (ред.). Избранные статьи . Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 115–123. дои : 10.1007/978-3-642-74626-0_8 . ISBN 978-3-642-74628-4 . Проверено 6 апреля 2024 г.
^ Jump up to: ^а ^б Марголус, Норман; Левитин, Лев Б. (сентябрь 1998 г.). «Максимальная скорость динамической эволюции». Физика D: Нелинейные явления . 120 (1–2): 188–195. arXiv : Quant-ph/9710043 . Бибкод : 1998PhyD..120..188M . дои : 10.1016/S0167-2789(98)00054-2 . S2CID 468290 .
^ Таддеи, ММ; Эшер, Б.М.; Давидович Л.; де Матос Фильо, RL (30 января 2013 г.). «Квантовый предел скорости физических процессов». Письма о физических отзывах . 110 (5): 050402. arXiv : 1209.0362 . Бибкод : 2013PhRvL.110e0402T . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050402 . ПМИД 23414007 . S2CID 38373815 .
^ дель Кампо, А.; Эгускиса, Иллинойс; Пленио, МБ; Уэльга, Сан-Франциско (30 января 2013 г.). «Квантовые ограничения скорости в динамике открытых систем». Письма о физических отзывах . 110 (5): 050403. arXiv : 1209.1737 . Бибкод : 2013PhRvL.110e0403D . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050403 . ПМИД 23414008 . S2CID 8362503 .
^ Деффнер, С.; Лутц, Э. (3 июля 2013 г.). «Квантовый предел скорости для немарковской динамики». Письма о физических отзывах . 111 (1): 010402.arXiv : 1302.5069 . Бибкод : 2013PhRvL.111a0402D . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.010402 . ПМИД 23862985 . S2CID 36711861 .
^ Чиммарусти, AD; Ян, З.; Паттерсон, Б.Д.; Коркос, LP; Ороско, Луизиана; Деффнер, С. (11 июня 2015 г.). «Ускорение эволюции поля в квантовой электродинамике резонатора с помощью окружающей среды». Письма о физических отзывах . 114 (23): 233602. arXiv : 1503.02591 . Бибкод : 2015PhRvL.114w3602C . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.233602 . ПМИД 26196802 . S2CID 14904633 .
^ Ллойд, Сет (31 августа 2000 г.). «Предельные физические пределы вычислений». Природа . 406 (6799): 1047–1054. arXiv : Quant-ph/9908043 . Бибкод : 2000Natur.406.1047L . дои : 10.1038/35023282 . ISSN 1476-4687 . ПМИД 10984064 . S2CID 75923 .
^ Ллойд, Сет (24 мая 2002 г.). «Вычислительная мощность Вселенной». Письма о физических отзывах . 88 (23): 237901. arXiv : quant-ph/0110141 . Бибкод : 2002PhRvL..88w7901L . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.237901 . ПМИД 12059399 . S2CID 6341263 .
^ Деффнер, С. (20 октября 2017 г.). «Геометрические ограничения квантовой скорости: случай фазового пространства Вигнера» . Новый журнал физики . 19 (10): 103018. arXiv : 1704.03357 . Бибкод : 2017NJPh...19j3018D . дои : 10.1088/1367-2630/aa83dc . hdl : 11603/19409 .
^ Шанахан, Б.; Чену, А.; Марголюс, Н.; дель Кампо, А. (12 февраля 2018 г.). «Ограничения квантовой скорости при квантово-классическом переходе» . Письма о физических отзывах . 120 (7): 070401. arXiv : 1710.07335 . Бибкод : 2018PhRvL.120g0401S . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070401 . ПМИД 29542956 .
^ Окуяма, Манака; Одзэки, Масаюки (12 февраля 2018 г.). «Квантовый предел скорости не является квантовым». Письма о физических отзывах . 120 (7): 070402. arXiv : 1710.03498 . Бибкод : 2018PhRvL.120g0402O . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070402 . ПМИД 29542975 . S2CID 4027745 .
^ Несс, Гал; Лам, Маноло Р.; Альт, Вольфганг; Мешеде, Дитер; Саги, Йоав; Альберти, Андреа (22 декабря 2021 г.). «Наблюдение пересечения пределов квантовой скорости» . Достижения науки . 7 (52): eabj9119. дои : 10.1126/sciadv.abj9119 . ПМЦ 8694601 . ПМИД 34936463 .
^ Jump up to: ^а ^б Лев Борисович Левитин; Томмазо Тоффоли (2009), «Фундаментальный предел скорости квантовой динамики: единая граница жесткая» , Physical Review Letters , 103 (16): 160502, arXiv : 0905.3417 , Bibcode : 2009PhRvL.103p0502L , doi : 10.1103/PhysRev Летт. 103.160502 , ISSN 0031-9007 , PMID 19905679 , S2CID 36320152
^ Ааронов, Якир; Анандан, Джива (1990). «Геометрия квантовой эволюции». Письма о физических отзывах . 65 (14): 1697–1700. Бибкод : 1990PhRvL..65.1697A . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.1697 . ПМИД 10042340 .
^ Jump up to: ^а ^б Деффнер, Себастьян; Лутц, Эрик (23 августа 2013 г.). «Соотношение неопределенности энергии и времени для управляемых квантовых систем» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 46 (33): 335302. arXiv : 1104.5104 . Бибкод : 2013JPhA...46G5302D . дои : 10.1088/1751-8113/46/33/335302 . hdl : 11603/19394 . ISSN 1751-8113 . S2CID 119313370 .
^ Марвиан, Иман; Спеккенс, Роберт В .; Занарди, Паоло (24 мая 2016 г.). «Квантовые ограничения скорости, когерентность и асимметрия» . Физический обзор А. 93 (5): 052331. arXiv : 1510.06474 . Бибкод : 2016PhRvA..93e2331M . дои : 10.1103/PhysRevA.93.052331 . ISSN 2469-9926 .
^ Окуяма, Манака; Одзэки, Масаюки (2018). «Комментарий к статье «Соотношение неопределенности энергии и времени для управляемых квантовых систем» » . Физический журнал A: Математический и теоретический . 51 (31): 318001. arXiv : 1802.00995 . Бибкод : 2018JPhA...51E8001O . дои : 10.1088/1751-8121/aacb90 . ISSN 1751-8113 .
^ Бремерманн, HJ (1962) Оптимизация посредством эволюции и рекомбинации В: Самоорганизующиеся системы 1962, под редакцией MC Yovits et al., Spartan Books, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 93–106.
^ Бремерманн, HJ (1965) Квантовый шум и информация . 5-й симпозиум Беркли по математической статистике и теории вероятности; унив. из California Press, Беркли, Калифорния.

Дальнейшее чтение

Джордан, Стивен П. (2017). «Быстрые квантовые вычисления при произвольно низкой энергии». Физический обзор А. 95 (3): 032305. arXiv : 1701.01175 . Бибкод : 2017PhRvA..95c2305J . дои : 10.1103/PhysRevA.95.032305 . S2CID 118953874 .
Синицын, Николай А. (2018). «Существует ли квантовый предел скорости вычислений?». Буквы по физике А. 382 (7): 477–481. arXiv : 1701.05550 . Бибкод : 2018PhLA..382..477S . дои : 10.1016/j.physleta.2017.12.042 . S2CID 55887738 .

[DEF-1] Jump up to: ^а ^б Деффнер, С.; Кэмпбелл, С. (10 октября 2017 г.). «Квантовые ограничения скорости: от принципа неопределенности Гейзенберга к оптимальному квантовому управлению». Дж. Физ. А: Математика. Теор. 50 (45): 453001. arXiv : 1705.08023 . Бибкод : 2017JPhA...50S3001D . дои : 10.1088/1751-8121/aa86c6 . S2CID 3477317 .

[MTT-2] Jump up to: ^а ^б Мандельштам, Л.И.; Тамм, И.Э. (1945). «Соотношение неопределенности между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике». Дж. Физ. (СССР) . 9 : 249–254. Перепечатано как Мандельштам Л.; Тамм, Иг. (1991). «Соотношение неопределенности между энергией и временем в нерелятивистской квантовой механике». Болотовский Борис М.; Френкель, Виктор Я.; Пайерлс, Рудольф (ред.). Избранные статьи . Берлин, Гейдельберг: Springer. стр. 115–123. дои : 10.1007/978-3-642-74626-0_8 . ISBN 978-3-642-74628-4 . Проверено 6 апреля 2024 г.

[Margolus1998-3] Jump up to: ^а ^б Марголус, Норман; Левитин, Лев Б. (сентябрь 1998 г.). «Максимальная скорость динамической эволюции». Физика D: Нелинейные явления . 120 (1–2): 188–195. arXiv : Quant-ph/9710043 . Бибкод : 1998PhyD..120..188M . дои : 10.1016/S0167-2789(98)00054-2 . S2CID 468290 .

[4] Таддеи, ММ; Эшер, Б.М.; Давидович Л.; де Матос Фильо, RL (30 января 2013 г.). «Квантовый предел скорости физических процессов». Письма о физических отзывах . 110 (5): 050402. arXiv : 1209.0362 . Бибкод : 2013PhRvL.110e0402T . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050402 . ПМИД 23414007 . S2CID 38373815 .

[5] дель Кампо, А.; Эгускиса, Иллинойс; Пленио, МБ; Уэльга, Сан-Франциско (30 января 2013 г.). «Квантовые ограничения скорости в динамике открытых систем». Письма о физических отзывах . 110 (5): 050403. arXiv : 1209.1737 . Бибкод : 2013PhRvL.110e0403D . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.050403 . ПМИД 23414008 . S2CID 8362503 .

[6] Деффнер, С.; Лутц, Э. (3 июля 2013 г.). «Квантовый предел скорости для немарковской динамики». Письма о физических отзывах . 111 (1): 010402.arXiv : 1302.5069 . Бибкод : 2013PhRvL.111a0402D . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.010402 . ПМИД 23862985 . S2CID 36711861 .

[7] Чиммарусти, AD; Ян, З.; Паттерсон, Б.Д.; Коркос, LP; Ороско, Луизиана; Деффнер, С. (11 июня 2015 г.). «Ускорение эволюции поля в квантовой электродинамике резонатора с помощью окружающей среды». Письма о физических отзывах . 114 (23): 233602. arXiv : 1503.02591 . Бибкод : 2015PhRvL.114w3602C . doi : 10.1103/PhysRevLett.114.233602 . ПМИД 26196802 . S2CID 14904633 .

[8] Ллойд, Сет (31 августа 2000 г.). «Предельные физические пределы вычислений». Природа . 406 (6799): 1047–1054. arXiv : Quant-ph/9908043 . Бибкод : 2000Natur.406.1047L . дои : 10.1038/35023282 . ISSN 1476-4687 . ПМИД 10984064 . S2CID 75923 .

[9] Ллойд, Сет (24 мая 2002 г.). «Вычислительная мощность Вселенной». Письма о физических отзывах . 88 (23): 237901. arXiv : quant-ph/0110141 . Бибкод : 2002PhRvL..88w7901L . doi : 10.1103/PhysRevLett.88.237901 . ПМИД 12059399 . S2CID 6341263 .

[10] Деффнер, С. (20 октября 2017 г.). «Геометрические ограничения квантовой скорости: случай фазового пространства Вигнера» . Новый журнал физики . 19 (10): 103018. arXiv : 1704.03357 . Бибкод : 2017NJPh...19j3018D . дои : 10.1088/1367-2630/aa83dc . hdl : 11603/19409 .

[11] Шанахан, Б.; Чену, А.; Марголюс, Н.; дель Кампо, А. (12 февраля 2018 г.). «Ограничения квантовой скорости при квантово-классическом переходе» . Письма о физических отзывах . 120 (7): 070401. arXiv : 1710.07335 . Бибкод : 2018PhRvL.120g0401S . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070401 . ПМИД 29542956 .

[12] Окуяма, Манака; Одзэки, Масаюки (12 февраля 2018 г.). «Квантовый предел скорости не является квантовым». Письма о физических отзывах . 120 (7): 070402. arXiv : 1710.03498 . Бибкод : 2018PhRvL.120g0402O . doi : 10.1103/PhysRevLett.120.070402 . ПМИД 29542975 . S2CID 4027745 .

[13] Несс, Гал; Лам, Маноло Р.; Альт, Вольфганг; Мешеде, Дитер; Саги, Йоав; Альберти, Андреа (22 декабря 2021 г.). «Наблюдение пересечения пределов квантовой скорости» . Достижения науки . 7 (52): eabj9119. дои : 10.1126/sciadv.abj9119 . ПМЦ 8694601 . ПМИД 34936463 .

[LTT-14] Jump up to: ^а ^б Лев Борисович Левитин; Томмазо Тоффоли (2009), «Фундаментальный предел скорости квантовой динамики: единая граница жесткая» , Physical Review Letters , 103 (16): 160502, arXiv : 0905.3417 , Bibcode : 2009PhRvL.103p0502L , doi : 10.1103/PhysRev Летт. 103.160502 , ISSN 0031-9007 , PMID 19905679 , S2CID 36320152

[GQE-15] Ааронов, Якир; Анандан, Джива (1990). «Геометрия квантовой эволюции». Письма о физических отзывах . 65 (14): 1697–1700. Бибкод : 1990PhRvL..65.1697A . doi : 10.1103/PhysRevLett.65.1697 . ПМИД 10042340 .

[Deffner2013-16] Jump up to: ^а ^б Деффнер, Себастьян; Лутц, Эрик (23 августа 2013 г.). «Соотношение неопределенности энергии и времени для управляемых квантовых систем» . Физический журнал A: Математический и теоретический . 46 (33): 335302. arXiv : 1104.5104 . Бибкод : 2013JPhA...46G5302D . дои : 10.1088/1751-8113/46/33/335302 . hdl : 11603/19394 . ISSN 1751-8113 . S2CID 119313370 .

[17] Марвиан, Иман; Спеккенс, Роберт В .; Занарди, Паоло (24 мая 2016 г.). «Квантовые ограничения скорости, когерентность и асимметрия» . Физический обзор А. 93 (5): 052331. arXiv : 1510.06474 . Бибкод : 2016PhRvA..93e2331M . дои : 10.1103/PhysRevA.93.052331 . ISSN 2469-9926 .

[CETURDQS-18] Окуяма, Манака; Одзэки, Масаюки (2018). «Комментарий к статье «Соотношение неопределенности энергии и времени для управляемых квантовых систем» » . Физический журнал A: Математический и теоретический . 51 (31): 318001. arXiv : 1802.00995 . Бибкод : 2018JPhA...51E8001O . дои : 10.1088/1751-8121/aacb90 . ISSN 1751-8113 .

[19] Бремерманн, HJ (1962) Оптимизация посредством эволюции и рекомбинации В: Самоорганизующиеся системы 1962, под редакцией MC Yovits et al., Spartan Books, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 93–106.

[20] Бремерманн, HJ (1965) Квантовый шум и информация . 5-й симпозиум Беркли по математической статистике и теории вероятности; унив. из California Press, Беркли, Калифорния.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]