Расширение руды

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория колец , расширение Оре , названное в честь Ойстейна Оре , представляет собой особый тип кольцевого расширения , свойства которого относительно хорошо изучены. Элементы расширения Оре называются полиномами Оре .

Расширения Ора появляются в нескольких естественных контекстах, включая косые и дифференциальные кольца многочленов , групповые алгебры полициклических групп , универсальные обертывающие алгебры разрешимых алгебр Ли и координатные кольца квантовых групп .

Определение

Предположим, что R (не обязательно коммутативное ) — кольцо , $\sigma \colon R\to R$ является кольцевым гомоморфизмом и $\delta \colon R\to R$ является σ -дифференцированием R что , что означает, $\delta$ является гомоморфизмом абелевых групп, удовлетворяющим

$\delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}$.

Тогда расширение Оре $R[x;\sigma ,\delta ]$, также называемое кольцом косых полиномов , представляет собой некоммутативное кольцо, полученное путем задания кольца многочленов $R[x]$ новое умножение при условии тождества

$xr=\sigma (r)x+\delta (r)$.

Если δ = 0 (т. е. является нулевым отображением), то расширение Оре обозначается R [ x ; σ ]. Если σ = 1 (т. е. тождественное отображение ), то расширение Оре обозначается R [ x , δ ] и называется кольцом дифференциальных полиномов .

Примеры

Алгебры Вейля являются расширениями Оре, где R — любое коммутативное кольцо полиномов , σ — единичного кольца эндоморфизм и δ — полиномиальная производная . Алгебры Оре — класс итерированных расширений Оре при подходящих ограничениях, позволяющих разработать некоммутативное расширение теории базисов Грёбнера .

Свойства

• Расширение домена Ore — это домен.
• Расширение Оре тела — это некоммутативная область главных идеалов .
• Если σ — автоморфизм и R — нётерово слева кольцо , то расширение Оре R [ λ ; σ , δ ] также нётерово слева.

Элементы

Элемент f кольца Оре R называется

• двусторонний (или инвариант ), если R·f = f·R и
• центральный , если g·f = f·g всех g в R. для

Дальнейшее чтение

• Гудерл, КР; Уорфилд, Р.Б. младший (2004), Введение в некоммутативные нетеровы кольца, второе издание , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 61, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-54537-4 , МР   2080008
• МакКоннелл, Джей Си; Робсон, Дж. К. (2001), Некоммутативные нётеровы кольца , Аспирантура по математике , том. 30, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2169-5 , МР   1811901
• Азеддин Уарит (1992) Расширения руды d'anneaux noetheriens á ip, Comm. Алгебра, 20 № 6, 1819–1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• Азеддин Уарит (1994) Замечание о свойстве Джейкобсона расширений ПИ Оре. (Заметка о том, что Джейкобсон владеет расширениями от Ore до IP) (на французском языке) Zbl 0819.16024. Арх. Математика. 63, № 2, 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
• Роуэн, Луи Х. (1988), Теория колец, том. I, II , Чистая и прикладная математика, вып. 127, 128, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN  0-12-599841-4 , МР   0940245