Серийное ускорение

В математике , ускорение рядов представляет собой один из наборов преобразований последовательностей улучшения скорости сходимости ряда предназначенных для . Методы ускорения рядов часто применяются в численном анализе , где они используются для повышения скорости численного интегрирования . Методы последовательного ускорения также могут использоваться, например, для получения различных идентификаторов специальных функций . Таким образом, преобразование Эйлера, примененное к гипергеометрическому ряду, дает некоторые классические, хорошо известные тождества гипергеометрического ряда.

Определение

Учитывая последовательность

S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

имеющий предел

\lim _{n\to \infty }s_{n}=\ell ,

ускоренная серия – это вторая последовательность

S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

который быстрее сходится к $\ell$ чем исходная последовательность, в том смысле, что

\lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0.

Если исходная последовательность расходится , преобразование последовательности действует как метод экстраполяции до антипредела. $\ell$ .

Отображения исходного ряда в преобразованный ряд могут быть линейными (как определено в статье « Преобразования последовательности ») или нелинейными. В общем, преобразования нелинейных последовательностей имеют тенденцию быть более мощными.

Обзор

Два классических метода ускорения рядов - это преобразование рядов Эйлера. ^[1] и преобразование рядов Куммера . ^[2] В 20-м веке было разработано множество гораздо более быстро сходящихся и специальных инструментов, включая экстраполяцию Ричардсона , представленную Льюисом Фраем Ричардсоном в начале 20-го века, но также известную и использованную Катахиро Такебе в 1722 году; процесс Эйткена-дельта-квадрат , представленный Александром Эйткеном в 1926 году, но также известный и используемый Такакадзу Секи в 18 веке; метод эпсилон, предложенный Питером Винном в 1956 году; u-преобразование Левина; и метод Вилфа-Цейльбергера-Эхада или метод WZ .

Для чередующихся рядов имеется несколько мощных методов, обеспечивающих скорость сходимости от $5.828^{-n}$ вплоть до $17.93^{-n}$ для подведения итогов $n$ термины описаны Cohen et al . ^[3]

Преобразование Эйлера

Базовым примером преобразования линейной последовательности , обеспечивающим улучшенную сходимость, является преобразование Эйлера. Он предназначен для применения в чередующихся сериях; это дано

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(\Delta ^{n}a)_{0}}{2^{n+1}}}

где $\Delta$ — оператор прямой разности , для которого имеется формула

(\Delta ^{n}a)_{0}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a_{n-k}.

Если исходный ряд с левой стороны сходится лишь медленно, то прямые различия будут иметь тенденцию довольно быстро становиться малыми; дополнительная степень двойки еще больше увеличивает скорость сходимости правой части.

Особенно эффективной численной реализацией преобразования Эйлера является преобразование Ван Вейнгаардена . ^[4]

Конформные отображения

Серия

S=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}

можно записать как $f(1)$ , где функция f определяется как

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.

Функция $f(z)$ может иметь особенности в комплексной плоскости ( точечные особенности ветвления , полюса или существенные особенности ), ограничивающие радиус сходимости ряда. Если точка $z=1$ находится близко или на границе диска сходимости, ряд для $S$ будет сходиться очень медленно. Затем можно улучшить сходимость ряда с помощью конформного отображения , которое перемещает особенности так, что точка, отображаемая в $z=1$ оказывается глубже в новом диске конвергенции.

Конформное преобразование $z=\Phi (w)$ необходимо выбрать так, чтобы $\Phi (0)=0$ , и обычно выбирают функцию, имеющую конечную производную при w = 0. Можно предположить, что $\Phi (1)=1$ без потери общности, поскольку всегда можно изменить масштаб w, чтобы переопределить $\Phi$ . Затем рассмотрим функцию

g(w)=f(\Phi (w)).

С $\Phi (1)=1$ , у нас есть $f(1)=g(1)$ .Мы можем получить разложение в ряд $g(w)$ поставив $z=\Phi (w)$ в расширении серии $f(z)$ потому что $\Phi (0)=0$ ; первый $n$ условия расширения серии для $f(z)$ даст первый $n$ условия расширения серии для $g(w)$ если $\Phi '(0)\neq 0$ . положить $w=1$ Таким образом, расширение этой серии даст такой ряд, что, если он сходится, он будет сходиться к тому же значению, что и исходный ряд.

Нелинейные преобразования последовательностей

Примерами таких нелинейных преобразований последовательностей являются аппроксимации Паде , преобразование Шенкса и преобразования последовательностей типа Левина .

Преобразования нелинейных последовательностей часто предоставляют мощные численные методы суммирования расходящихся рядов или асимптотических рядов , которые возникают, например, в теории возмущений , и могут использоваться как высокоэффективные методы экстраполяции .

Метод Эйткена

Простым преобразованием нелинейной последовательности является экстраполяция Эйткена или метод дельта-квадрата.

\mathbb {A} :S\to S'=\mathbb {A} (S)={(s'_{n})}_{n\in \mathbb {N} }

определяется

s'_{n}=s_{n+2}-{\frac {(s_{n+2}-s_{n+1})^{2}}{s_{n+2}-2s_{n+1}+s_{n}}}.

Это преобразование обычно используется для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности; эвристически это устраняет большую часть абсолютной ошибки .

См. также

Ссылки

^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 3, уравнение 3.6.27» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 3, уравнение 3.6.26» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Анри Коэн , Фернандо Родригес Вильегас и Дон Загер , « Ускорение сходимости чередующихся рядов », Экспериментальная математика , 9 :1 (2000), стр. 3.
^ Уильям Х. Пресс и др. , Численные рецепты на языке C , (1987) Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-43108-5 (см. раздел 5.1).

К. Брезински и М. Редиво Залья , Методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия, 1991.
Г. А. Бейкер-младший и П. Грейвс-Моррис, Аппроксиманты Паде , Кембриджский университет, 1996.
Вайсштейн, Эрик В. «Улучшение конвергенции» . Математический мир .
Герберт Х. Хомейер: Скалярные преобразования последовательностей типа Левина , Журнал вычислительной и прикладной математики, том. 122, нет. 1–2, стр. 81 (2000). Хомейер, ХХХ (2000). «Преобразования скалярных последовательностей типа Левина». Журнал вычислительной и прикладной математики . 122 (1–2): 81–147. arXiv : math/0005209 . Бибкод : 2000JCoAM.122...81H . дои : 10.1016/S0377-0427(00)00359-9 . , arXiv : math/0005209 .
Брезински Клод и Редиво-Залья Микела: «Происхождение и раннее развитие процесса Эйткена, трансформация Шанкса, $\epsilon$ -алгоритм и связанные с ним методы с фиксированной точкой», Численные алгоритмы, Том 80, № 1, (2019), стр. 11–133.
Делахай Дж. П.: «Преобразования последовательностей», Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3540152835 (1988).
Сиди Аврам: «Методы векторной экстраполяции с приложениями», SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
Брезински Клод, Редиво-Залья Микела и Саад Юсеф: «Преобразования последовательности Шанкса и ускорение Андерсона», SIAM Review, Том 60, № 3 (2018), стр. 646–669. дои:10.1137/17M1120725 .
Брезински Клод: «Воспоминания о Питере Винне », Численные алгоритмы, Том 80 (2019), стр. 5–10.
Брезински Клод и Редиво-Залья Микела: «Экстраполяция и рациональная аппроксимация», Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).

Внешние ссылки

[1] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 3, уравнение 3.6.27» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .

[2] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 3, уравнение 3.6.26» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . МР 0167642 . LCCN 65-12253 .

[3] Анри Коэн , Фернандо Родригес Вильегас и Дон Загер , « Ускорение сходимости чередующихся рядов », Экспериментальная математика , 9 :1 (2000), стр. 3.

[4] Уильям Х. Пресс и др. , Численные рецепты на языке C , (1987) Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-43108-5 (см. раздел 5.1).

[1]

[2]

[3]

[4]