Ограниченно порожденная группа

В математике группа , называется ограниченно порожденной если ее можно выразить как конечное произведение циклических подгрупп . Свойство ограниченной генерации также тесно связано с проблемой конгруэнтных подгрупп (см. Lubotzky & Segal 2003 ).

Определения

Группа G называется ограниченно порожденной, если существует конечное подмножество S группы G и целое положительное число m такие, что каждый элемент g группы G можно представить в виде произведения не более чем m степеней элементов группы S :

$g=s_{1}^{k_{1}}\cdots s_{m}^{k_{m}},$ где $s_{i}\in S$ и $k_{i}$ являются целыми числами.

Конечное множество S порождает G , поэтому ограниченно порожденная группа является конечно порожденной .

Эквивалентное определение можно дать в терминах циклических подгрупп. Группа G называется ограниченно порожденной, если существует конечное семейство C ₁ , …, CM _{множество} не обязательно различных циклических подгрупп такое, что = C 1 _… CM как _G .

Характеристики

• На ограниченное порождение не влияет переход к подгруппе конечного индекса : если H — подгруппа конечного индекса группы G , то G ограниченно порождена тогда и только тогда, когда H ограниченно порождена.
• Ограниченное порождение переходит в расширение : если группа G имеет нормальную подгруппу N такую, что и N , и G/N ограниченно порождены, то и сама группа G тоже.
• Любая факторгруппа ограниченно порожденной группы также является ограниченно порожденной.
• Конечно порожденная периодическая группа должна быть конечной , если она ограниченно порождена; эквивалентно, бесконечная конечно порожденная периодическая группа не является ограниченно порожденной.

Псевдохарактер в дискретной группе G определяется как вещественная функция f на G такая, что

f ( gh ) − f ( g ) − f ( h ) равномерно ограничено и f ( g ^н ) знак равно п · ж ( г ).

• Векторное пространство псевдохарактеров ограниченно порожденной G конечномерно группы .

Примеры

• Если n ≥ 3, группа SL _n ( Z ) ограниченно порождается своими элементарными подгруппами, образованными матрицами, отличающимися от единичной матрицы только одним недиагональным элементом. В 1984 году Картер и Келлер дали элементарное доказательство этого результата, мотивированное вопросом алгебраической K-теории .
• хотя Свободная группа бы с двумя образующими не является ограниченно порожденной (см. ниже).
• Группа SL ₂ ( Z ) не ограниченно порождена, так как содержит свободную подгруппу с двумя образующими индекса 12.
• Громовско -гиперболическая группа ограниченно порождена тогда и только тогда, когда она виртуально циклическая (или элементарная ), т. е. содержит циклическую подгруппу конечного индекса.

Свободные группы не генерируются ограниченно.

Некоторые авторы в математической литературе заявили, что очевидно, что конечно порожденные свободные группы не являются ограниченно порожденными. В этом разделе собраны различные очевидные и менее очевидные способы доказать это. Некоторые из методов, затрагивающих ограниченные когомологии , важны, поскольку они являются скорее геометрическими, чем алгебраическими, поэтому их можно применять к более широкому классу групп, например к громовско-гиперболическим группам.

Поскольку для любого n ≥ 2 свободная группа на 2 образующих F ₂ содержит свободную группу на n образующих F _n как подгруппу конечного индекса (фактически n − 1), как только одна нециклическая свободная группа на конечном числе образующих будет известно, что они не являются ограниченно порожденными, это будет верно для всех из них. Аналогично, поскольку SL ₂ ( Z ) содержит F ₂ как подгруппу индекса 12, достаточно рассмотреть SL ₂ ( Z ). Другими словами, чтобы показать, что никакое Fn _с n ≥ 2 не имеет ограниченной генерации, достаточно доказать это для одного из них или даже только для SL ₂ ( Z ).

Противоположные примеры Бернсайда

Поскольку ограниченное порождение сохраняется при взятии гомоморфных образов, если известно, что одна конечно порожденная группа с хотя бы двумя образующими не является ограниченно порожденной, это будет верно для свободной группы с тем же числом образующих, а значит, и для всех свободных групп. . Чтобы показать, что ни одна (нециклическая) свободная группа не имеет ограниченной порожденности, достаточно привести один пример конечно порожденной группы, которая не является ограниченно порожденной, и любая конечно порожденная бесконечная периодическая группа подойдет . Существование таких групп представляет собой предложенное Голодом и Шафаревичем отрицательное решение обобщенной проблемы Бернсайда, в 1964 году; позже другие явные примеры бесконечных конечно порожденных периодических групп были построены Алешиным, Ольшанским и Григорчуком с использованием автоматов . Следовательно, свободные группы ранга не ниже двух не являются ограниченно порожденными.

Симметричные группы

Симметричная группа S _n может быть порождена двумя элементами, 2-циклом и n -циклом, так что она является факторгруппой F ₂ . С другой стороны, легко показать, что максимальный порядок M ( n ) элемента из Sn _{удовлетворяет} условию

журнал M ( n ) ≤ n / e

где e — число Эйлера ( Эдмунд Ландау доказал более точную асимптотическую оценку log M ( n ) ~ ( n log n ) ^1/2 ). если циклы в циклическом разложении перестановки Фактически , имеют длину N ₁ , ..., N _k с N ₁ + ··· + N _k = n , то порядок перестановки делит произведение N ₁ ··· N _k , который, в свою очередь, ограничен ( n / k ) ^к , используя неравенство средних арифметических и геометрических . С другой стороны, ( н / х ) ^х максимизируется, когда x = e . Если F ₂ можно записать в виде произведения m циклических подгрупп, то обязательно n ! должно быть меньше или равно M ( n ) ^м для всех n , что противоречит асимптотической формуле Стирлинга .

Гиперболическая геометрия

Существует также простое геометрическое доказательство того, что G = SL ₂ ( Z ) не ограниченно порождена. Он действует посредством преобразований Мёбиуса в верхней полуплоскости H с метрикой Пуанкаре . Любая с компактным носителем 1-форма α на фундаментальной области группы G однозначно продолжается до G -инвариантной 1-формы на H . Если z находится в H , а γ — геодезическая, ведущая от z к g ( z ), функция, определяемая формулой

$F(g)\equiv F_{\alpha ,z}(g)=\int _{\gamma }\,\alpha$

удовлетворяет первому условию псевдохарактера, поскольку по теореме Стокса

$F(gh)-F(g)-F(h)=\int _{\Delta }\,d\alpha ,$

где Δ — геодезический треугольник с вершинами z , g ( z ) и h ⁻¹ ( z ), а площадь треугольников геодезических ограничена π. Гомогенизированная функция

$f_{\alpha }(g)=\lim _{n\rightarrow \infty }F_{\alpha ,z}(g^{n})/n$

определяет псевдохарактер, зависящий только от α. Как известно из теории динамических систем , любая орбита ( g ^к ( z )) гиперболического элемента g имеет предельное множество, состоящее из двух неподвижных точек на расширенной вещественной оси; отсюда следует, что геодезический отрезок от z до g ( z ) пересекает лишь конечное число сдвигов фундаментальной области. Поэтому легко выбрать α так, чтобы f _α равнялась единице на данном гиперболическом элементе и обращалась в нуль на конечном множестве других гиперболических элементов с различными неподвижными точками. Следовательно, поскольку G имеет бесконечномерное пространство псевдохарактеров, оно не может быть порождено ограниченно.

Динамические свойства гиперболических элементов аналогичным образом можно использовать для доказательства того, что любая неэлементарная громовско-гиперболическая группа не является ограниченно порожденной.

Псевдоперсонажи Брукса

Роберт Брукс дал комбинаторную схему для создания псевдохарактеров любой свободной группы F _n ; Позже было показано, что эта схема даетбесконечномерное семейство псевдохарактеров (см. Григорчук 1994 ). Позже Эпштейн и Фудзивара распространили эти результаты на все неэлементарные громовско-гиперболические группы.

Gromov boundary

Это простое фольклорное доказательство использует динамические свойства действия гиперболических элементов на громовской границе группы громовско-гиперболической . В частном случае свободной группы F _n границу (или пространство концов) можно отождествить с пространством X полубесконечных . приведенных слов

г ₁ г ₂ ···

в генераторах и их обратных. Это дает естественную компактификацию дерева , заданного графом Кэли относительно образующих. Последовательность полубесконечных слов сходится к другому такому же слову при условии, что начальные отрезки согласуются после определенного этапа, так что X компактно (и метризуемо ). Свободная группа действует умножением слева полубесконечных слов. Более того, любой элемент g из F _n имеет ровно две неподвижные точки g ^±∞ , а именно сокращенные бесконечные слова, заданные пределами g ^н когда n стремится к ±∞. Кроме того, г ^н · w стремится к g ^±∞ поскольку n стремится к ±∞ для любого полубесконечного слова w ; и, в более общем смысле, если w _n стремится к w ≠ g ^±∞ , тогда г ^н · w _n стремится к g ^+∞ когда n стремится к ∞.

Если бы F _n была ограниченно порождена, ее можно было бы записать как произведение циклических групп C _i порожденный элементами h _i . Пусть X ₀ — счетное подмножество, заданное конечным числом F _n -орбитнеподвижных точек h _i ^±∞ , неподвижные точки hi и _. все их сопряжения Поскольку X несчетно, существует— это элемент g с неподвижными точками вне X ₀ и точкой w вне X _0, отличной от этих неподвижных точек. Тогда длянекоторая подпоследовательность ( g _m ) из ( g ^н )

г _м = час ₁ ^{п ( м ,1)} ··· ч _к ^{п ( м , к )} , причем каждое n ( m , i ) постоянное или строго монотонное.

С одной стороны, последовательным использованием правил вычисления пределов вида h ^н · w _n предел правой части, примененной к x, обязательно является неподвижной точкой одного из сопряженных h _i . С другой стороны, этот предел также должен быть g ^+∞ , что не является одним из этих пунктов, противоречие.

Ссылки

• Картер, Дэвид и Келлер, Гордон (1984). «Элементарные выражения для унимодулярных матриц». Связь в алгебре . 12 (4): 379–389. дои : 10.1080/00927878408823008 .

• Эпштейн, Дэвид и Фудзивара, Кодзи (1997). «Вторые ограниченные когомологии словесно-гиперболических групп». Топология . 36 (6): 1275–1289. дои : 10.1016/S0040-9383(96)00046-8 .

• Гис, Этьен и Барж, Жан (1988). «Поверхности Борне и когомологии». Математические открытия . 92 (3): 509–526. Бибкод : 1988InMat..92..509B . дои : 10.1007/BF01393745 . S2CID   123573552 .

• Григорчук Р.И. (1980). «О проблеме Бернсайда о периодических группах». Функциональный анал. Приложение . 14 : 41–43. дои : 10.1007/BF01078416 . S2CID   120470429 .

• Григорчук Р.И. (1994). «Некоторые результаты в ограниченных когомологиях». Серия лекций Лондонского математического общества . 224 : 111–163. ISBN  0-521-46595-8 .

• Ландау, Эдмунд (1974). Справочник учителя по распределению простых чисел, Том I. Челси. ISBN  0-8284-0096-2 . (см. стр. 222–229, также имеется в архиве Корнелла )

• Любоцкий, Александр ; Сигал, Дэн (2003). Рост подгруппы . Прогресс в математике. Биркхойзер. ISBN  3-7643-6989-2 . .

• Полтерович, Леонид и Рудник, Зеев (2004). «Стабильное смешивание для кошачьих отображений и квазиморфизмов модулярной группы». Эрг. Т.е. и Динам. Сист . 24 (2): 609–619. arXiv : math/0009143 . дои : 10.1017/S0143385703000531 . S2CID   16061963 .