Мартингейл (система ставок)

Для обобщенной математической концепции см. Мартингейл (теория вероятностей) .

Мартингейл , — это класс стратегий ставок который зародился и был популярен во Франции 18-го века . Самая простая из этих стратегий была разработана для игры, в которой игрок выигрывает ставку, если монета выпадает орлом, и проигрывает, если выпадает решка. Стратегия заключалась в том, что игрок удваивал ставку после каждого проигрыша, так что первый выигрыш возмещал все предыдущие проигрыши и приносил прибыль, равную первоначальной ставке. Таким образом, эта стратегия является воплощением петербургского парадокса .

Поскольку игрок почти наверняка в конечном итоге перевернет решку , стратегия ставок по мартингейлу наверняка принесет игроку деньги, при условии, что у него бесконечное богатство и нет ограничений на деньги, заработанные за одну ставку. Однако ни один игрок не обладает бесконечным богатством, и экспоненциальный рост ставок может обанкротить незадачливых игроков, решивших использовать мартингейл, что приведет к катастрофическим потерям. Несмотря на то, что игрок обычно выигрывает небольшое чистое вознаграждение и, таким образом, кажется, что у него разумная стратегия, ожидаемая ценность игрока остается нулевой, поскольку небольшая вероятность того, что игрок понесет катастрофический проигрыш, точно уравновешивается ожидаемым выигрышем. В казино ожидаемое значение отрицательно из-за преимущества казино . Кроме того, поскольку вероятность серии последовательных проигрышей выше, чем предполагает обычная интуиция, стратегии мартингейла могут быстро обанкротить игрока.

Стратегия мартингейла также применяется в рулетке , поскольку вероятность выпадения красного или черного цвета близка к 50%.

Интуитивный анализ

Основная причина, по которой все системы ставок типа мартингейла терпят неудачу, заключается в том, что никакое количество информации о результатах прошлых ставок не может быть использовано для прогнозирования результатов будущей ставки с точностью, превышающей случайность. В математической терминологии это соответствует предположению, что результаты выигрыша и проигрыша каждой ставки являются независимыми и одинаково распределенными случайными величинами , и это предположение справедливо во многих реалистичных ситуациях. Из этого предположения следует, что ожидаемая стоимость серии ставок равна сумме ожидаемой стоимости потенциальной ставки по всем ставкам, которые потенциально могут произойти в серии, умноженной на вероятность того, что игрок сделает эту ставку. В большинстве игр казино ожидаемое значение любой отдельной ставки отрицательно, поэтому сумма многих отрицательных чисел также всегда будет отрицательной.

Стратегия мартингейла терпит неудачу даже при неограниченном времени остановки, пока существует ограничение на прибыль или ставки (что также верно на практике). Только при наличии неограниченного богатства, ставок и времени можно утверждать, что мартингейл становится выигрышной стратегией .

Математический анализ

Невозможность выигрыша в долгосрочной перспективе при ограничении размера ставок или ограничении размера банкролла или кредитной линии доказывается необязательной теоремой остановки .

Однако без этих ограничений стратегия ставок по мартингейлу наверняка принесет игроку деньги, поскольку вероятность того, что хотя бы один бросок монеты выпадет орлом, приближается к единице, поскольку количество бросков монеты приближается к бесконечности.

Математический анализ одного раунда

Пусть один раунд определяется как последовательность последовательных проигрышей, за которыми следует либо выигрыш, либо банкротство игрока. После выигрыша игрок «сбрасывается» и считается, что он начал новый раунд. Таким образом, непрерывную последовательность ставок по мартингейлу можно разделить на последовательность независимых раундов. Ниже приводится анализ ожидаемой ценности одного раунда.

Пусть q — вероятность проигрыша (например, для американской рулетки с двумя зеро она равна 20/38 для ставки на черное или красное). Пусть B — сумма начальной ставки. Пусть n — конечное число ставок, которые игрок может позволить себе проиграть.

Вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, равна q. ^н . Если все ставки проиграют, общий проигрыш составит

$\sum _{i=1}^{n}B\cdot 2^{i-1}=B(2^{n}-1)$

Вероятность того, что игрок не проиграет все n ставок, равна 1 − q. ^н . Во всех остальных случаях игрок выигрывает первоначальную ставку ( В ). Таким образом, ожидаемая прибыль за раунд равна

$(1-q^{n})\cdot B-q^{n}\cdot B(2^{n}-1)=B(1-(2q)^{n})$

Всякий раз, когда q > 1/2, выражение 1 − (2 q ) ^н < 0 для всех n > 0. Таким образом, для всех игр, в которых игрок с большей вероятностью проиграет, чем выиграет любую данную ставку, ожидается, что этот игрок будет терять деньги в среднем в каждом раунде. Увеличение размера ставки для каждого раунда по системе мартингейла только увеличивает средний проигрыш.

Предположим, у игрока есть игровой банкролл в 63 единицы. Игрок может поставить 1 единицу на первое вращение. При каждом проигрыше ставка удваивается. Таким образом, принимая k за количество предыдущих последовательных проигрышей, игрок всегда будет ставить 2 ^к единицы.

При выигрыше в любом вращении игрок получит 1 единицу сверх общей суммы, поставленной на этот момент. Как только этот выигрыш достигнут, игрок перезапускает систему со ставкой в ​​1 единицу.

При проигрышах на всех первых шести вращениях игрок теряет в общей сложности 63 единицы. Это истощает банкролл, и мартингейл не может быть продолжен.

В этом примере вероятность проиграть весь банкролл и не иметь возможности продолжить мартингейл равна вероятности 6 проигрышей подряд: (10/19) ⁶ = 2,1256%. Вероятность выигрыша равна 1 минус вероятность проигрыша 6 раз: 1 − (10/19) ⁶  = 97.8744%.

Ожидаемая сумма выигрыша равна (1 × 0,978744) = 0,978744.
Ожидаемая сумма потерь равна (63 × 0,021256) = 1,339118.
Таким образом, общая ожидаемая стоимость для каждого применения системы ставок равна (0,978744 - 1,339118) = -0,360374.

В уникальных обстоятельствах эта стратегия может иметь смысл. Предположим, что у игрока ровно 63 единицы, но ему крайне необходимо в общей сложности 64. Предполагая, что q > 1/2 (это настоящее казино) и он может делать ставки только с равными коэффициентами, его лучшая стратегия — смелая игра : при каждом вращении он следует поставить наименьшую сумму, чтобы в случае выигрыша он сразу достиг своей цели, а если у него для этого недостаточно средств, он должен просто поставить все. В конце концов он либо терпит крах, либо достигает своей цели. Эта стратегия дает ему вероятность 97,8744% достижения цели по выигрышу одной единицы по сравнению с вероятностью 2,1256% потерять все 63 единицы, и это наилучшая возможная вероятность в данных обстоятельствах. Однако смелая игра не всегда является оптимальной стратегией, позволяющей получить максимально возможный шанс увеличить первоначальный капитал до желаемой более высокой суммы. Если игрок может делать ставки на сколь угодно малые суммы с сколь угодно большими коэффициентами (но при этом с тем же ожидаемым проигрышем в размере 10/19 ставки при каждой ставке) и может делать только одну ставку на каждое вращение, то существуют стратегии с коэффициентом выше 98%. шанс достичь своей цели, и они используют очень робкую игру, если только игрок не близок к потере всего своего капитала, и в этом случае он переключается на чрезвычайно смелую игру.

Альтернативный математический анализ

Предыдущий анализ рассчитывает математическое ожидание , но мы можем задать другой вопрос: какова вероятность того, что можно сыграть в игру в казино, используя стратегию мартингейла, и избежать полосы проигрышей достаточно долго, чтобы удвоить свой банкролл?

Как и раньше, это зависит от вероятности проиграть 6 вращений рулетки подряд, если мы делаем ставку на красное/черное или четное/нечетное. Многие игроки считают, что шансы проиграть 6 раз подряд невелики и что при терпеливом следовании стратегии они постепенно нарастят свой банкролл.

В действительности, шансы на серию из 6 проигрышей подряд намного выше, чем интуитивно полагают многие люди. Психологические исследования показали, что, поскольку люди знают, что вероятность проигрыша 6 раз подряд из 6 игр невелика, они ошибочно полагают, что в более длинной серии игр шансы также очень малы. Фактически, хотя вероятность проигрыша 6 раз подряд в 6 играх относительно невелика и составляет 1,8% на колесе с одним нулем, вероятность проигрыша 6 раз подряд (т. е. встретить серию из 6 проигрышей) в какой-то момент при серии из 200 игр составляет примерно 84%. Даже если игрок может терпеть ставку, примерно в 1000 раз превышающую первоначальную ставку, серия из 10 проигрышей подряд имеет вероятность возникновения ~ 11% в серии из 200 игр. Такая полоса проигрышей, скорее всего, уничтожит игрока, поскольку 10 последовательных проигрышей при использовании стратегии мартингейла означают проигрыш в 1023 раза больше исходной ставки.

Эти неинтуитивно рискованные вероятности повышают требования к банкроллу для «безопасных» долгосрочных ставок по мартингейлу до невероятно высоких цифр. Чтобы иметь вероятность менее 10% не пережить длинную серию проигрышей в течение 5000 игр, у игрока должно быть достаточно средств, чтобы удвоить свои ставки на 15 проигрышей. Это означает, что у игрока должно быть более 65 500 (2^15-1 для 15 проигрышей и 2^15 для выигрышной ставки в 16-й серии), умноженной на первоначальный размер ставки. Таким образом, игрок, делающий ставки на 10 единиц, хотел бы иметь в своем банкролле более 655 000 единиц (и при этом иметь вероятность потерять все это в течение 5 000 игр примерно в 5,5%).

Когда людей просят придумать данные, представляющие 200 бросков монеты, они часто не добавляют серии из более чем 5, поскольку считают, что эти серии очень маловероятны. Это интуитивное убеждение иногда называют эвристикой репрезентативности .

Антимартингейл

В классическом стиле ставок по мартингейлу игроки увеличивают ставки после каждого проигрыша в надежде, что возможный выигрыш компенсирует все предыдущие проигрыши. Подход антимартингейла, также известный как обратный мартингейл, вместо этого увеличивает ставки после выигрышей и уменьшает их после проигрыша. Считается, что игрок получит выгоду от серии побед или «горячей руки», одновременно сокращая потери, когда он «холоден» или иным образом имеет полосу проигрышей. Поскольку одиночные ставки независимы друг от друга (и от ожиданий игрока), концепция выигрышных «серий» является всего лишь примером заблуждения игрока , а стратегия антимартингейла не приносит никаких денег.

См. также

• Двойное или ничего - решение в азартных играх, которое либо удвоит потери, либо компенсирует их.
• Эскалация обязательств – модель поведения человека, при которой участник берет на себя все больший риск.
• Петербургский парадокс - Парадокс игры с повторным подбрасыванием монеты.
• Ошибка невозвратных затрат – затраты, которые уже были понесены и не могут быть возмещены. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.