Механизм Кельвина – Гельмгольца

Не путать с нестабильностью Кельвина-Гельмгольца или гравитационным коллапсом .

Механизм Кельвина -Гельмгольца — астрономический процесс, который происходит, когда поверхность звезды или планеты охлаждается . Охлаждение приводит к падению внутреннего давления, в результате чего звезда или планета сжимаются. Это сжатие, в свою очередь, нагревает ядро ​​звезды/планеты. Этот механизм очевиден на Юпитере и Сатурне , а также на коричневых карликах , центральная температура которых недостаточно высока для термоядерного синтеза водорода . Подсчитано, что Юпитер посредством этого механизма излучает больше энергии, чем получает от Солнца, но Сатурн, возможно, нет. По оценкам, в результате этого процесса Юпитер сжимается со скоростью примерно 1 мм в год. соответствует внутреннему потоку 7,485 Вт/м ² .

Этот механизм был первоначально предложен Кельвином и Гельмгольцем в конце девятнадцатого века для объяснения источника энергии Солнца . К середине девятнадцатого века было признано сохранение энергии , и одним из следствий этого закона физики является то, что Солнце должно иметь какой-то источник энергии, чтобы продолжать светить. Поскольку ядерные реакции были неизвестны, основным кандидатом на источник солнечной энергии было гравитационное сжатие.

и другие признали Однако вскоре сэр Артур Эддингтон , что общее количество энергии, доступной благодаря этому механизму, позволяет Солнцу светить только в течение миллионов лет, а не миллиардов лет, как предполагали геологические и биологические данные о возрасте Солнца. Земля . (Сам Кельвин утверждал, что Земле миллионы, а не миллиарды лет.) Истинный источник солнечной энергии оставался неопределенным до 1930-х годов, когда Ганс Бете доказал , что это ядерный синтез .

Мощность, генерируемая сокращением Кельвина – Гельмгольца.

Было высказано предположение, что источником энергии может быть гравитационная потенциальная энергия сжатия Солнца. Чтобы вычислить общее количество энергии, которое будет выпущено Солнцем в таком механизме (при условии однородной плотности ), оно было аппроксимировано идеальной сферой, состоящей из концентрических оболочек. Тогда гравитационную потенциальную энергию можно было бы найти как интеграл по всем оболочкам от центра до внешнего радиуса.

Гравитационная потенциальная энергия в механике Ньютона определяется как:

$U=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}},$

где G — гравитационная постоянная , а две массы в данном случае — это массы тонких оболочек шириной dr и содержащаяся масса в пределах радиуса r, когда одна интегрируется между нулем и радиусом всей сферы. Это дает:

$U=-G\int _{0}^{R}{\frac {m(r)4\pi r^{2}\rho }{r}}\,dr,$

где R — внешний радиус сферы, а m ( r ) — масса, содержащаяся внутри радиуса r . Преобразование m ( r ) в произведение объема и плотности для удовлетворения интеграла:

$U=-G\int _{0}^{R}{\frac {4\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho }{3r}}\,dr=-{\frac {16}{15}}G\pi ^{2}\rho ^{2}R^{5}.$

Пересчет массы сферы дает полную гравитационную потенциальную энергию как

$U=-{\frac {3GM^{2}}{5R}}.$

Согласно теореме Вириала , полная энергия гравитационно-связанных систем, находящихся в равновесии, равна половине усредненной по времени потенциальной энергии:

$U_{r}={\frac {|\langle U\rangle |}{2}}={\frac {3GM^{2}}{10R}}.$

Хотя однородная плотность не верна, можно получить приблизительную оценку ожидаемого возраста нашей звезды на порядок величины, подставив известные значения массы и радиуса Солнца , а затем разделив их на известную светимость Солнца (обратите внимание, что это потребуется еще одно приближение, поскольку выходная мощность Солнца не всегда была постоянной):

${\frac {U_{\text{r}}}{L_{\odot }}}\approx {\frac {1.1\times 10^{41}~{\text{J}}}{3.828\times 10^{26}~{\text{W}}}}=2.874\times 10^{14}~\mathrm {s} \,\approx 8\,900\,000~{\text{years}},$

где $L_{\odot }$ это светимость Солнца. Хотя это значение давало достаточно энергии значительно дольше, чем многие другие физические методы, такие как химическая энергия , этого значения явно было недостаточно из-за геологических и биологических доказательств того, что Земле было миллиарды лет. В конце концов было обнаружено, что термоядерная энергия отвечает за выходную мощность и долгую жизнь звезд.

Поток внутреннего тепла для Юпитера определяется производной по времени полной энергии

${\frac {dU_{r}}{dt}}={\frac {-3GM^{2}}{10R^{2}}}{\frac {dR}{dt}}=-1.46\times 10^{28}~{\text{[J/m]}}~\times {\frac {dR}{dt}}~{\text{[m/s]}}.$

С сокращением ${\textstyle -1\mathrm {\frac {~mm}{yr}} =-0.001\mathrm {\frac {~m}{yr}} =-3.17\times 10^{-11}~\mathrm {\frac {m}{s}} }$, человек получает

${\frac {dU_{r}}{dt}}=4.63\times 10^{17}~{\text{W}},$

разделив на всю площадь Юпитера, т.е. $S=6.14\times 10^{16}~\mathrm {m^{2}}$, человек получает

${\frac {1}{S}}{\frac {dU_{r}}{dt}}=7.5~\mathrm {\frac {W}{m^{2}}} .$

Конечно, обычно это уравнение рассчитывают в другую сторону: экспериментальная цифра удельного потока внутреннего тепла 7,485 Вт/м. ² , было получено на основе прямых измерений, произведенных на месте зондом Кассини во время его пролета 30 декабря 2000 г., и была получена величина сжатия ~ 1 мм/год, что на минутную цифру ниже границ практических измерений.