Теорема Вириала

В статистической механике теорема вириала дает общее уравнение, которое связывает среднюю по времени полную кинетическую энергию стабильной системы дискретных частиц, связанных консервативной силой (где совершаемая работа не зависит от пути) с полной кинетической энергией. потенциальная энергия системы. Математически теорема гласит : $$\left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }$$ где T — полная кинетическая энергия N частиц, F _k представляет силу, действующую на k -ю частицу, которая находится в положении r _k , а угловые скобки представляют собой среднее значение во времени заключенной в ней величины. Слово вириал , обозначающее правую часть уравнения, происходит от vis , латинского слова, означающего «сила» или «энергия», и получило техническое определение Рудольфа Клаузиуса в 1870 году.

Значение теоремы вириала состоит в том, что она позволяет рассчитывать среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, которые не поддаются точному решению, например тех, которые рассматриваются в статистической механике ; эта средняя полная кинетическая энергия связана с температурой системы теоремой равнораспределения . Однако теорема вириала не зависит от понятия температуры и справедлива даже для систем, не находящихся в тепловом равновесии . Теорему вириала обобщали различными способами, в первую очередь до тензорной формы.

Если сила между любыми двумя частицами системы возникает из-за потенциальной энергии V ( r ) = αr ^н пропорциональной некоторой степени n межчастичного расстояния r , теорема вириала принимает простой вид $$2\langle T\rangle =n\langle V_{\text{TOT}}\rangle .$$

Таким образом, удвоенная средняя полная кинетическая энергия ⟨ T ⟩ равна n раз средней полной потенциальной энергии ⟨ V _TOT ⟩ . В то время как V ( r ) представляет собой потенциальную энергию между двумя частицами на расстоянии r , V _TOT представляет собой полную потенциальную энергию системы, т. е. сумму потенциальной энергии V ( r ) по всем парам частиц в системе. Типичным примером такой системы является звезда, удерживаемая собственной гравитацией, где n равно −1.

История

В 1870 году Рудольф Клаузиус прочитал лекцию «О механической теореме, применимой к теплу» Ассоциации естественных и медицинских наук Нижнего Рейна после 20-летнего изучения термодинамики. В лекции говорилось, что среднее значение живой системы равно ее вириалу или что средняя кинетическая энергия равна ⁠ 1/2 ⁠ энергия . средняя потенциальная Теорему вириала можно получить непосредственно из тождества Лагранжа. применительно к классической гравитационной динамике, первоначальная форма которой была включена в «Очерк проблемы трех тел» Лагранжа, опубликованный в 1772 году. Обобщение Карлом Якоби тождества на N тел и нынешнюю форму тождества Лапласа очень напоминает классическое теорема вириала. Однако интерпретации, приведшие к разработке уравнений, были очень разными, поскольку на момент развития статистическая динамика еще не объединила отдельные исследования термодинамики и классической динамики. Позднее теорема была использована, популяризирована, обобщена и получила дальнейшее развитие Джеймсом Клерком Максвеллом , лордом Рэлеем , Анри Пуанкаре , Субраманьяном Чандрасекхаром , Энрико Ферми , Полем Леду , Ричардом Бейдером и Юджином Паркером . Фриц Цвикки был первым, кто использовал теорему вириала для вывода о существовании невидимой материи, которую теперь называют темной материей . Ричард Бейдер показал, что распределение заряда всей системы можно разделить на ее кинетическую и потенциальную энергии, которые подчиняются теореме вириала. В качестве еще одного примера ее многочисленных применений теорема вириала использовалась для вывода предела Чандрасекара стабильности белых карликов звезд .

Показательный частный случай

Рассмотрим N = 2 частицы одинаковой массы m , на которые действуют силы взаимного притяжения. Предположим, что частицы находятся в диаметрально противоположных точках круговой орбиты радиуса r . Скорости v ₁ ( t ) и v ₂ ( t ) = − v ₁ ( t ) , которые нормальны к силам F ₁ ( t ) и F ₂ ( t ) = − F ₁ ( t ) . фиксированы на v и F. Соответствующие величины Средняя кинетическая энергия системы в интервале времени от t ₁ до t ₂ равна

$$\langle T\rangle ={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{k}\left|\mathbf {v} _{k}(t)\right|^{2}dt={\frac {1}{t_{2}-t_{1}}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{1}(t)|^{2}+{\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} _{2}(t)|^{2}\right)dt=mv^{2}.$$ Принимая центр масс за начало координат, частицы имеют положения r ₁ ( t ) и r ₂ ( t ) = − r ₁ ( t ) с фиксированной величиной r . Силы притяжения действуют в противоположных направлениях как позиции, поэтому F ₁ ( т ) ⋅ р ₁ ( т ) знак равно F ₂ ( т ) ⋅ р ₂ ( т ) = - Fr . Применяя центростремительной силы формулу F = mv ² / r приводит к: $$-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}{\bigl \langle }\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}{\bigr \rangle }=-{\frac {1}{2}}(-Fr-Fr)=Fr={\frac {mv^{2}}{r}}\cdot r=mv^{2}=\langle T\rangle ,$$ по мере необходимости. Примечание. Если начало координат сместится, мы получим тот же результат. Это связано с тем, что скалярное произведение смещения с равными и противоположными силами F ₁ ( t ) , F ₂ ( t ) приводит к чистому аннулированию.

Заявление и вывод

Хотя теорема вириала зависит от усреднения полной кинетической и потенциальной энергий, здесь усреднение откладывается до последнего шага.

Для набора из N точечных частиц скалярный момент инерции I относительно начала координат определяется уравнением $$I=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left|\mathbf {r} _{k}\right|^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}r_{k}^{2}$$ где m _k и r _k представляют массу и положение k -й частицы. р _{к знак} равно | р _к | - величина вектора положения. Скаляр G определяется уравнением $$G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}$$ где p _k — импульса вектор -й частицы k . Предполагая, что массы постоянны, G составляет половину производной по времени этого момента инерции. $${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}{\frac {dI}{dt}}&={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {r} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\,{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=G\,.\end{aligned}}$$ В свою очередь, производная по времени G может быть записана $${\begin{aligned}{\frac {dG}{dt}}&=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\\&=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\end{aligned}}$$ где m _k – масса k -й частицы, F _k = ⁠ d p _k / dt ⁠ — результирующая сила, действующая на эту частицу, а T — полная кинетическая энергия системы в соответствии с уравнением v _k = ⁠ d r _k / dt ⁠ скорость каждой частицы $$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.$$

Связь с потенциальной энергией между частицами

Полная сила F _k, действующая на частицу k, представляет собой сумму всех сил со стороны других частиц j в системе. $$\mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}$$ где F _jk — сила, действующая частицей j на частицу k . Следовательно, вириал можно записать $$-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}\,.$$

Поскольку ни одна частица не действует сама на себя (т. е. F _jj = 0 для 1 ≤ j ≤ N ), мы разделяем сумму на члены ниже и выше этой диагонали и складываем их попарно: $${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\mathbf {F} _{kj}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)\\&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\left(\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}-\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{j}\right)=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\end{aligned}}$$ где мы предположили, что выполняется третий закон движения Ньютона , т. е. F _jk = − F _kj (равная и противоположная реакция).

Часто бывает, что силы можно получить из потенциальной энергии V _jk , которая является функцией только расстояния r _jk между точечными частицами j и k . Поскольку сила представляет собой отрицательный градиент потенциальной энергии, мы имеем в этом случае

$$\mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V_{jk}=-{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}\left({\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}}\right),$$

которая равна и противоположна F _kj = −∇ _{r j} V _kj = −∇ _{r j} V _jk , силе, приложенной частицей k к частице j , что может быть подтверждено явным расчетом. Следовательно,

$${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&=\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}{\frac {|\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}|^{2}}{r_{jk}}}\\&=-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.\end{aligned}}$$

Таким образом, мы имеем $${\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-\sum _{k=2}^{N}\sum _{j=1}^{k-1}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}.$$

Особый случай степенных сил

В обычном частном случае потенциальная энергия V между двумя частицами пропорциональна степени n их расстояния r _ij $$V_{jk}=\alpha r_{jk}^{n},$$ где коэффициент α и показатель степени n являются постоянными. В таких случаях вириал задается уравнением $${\begin{aligned}-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV_{jk}}{dr_{jk}}}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}n\alpha r_{jk}^{n-1}r_{jk}\\&={\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV_{jk}={\frac {n}{2}}\,V_{\text{TOT}}\end{aligned}}$$ где V _TOT – полная потенциальная энергия системы $$V_{\text{TOT}}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V_{jk}\,.$$

Таким образом, мы имеем $${\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=2T-nV_{\text{TOT}}\,.$$

Для гравитирующих систем показатель степени n равен −1, что дает тождество Лагранжа. $${\frac {dG}{dt}}={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+V_{\text{TOT}}$$ который был выведен Жозефом-Луи Лагранжем и расширен Карлом Якоби .

Усреднение времени

Среднее значение этой производной за определенный период времени τ определяется как $$\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{G(0)}^{G(\tau )}\,dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},$$ откуда мы получаем точное уравнение $$\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.$$

Теорема вириала утверждает, что если ⟨ ⁠ dG / dt ⁠ ⟩ _{τ знак} равно 0 , тогда $$2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.$$

Существует много причин, по которым среднее значение производной по времени может исчезнуть: ⟨ ⁠ dG / dt ⁠ ⟩ _{τ знак} равно 0 . Одна из часто упоминаемых причин применима к стабильно связанным системам, то есть к системам, которые навсегда остаются вместе и чьи параметры конечны. В этом случае скорости и координаты частиц системы имеют верхний и нижний пределы, так что G ^{граница} , ограничено между двумя крайними значениями, G _min и G _max , а среднее значение стремится к нулю в пределе бесконечного τ :

$$\lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.$$

Даже если среднее значение производной G по времени примерно равно нулю, теорема вириала справедлива с той же степенью приближения.

Для степенных сил с показателем степени n справедливо общее уравнение:

$$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.$$

Для гравитационного притяжения n равно -1, а средняя кинетическая энергия равна половине средней отрицательной потенциальной энергии. $$\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle V_{\text{TOT}}\rangle _{\tau }.$$

Этот общий результат полезен для сложных гравитационных систем, таких как солнечные системы или галактики .

Простое применение теоремы вириала касается скоплений галактик . Если область космоса необычно полна галактик, можно с уверенностью предположить, что они были вместе в течение длительного времени, и можно применить теорему вириала. Измерения эффекта Доплера дают нижние границы их относительных скоростей, а теорема вириала дает нижнюю границу общей массы скопления, включая любую темную материю.

Если эргодическая гипотеза для рассматриваемой системы справедлива результатами . , то усреднение по времени проводить не обязательно; Также можно взять среднее значение по ансамблю с эквивалентными

В квантовой механике

Хотя первоначально теорема вириала была выведена для классической механики, она также справедлива и для квантовой механики, как впервые показал Фок. используя теорему Эренфеста .

Оценить коммутатор гамильтониана ​ $$H=V{\bigl (}\{X_{i}\}{\bigr )}+\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}$$ с оператором положения X _n и оператором импульса $$P_{n}=-i\hbar {\frac {d}{dX_{n}}}$$ частицы n , $$[H,X_{n}P_{n}]=X_{n}[H,P_{n}]+[H,X_{n}]P_{n}=i\hbar X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}-i\hbar {\frac {P_{n}^{2}}{m}}~.$$

Суммируя по всем частицам, находим $$Q=\sum _{n}X_{n}P_{n}$$ коммутатор составляет $${\frac {i}{\hbar }}[H,Q]=2T-\sum _{n}X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}$$ где ${\textstyle T=\sum _{n}{\frac {P_{n}^{2}}{2m}}}$ это кинетическая энергия. Левая часть этого уравнения равна всего лишь ⁠ dQ / dt ⁠ , согласно Гейзенберга уравнению движения . Ожидаемое значение ⟨ ⁠ dQ / dt ⁠ ⟩ этой производной по времени обращается в нуль в стационарном состоянии, что приводит к квантовой теореме вириала , $$2\langle T\rangle =\sum _{n}\left\langle X_{n}{\frac {dV}{dX_{n}}}\right\rangle ~.$$

Pokhozhaev's identity

В области квантовой механики существует еще одна форма теоремы вириала, применимая к локализованным решениям стационарного нелинейного уравнения Шредингера или уравнения Клейна–Гордона , — это тождество Похожаева , также известна как теорема Деррика .

Позволять $g(s)$ быть непрерывным и действительным, с $g(0)=0$.

Обозначим ${\textstyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}$. Позволять $$u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,$$ быть решением уравнения $$-\nabla ^{2}u=g(u),$$ в смысле распределений . Затем $u$ удовлетворяет отношению $$\left({\frac {n-2}{2}}\right)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx.$$

В специальной теории относительности

Для одиночной частицы в специальной теории относительности это не тот случай, когда T = ⁠ 1 / 2 ⁠ п · v . Вместо этого верно, что T = ( γ − 1) mc ² , где γ – фактор Лоренца

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$ и β = ⁠ v / c ⁠ . У нас есть, $${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} &={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\beta }}\gamma mc\cdot {\boldsymbol {\beta }}c\\[5pt]&={\frac {1}{2}}\gamma \beta ^{2}mc^{2}\\[5pt]&=\left({\frac {\gamma \beta ^{2}}{2(\gamma -1)}}\right)T\,.\end{aligned}}$$ Последнее выражение можно упростить до $$\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}{2}}\right)T\qquad {\text{or}}\qquad \left({\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right)T$$. Таким образом, в условиях, описанных в предыдущих разделах (включая третий закон движения Ньютона , F _jk = − F _kj , несмотря на теорию относительности), среднее время для N частиц со степенным потенциалом равно $${\frac {n}{2}}\left\langle V_{\mathrm {TOT} }\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {1+{\sqrt {1-\beta _{k}^{2}}}}{2}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }=\left\langle \sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\gamma _{k}+1}{2\gamma _{k}}}\right)T_{k}\right\rangle _{\tau }\,.$$ В частности, отношение кинетической энергии к потенциальной энергии уже не фиксировано, а обязательно попадает в интервал: $${\frac {2\langle T_{\mathrm {TOT} }\rangle }{n\langle V_{\mathrm {TOT} }\rangle }}\in \left[1,2\right]\,,$$ где более релятивистские системы демонстрируют более высокие отношения.

Примеры

Теорема вириала имеет особенно простую форму для периодического движения. Его можно использовать для выполнения пертурбативных вычислений для нелинейных осцилляторов.

Его также можно использовать для изучения движения в центральном потенциале . Если центральный потенциал имеет вид $U\propto r^{n}$, теорема вириала упрощается до $\langle T\rangle ={\frac {n}{2}}\langle U\rangle$. В частности, для гравитационного или электростатического ( кулоновского ) притяжения, $\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle$.

Управляемый затухающий гармонический генератор

Анализ на основе. Для одномерного осциллятора с массой $m$, позиция $x$, движущая сила $F\cos(\omega t)$, пружинная константа $k$и коэффициент демпфирования $\gamma$, уравнение движения

$$m\underbrace {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}} _{\text{acceleration}}=\underbrace {-kx} _{\text{spring}}\underbrace {-\gamma {\frac {dx}{dt}}} _{\text{friction}}\underbrace {+F\cos(\omega t)} _{\text{external driving}}$$

Когда осциллятор достиг устойчивого состояния, он совершает стабильные колебания. $x=X\cos(\omega t+\varphi )$, где $X$ это амплитуда и $\varphi$ - фазовый угол.

Применяя теорему вириала, имеем $m\langle {\dot {x}}{\dot {x}}\rangle =k\langle xx\rangle +\gamma \langle x{\dot {x}}\rangle -F\langle \cos(\omega t)x\rangle$, что упрощает $F\cos(\varphi )=m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})X$, где $\omega _{0}={\sqrt {k/m}}$ — собственная частота генератора.

Чтобы решить два неизвестных, нам нужно еще одно уравнение. В установившемся режиме потеря мощности за цикл равна полученной мощности за цикл: $\underbrace {\langle {\dot {x}}\;\gamma {\dot {x}}\rangle } _{\text{power dissipated}}=\underbrace {\langle {\dot {x}}\;F\cos \omega t\rangle } _{\text{power input}}$, что упрощает $\sin \varphi =-{\frac {\gamma X\omega }{F}}$.

Теперь у нас есть два уравнения, которые дают решение ${\begin{cases}X&={\sqrt {\frac {F^{2}}{\gamma ^{2}\omega ^{2}+m^{2}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}\\\tan \varphi &=-{\frac {\gamma \omega }{m(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})}}\end{cases}}$.

Закон идеального газа

Рассмотрим сосуд, наполненный идеальным газом, состоящим из точечных масс. Сила, приложенная к точечным массам, является отрицательной силой, приложенной к стенке контейнера, и имеет вид $d\mathbf {F} =-\mathbf {\hat {n}} PdA$, где $\mathbf {\hat {n}}$ — единичный вектор нормали, направленный наружу. Тогда теорема вириала утверждает $$\langle T\rangle =-{\frac {1}{2}}{\Bigg \langle }\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}{\Bigg \rangle }={\frac {P}{2}}\int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA$$По теореме о расходимости , ${\textstyle \int \mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {r} dA=\int \nabla \cdot \mathbf {r} dV=3\int dV=3V}$. А поскольку средняя полная кинетическая энергия ${\textstyle \langle T\rangle =N\langle {\frac {1}{2}}mv^{2}\rangle =N\cdot {\frac {3}{2}}kT}$, у нас есть $PV=NkT$.

Темная материя

В 1933 году Фриц Цвикки применил теорему вириала для оценки массы скопления Комы и обнаружил расхождение в массе около 450, которое он объяснил «темной материей». Он уточнил анализ в 1937 году, обнаружив расхождение около 500.

Теоретический анализ

Он аппроксимировал скопление Комы как сферический «газ» $N$ звезды примерно одинаковой массы $m$, что дает ${\textstyle \langle T\rangle ={\frac {1}{2}}Nm\langle v^{2}\rangle }$. Полная гравитационная потенциальная энергия скопления равна $U=-\sum _{i<j}{\frac {Gm^{2}}{r_{i,j}}}$, давая ${\textstyle \langle U\rangle =-Gm^{2}\sum _{i<j}\langle {1}/{r_{i,j}}\rangle }$. Предполагая, что движение звезд одинаково в течение достаточно длительного времени ( эргодичность ), ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {1}{2}}N^{2}Gm^{2}\langle {1}/{r}\rangle }$.

Цвикки оценил $\langle U\rangle$ как гравитационный потенциал однородного шара постоянной плотности, дающий ${\textstyle \langle U\rangle =-{\frac {3}{5}}{\frac {GN^{2}m^{2}}{R}}}$.

Итак, по теореме вириала полная масса скопления равна $$Nm={\frac {5\langle v^{2}\rangle }{3G\langle {\frac {1}{r}}\rangle }}$$

Данные

Цвикки $_{1933}$ подсчитано, что существуют $N=800$ галактики в скоплении, каждая из которых наблюдала звездную массу $m=10^{9}M_{\odot }$ (предположено Хабблом), а радиус скопления $R=10^{6}{\text{ly}}$. Он также измерил лучевые скорости галактик по доплеровскому сдвигу в галактических спектрах, чтобы получить $\langle v_{r}^{2}\rangle =(1000{\text{km/s}})^{2}$. Предполагая равнораспределение кинетической энергии, $\langle v^{2}\rangle =3\langle v_{r}^{2}\rangle$.

По теореме вириала полная масса скопления должна быть равна ${\frac {5R\langle v_{r}^{2}\rangle }{G}}\approx 3.6\times 10^{14}M_{\odot }$. Однако наблюдаемая масса $Nm=8\times 10^{11}M_{\odot }$, что означает, что общая масса в 450 раз превышает наблюдаемую массу.

Обобщения

Лорд Рэлей опубликовал обобщение теоремы вириала в 1900 году. который был частично переиздан в 1903 году. Анри Пуанкаре доказал и применил форму теоремы вириала в 1911 году к проблеме образования Солнечной системы из протозвездного облака (тогда известной как космогония). Вариационная форма теоремы вириала была разработана в 1945 году Леду. Тензорная форма теоремы вириала была разработана Паркером: Чандрасекхар и Ферми. Следующее обобщение теоремы вириала было установлено Поллардом в 1964 году для случая закона обратных квадратов: $$2\lim _{\tau \to +\infty }\langle T\rangle _{\tau }=\lim _{\tau \to +\infty }\langle U\rangle _{\tau }\qquad {\text{if and only if}}\quad \lim _{\tau \to +\infty }{\tau }^{-2}I(\tau )=0\,.$$ граничное условие . В противном случае необходимо добавить

Включение электромагнитных полей

Теорему вириала можно расширить, включив в нее электрические и магнитные поля. Результат

$${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{\mathrm {E} }+W^{\mathrm {M} }-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},$$

где I – момент инерции , G – плотность импульса электромагнитного поля , Т – кинетическая энергия «жидкости», U – случайная «тепловая» энергия частиц, Вт ^И и Вт ^М – содержание электрической и магнитной энергии в рассматриваемом объеме. Наконец, p _ik — тензор давления жидкости, выраженный в локальной подвижной системе координат

$$p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma },$$

T — _ik тензор электромагнитных напряжений ,

$$T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).$$

Плазмоид — это конечная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью теоремы вириала легко увидеть, что любая такая конфигурация будет расширяться, если ее не удерживают внешние силы. В конечной конфигурации без несущих стенок или магнитных катушек поверхностный интеграл будет равен нулю. Поскольку все остальные члены в правой части положительны, ускорение момента инерции также будет положительным. Также легко оценить время расширения τ . Если общая масса M ограничена радиусом R , то момент инерции примерно равен MR. ² , а левая часть теоремы вириала равна ⁠ MR ² / т ² ⁠ . Слагаемые в правой части в сумме составляют примерно PR. ³ , где p — большее из давлений плазмы или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и решая относительно τ , мы находим

$$\tau \,\sim {\frac {R}{c_{\mathrm {s} }}},$$

где c _s — скорость ионно-звуковой волны (или альвеновской волны , если магнитное давление выше давления плазмы). Таким образом, ожидается, что время жизни плазмоида будет порядка акустического (или альфвеновского) времени прохождения.

Релятивистская единая система

В случае, когда в физической системе учитываются поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорения частиц, теорема вириала записывается в релятивистской форме следующим образом:

$$\left\langle W_{k}\right\rangle \approx -0.6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,$$

где величина W _k ≈ γ _c T превышает кинетическую энергию частиц T в раз, равный лоренц-фактору γ _c частиц в центре системы. В нормальных условиях можно считать, что γ _c ≈ 1 , тогда мы видим, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом ⁠ 1/2 , . ⁠ а скорее коэффициентом, близким к 0,6 Отличие от классического случая возникает за счет учета поля давления и поля ускорения частиц внутри системы, при этом производная скаляра G не равна нулю и ее следует рассматривать как материальную производную .

Анализ интегральной теоремы обобщенного вириала позволяет на основе теории поля найти формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы без использования понятия температуры:

$$v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}},$$

где $~c$ это скорость света, $~\eta$ – постоянная поля ускорений, $~\rho _{0}$ – массовая плотность частиц, $~r$ текущий радиус.

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом: $$~E_{kf}+2W_{f}=0,$$ где энергия ${\textstyle ~E_{kf}=\int A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}}$ рассматривается как энергия кинетического поля, связанная с четырехтоковым $j^{\alpha }$, и $$~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}$$ задает потенциальную энергию поля, найденную через компоненты электромагнитного тензора.

В астрофизике

Теорема вириала часто применяется в астрофизике, особенно в связи гравитационной потенциальной энергии системы с ее кинетической или тепловой энергией . Некоторые общие вириальные отношения: $${\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}={\frac {3}{2}}{\frac {k_{\mathrm {B} }T}{m_{\mathrm {p} }}}={\frac {1}{2}}v^{2}$$ для массы M , радиуса R скорости v и температуры T. , Константы — это постоянная Ньютона G , постоянная Больцмана k _B и масса протона m _p . Обратите внимание, что эти соотношения являются лишь приблизительными, и часто ведущие числовые коэффициенты (например, ⁠ 3 / 5 ⁠ или ⁠ 1 / 2 ⁠ ) полностью игнорируются.

Галактики и космология (вириальная масса и радиус)

Основная статья: Вириальная масса

В астрономии масса и размер галактики (или общая сверхплотность) часто определяются через « вириальную массу » и « вириальный радиус » соответственно. Поскольку галактики и сверхплотности в непрерывных жидкостях могут быть сильно расширены (даже до бесконечности в некоторых моделях, таких как изотермическая сфера ), может быть трудно определить конкретные, конечные меры их массы и размера. Теорема вириала и связанные с ней концепции часто предоставляют удобные средства для количественной оценки этих свойств.

В динамике галактик масса галактики часто определяется путем измерения скорости вращения ее газа и звезд, исходя из круговых кеплеровских орбит . Используя теорему вириала, дисперсию скорости σ аналогичным образом можно использовать . Принимая кинетическую энергию (на одну частицу) системы как T = ⁠ 1 / 2 ⁠ v ² ~ ⁠ 3 / 2 ⁠ σ ² , а потенциальная энергия (на частицу) как U ~ ⁠ 3 / 5 ⁠ ⁠ GM / R ⁠ мы можем написать

$${\frac {GM}{R}}\approx \sigma ^{2}.$$

Здесь $R$ — радиус, на котором измеряется дисперсия скорости, а M — масса внутри этого радиуса. Вириальная масса и радиус обычно определяются для радиуса, на котором дисперсия скоростей максимальна, т.е.

$${\frac {GM_{\text{vir}}}{R_{\text{vir}}}}\approx \sigma _{\max }^{2}.$$

Поскольку были сделаны многочисленные приближения, в дополнение к приблизительному характеру этих определений, константы пропорциональности порядка единицы часто опускаются (как в приведенных выше уравнениях). Таким образом, эти отношения точны только в смысле порядка величины или при их самосогласованном использовании.

Альтернативное определение вириальной массы и радиуса часто используется в космологии, где оно используется для обозначения радиуса сферы с центром в галактике или скоплении галактик , внутри которой сохраняется вириальное равновесие. Поскольку этот радиус трудно определить наблюдательно, его часто аппроксимируют радиусом, в пределах которого средняя плотность в заданный раз превышает критическую плотность. $$\rho _{\text{crit}}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}$$ где H — параметр Хаббла , а G — гравитационная постоянная . Обычно для коэффициента выбирают значение 200, что примерно соответствует типичной избыточной плотности при коллапсе сферического цилиндра (см. Вириальная масса ), и в этом случае вириальный радиус аппроксимируется как $$r_{\text{vir}}\approx r_{200}=r,\qquad \rho =200\cdot \rho _{\text{crit}}.$$ Тогда вириальная масса определяется относительно этого радиуса как $$M_{\text{vir}}\approx M_{200}={\frac {4}{3}}\pi r_{200}^{3}\cdot 200\rho _{\text{crit}}.$$

Звезды

Теорема вириала применима к ядрам звезд, устанавливая связь между гравитационной потенциальной энергией и тепловой кинетической энергией (т.е. температурой). Поскольку звезды главной последовательности превращают водород в гелий в своих ядрах, средняя молекулярная масса ядра увеличивается, и ему приходится сжиматься, чтобы поддерживать давление, достаточное для поддержания собственного веса. Это сокращение уменьшает его потенциальную энергию и, как утверждает теорема вириала, увеличивает его тепловую энергию. Температура ядра увеличивается даже при потере энергии, что фактически приводит к отрицательной удельной теплоемкости . Это продолжается за пределами основной последовательности, если только ядро ​​не вырождается, поскольку это приводит к тому, что давление становится независимым от температуры, и вириальное соотношение с n, равным -1, больше не выполняется.

См. также

• Вириальный коэффициент
• Вириальный стресс
• Вириальная масса
• Тензор Чандрасекара
• Вириальные уравнения Чандрасекара
• Теорема Деррика
• Теорема о равнораспределении
• Теорема Эренфеста
• Pokhozhaev's identity

Дальнейшее чтение

• Гольдштейн, Х. (1980). Классическая механика (2-е изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-02918-5 .
• Коллинз, GW (1978). Теорема Вириала в звездной астрофизике . Пачарт Пресс. Бибкод : 1978вца.книга.....С . ISBN  978-0-912918-13-6 .
• i̇Пекоглу, Ю.; Тургут, С. (2016). «Элементарный вывод квантовой теоремы вириала из теоремы Хеллмана – Фейнмана». Европейский журнал физики . 37 (4): 045405. Бибкод : 2016EJPh...37d5405I . дои : 10.1088/0143-0807/37/4/045405 . S2CID   125030620 .

Внешние ссылки

• Теорема Вириала на MathPages
• Гравитационное сжатие и звездообразование , Университет штата Джорджия