Конгруэнтность (общая теория относительности)

В общей теории относительности конгруэнция векторного (точнее, конгруэнция кривых ) — это набор интегральных кривых (никуда не исчезающего) поля в четырехмерном лоренцевом многообразии , которое физически интерпретируется как модель пространства-времени . Часто это многообразие рассматривается как точное или приближенное решение уравнения поля Эйнштейна .

Виды сравнений

Сравнения, порожденные никуда не исчезающими времениподобными, нулевыми или пространственноподобными векторными полями, называются времениподобными , нулевыми или пространственноподобными соответственно.

Конгруэнция называется геодезической конгруэнцией , если она допускает касательное векторное поле. ${\vec {X}}$ с исчезающей ковариантной производной , $\nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}=0$.

Связь с векторными полями

Интегральные кривые векторного поля представляют собой семейство непересекающихся параметризованных кривых, заполняющих пространство-время. Конгруэнтность состоит из самих кривых, без привязки к конкретной параметризации. Многие различные векторные поля могут вызывать одно и то же сравнение кривых, поскольку если $f$ — никуда не исчезающая скалярная функция, то ${\vec {X}}$ и ${\vec {Y}}=\,f\,{\vec {X}}$ вызывают одно и то же соответствие.

Однако в лоренцевом многообразии мы имеем метрический тензор , который выбирает предпочтительное векторное поле среди векторных полей, всюду параллельных данному времениподобному или пространственноподобному векторному полю, а именно поле касательных векторов к кривым. Это соответственно времениподобные или пространственноподобные единичных поля векторов.

Физическая интерпретация

В общей теории относительности времяподобное сравнение в четырехмерном лоренцевом многообразии можно интерпретировать как семейство мировых линий некоторых идеальных наблюдателей в нашем пространстве-времени. В частности, времяподобную геодезическую конгруэнтность можно интерпретировать как семейство свободно падающих пробных частиц .

Нулевые конгруэнции также важны, особенно нулевые геодезические конгруэнции , которые можно интерпретировать как семейство свободно распространяющихся световых лучей.

Предупреждение: мировая линия импульса света, движущегося по оптоволоконному кабелю, в целом не будет нулевой геодезической, и свет в очень ранней Вселенной ( эпоха доминирования излучения ) не распространялся свободно. Однако мировая линия радиолокационного импульса, посылаемого с Земли мимо Солнца на Венеру, будет моделироваться как нулевая геодезическая дуга. В измерениях, отличных от четырех, связь между нулевой геодезической и «светом» больше не сохраняется: если «свет» определяется как решение волнового уравнения Лапласа , то пропагатор имеет как нулевые, так и времяподобные компоненты в нечетном пространстве-времени. измерений и больше не является чистой дельта-функцией Дирака даже в измерениях пространства-времени, превышающих четыре.

Кинематическое описание

Описание взаимного движения пробных частиц в нулевой геодезической конгруэнции в пространстве-времени, таком как вакуум Шварцшильда или пыль FRW, является очень важной проблемой общей теории относительности. Она решается путем определения определенных кинематических величин , которые полностью описывают, как интегральные кривые в конгруэнции могут сходиться (расходиться) или закручиваться друг вокруг друга.

Следует подчеркнуть, что кинематическое разложение, которое мы собираемся описать, представляет собой чистую математику, справедливую для любого лоренцева многообразия. Однако физическая интерпретация в терминах пробных частиц и приливных ускорений (для времениподобных геодезических конгруэнций) или пучков световых лучей (для нулевых геодезических конгруэнций) справедлива только для общей теории относительности (аналогичные интерпретации могут быть справедливы и в тесно связанных теориях).

Кинематическое разложение времениподобного сравнения

Рассмотрим времяподобное сравнение, порожденное некоторым времениподобным единичным векторным полем X, которое мы должны рассматривать как линейный оператор в частных производных первого порядка. Тогда компоненты нашего векторного поля теперь являются скалярными функциями, заданными в тензорной записи следующим образом: ${\vec {X}}f=f_{,a}\,X^{a}$, где f — произвольная гладкая функция. Вектор ускорения представляет собой ковариантную производную $\nabla _{\vec {X}}{\vec {X}}$; мы можем записать его компоненты в тензорной записи как:

${\dot {X}}^{a}={X^{a}}_{;b}X^{b}$

Далее заметим, что уравнение:

$\left({\dot {X}}^{a}\,X_{b}+{X^{a}}_{;b}\right)\,X^{b}={X^{a}}_{;b}\,X^{b}-{\dot {X}}^{a}=0$

означает, что термин в скобках слева является поперечной частью ${X^{a}}_{;b}$. Это соотношение ортогональности выполняется только тогда, когда X является времениподобным единичным вектором лоренцева многообразия. В более общей ситуации это не справедливо. Писать:

$h_{ab}=g_{ab}+X_{a}\,X_{b}$

для проекционного тензора , проецирующего тензоры на их поперечные части; например, поперечная часть вектора - это часть ортогональная , ${\vec {X}}$. Этот тензор можно рассматривать как метрический тензор гиперповерхности, касательные векторы которой ортогональны X. Таким образом, мы показали, что:

${\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{m;n}$

Далее мы разложим это на симметричную и антисимметричную части:

${\dot {X}}_{a}\,X_{b}+X_{a;b}=\theta _{ab}+\omega _{ab}$

Здесь:

$\theta _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{(m;n)}$

$\omega _{ab}={h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}X_{[m;n]}$

известны как тензор расширения и тензор завихренности соответственно.

Поскольку эти тензоры живут в элементах пространственной гиперплоскости, ортогональных ${\vec {X}}$, мы можем думать о них как о трехмерных тензорах второго ранга. Более строго это можно выразить, используя понятие производной Ферми . Следовательно, мы можем разложить тензор разложения на его безследовую часть плюс следовую часть . Запись трассировки как $\theta$, у нас есть:

$\theta _{ab}=\sigma _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}$

Поскольку тензор завихренности антисимметричен, его диагональные компоненты обращаются в нуль, поэтому он автоматически бесследен (и мы можем заменить его трехмерным вектором , хотя мы не будем этого делать). Таким образом, теперь мы имеем:

$X_{a;b}=\sigma _{ab}+\omega _{ab}+{\frac {1}{3}}\,\theta \,h_{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}$

Это и есть искомое кинематическое разложение . В случае времениподобного геодезического сравнения последний член тождественно обращается в нуль.

Скаляр расширения, тензор сдвига ( $\sigma _{ab}$), и тензор завихренности времениподобной геодезической конгруэнции имеют следующий интуитивный смысл:

1. Скаляр расширения представляет собой дробную скорость, с которой изменяется объем небольшого изначально сферического облака тестовых частиц по отношению к собственному времени частицы в центре облака:
2. Тензор сдвига представляет собой любую тенденцию исходной сферы искажаться до эллипсоидной формы.
3. Тензор завихренности представляет собой любую тенденцию исходной сферы вращаться; завихренность исчезает тогда и только тогда, когда мировые линии в конгруэнции всюду ортогональны пространственным гиперповерхностям в некотором слое пространства-времени, и в этом случае для подходящей координатной карты каждый гиперсрез можно рассматривать как поверхность «постоянного времени». .

См. цитаты и ссылки ниже для обоснования этих утверждений.

Кривизна и времениподобные сравнения

По тождеству Риччи (которое часто используется в качестве определения тензора Римана ) можно написать:

$X_{a;bn}-X_{a;nb}=R_{ambn}\,X^{m}$

Подставив кинематическое разложение в левую часть, мы можем установить связь между тензором кривизны и кинематическим поведением времениподобных конгруэнций (геодезических или нет). Эти отношения можно использовать двумя способами, оба очень важны:

1. Мы можем (в принципе) экспериментально определить тензор кривизны пространства-времени на основе детальных наблюдений кинематического поведения любой времениподобной конгруэнции (геодезической или нет),
2. Мы можем получить уравнения эволюции для частей кинематического разложения ( скаляр расширения , тензор сдвига и тензор завихренности ), которые демонстрируют прямую связь кривизны .

В знаменитом лозунге Джона Арчибальда Уиллера :

Пространство-время сообщает материи, как двигаться; материя сообщает пространству-времени, как искривляться.

Теперь мы видим, как точно оценить первую часть этого утверждения; уравнение поля Эйнштейна дает количественную оценку второй части.

В частности, согласно разложению Бела тензора Римана, взятого относительно нашего времениподобного единичного векторного поля, электрогравитационный тензор (или приливный тензор ) определяется как:

$E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}$

Тождество Риччи теперь дает:

$\left(X_{a:bn}-X_{a:nb}\right)\,X^{n}=E[{\vec {X}}]_{ab}$

Подставив кинематическую декомпозицию, мы в конечном итоге можем получить:

${\begin{aligned}E[{\vec {X}}]_{ab}&={\frac {2}{3}}\,\theta \,\sigma _{ab}-\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}-\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\\&-{\frac {1}{3}}\left({\dot {\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{3}}\right)\,h_{ab}-{h^{m}}_{a}\,{h^{n}}_{b}\,\left({\dot {\sigma }}_{mn}-{\dot {X}}_{(m;n)}\right)-{\dot {X}}_{a}\,{\dot {X}}_{b}\\\end{aligned}}$

Здесь лишние точки обозначают дифференцирование по собственному времени , отсчитываемому вдоль нашего времениподобного сравнения (т.е. мы берем ковариантную производную по векторному полю X). Это можно рассматривать как описание того, как можно определить приливный тензор по наблюдениям одной времениподобной конгруэнтности.

Уравнения эволюции

В этом разделе мы обратимся к проблеме получения уравнений эволюции (также называемых уравнениями распространения или формулами распространения ).

Вектор ускорения будет удобно записать в виде ${\dot {X}}^{a}=W^{a}$ а также установить:

$J_{ab}=X_{a:b}={\frac {\theta }{3}}\,h_{ab}+\sigma _{ab}+\omega _{ab}-{\dot {X}}_{a}\,X_{b}$

Теперь из тождества Риччи для приливного тензора имеем:

${\dot {J}}_{ab}=J_{an;b}\,X^{n}-E[{\vec {X}}]_{ab}$

Но:

$\left(J_{an}\,X^{n}\right)_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{an}\,{X^{n}}_{;b}=J_{an;b}\,X^{n}+J_{am}\,{J^{m}}_{b}$

итак у нас есть:

${\dot {J}}_{ab}=-J_{am}\,{J^{m}}_{b}-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+W_{a;b}$

Подставив определение $J_{ab}$ и взяв соответственно диагональную часть, бесследовую симметричную часть и антисимметричную часть этого уравнения, получим искомые эволюционные уравнения для скаляра расширения, тензора сдвига и тензора завихренности.

Рассмотрим сначала более простой случай, когда вектор ускорения обращается в нуль. Тогда (замечая, что тензор проекции можно использовать для понижения индексов чисто пространственных величин), мы имеем:

$J_{am}\,{J^{m}}_{b}={\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}+{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)+\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)$

или

${\dot {J}}_{ab}=-{\frac {\theta ^{2}}{9}}\,h_{ab}-{\frac {2\theta }{3}}\,\left(\sigma _{ab}+\omega _{ab}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}$

С помощью элементарной линейной алгебры легко проверить, что если $\Sigma ,\Omega$ являются соответственно трехмерными симметричным и антисимметричным линейными операторами, то $\Sigma ^{2}+\Omega ^{2}$ симметричен, в то время как $\Sigma \,\Omega +\Omega \,\Sigma$ является антисимметричным, поэтому при понижении индекса соответствующие комбинации в скобках выше становятся симметричными и антисимметричными соответственно. Следовательно, прослеживание дает уравнение Райчаудхури (для времениподобных геодезических):

${\dot {\theta }}=\omega ^{2}-\sigma ^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{3}}-{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}$

Взятие бесследовой симметричной части дает:

${\dot {\sigma }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\sigma _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}\right)-{E[{\vec {X}}]}_{ab}+{\frac {\sigma ^{2}-\omega ^{2}+{E[{\vec {X}}]^{m}}_{m}}{3}}\,h_{ab}$

и взятие антисимметричной части дает:

${\dot {\omega }}_{ab}=-{\frac {2\theta }{3}}\,\omega _{ab}-\left(\sigma _{am}\,{\omega ^{m}}_{b}+\omega _{am}\,{\sigma ^{m}}_{b}\right)$

Здесь:

$\sigma ^{2}=\sigma _{mn}\,\sigma ^{mn},\;\omega ^{2}=\omega _{mn}\,\omega ^{mn}$

являются квадратичными инвариантами, которые никогда не бывают отрицательными, так что $\sigma ,\omega$ являются вполне определенными действительными инвариантами. След приливного тензора также можно записать:

${E[{\vec {X}}]^{a}}_{a}=R_{mn}\,X^{m}\,X^{n}$

Иногда его называют скаляром Райчаудхури ; разумеется, оно тождественно исчезает и в случае вакуумного раствора .

См. также

• конгруэнтность (многообразия)
• скаляр расширения
• тензор расширения
• тензор сдвига
• тензор завихренности
• Уравнение Райчаудхури

Ссылки

• Пуассон, Эрик (2004). Инструментарий релятивиста: математика механики черных дыр . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 2004rtmb.book.....P . ISBN  978-0-521-83091-1 . См. главу 2 для превосходного и подробного введения в геодезические сравнения. Обсуждение Пуассоном нулевых геодезических конгруэнтностей особенно ценно.
• Кэрролл, Шон М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности . Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-8053-8732-2 . См. приложение F для хорошего элементарного обсуждения геодезических сравнений. (Обозначения Кэрролла несколько нестандартны. )
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; МакКаллум, Малькольм; Хоэнселерс, Корнелиус; Херлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46136-8 . См. главу 6 для очень подробного введения в времяподобные и нулевые сравнения.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5 . См. раздел 9.2 о кинематике времениподобных геодезических конгруэнций.
• Хокинг, Стивен; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-09906-6 . См. раздел 4.1 о кинематике времяподобных и нулевых конгруэнтностей.
• Дасгупта, Анирван; Нандан, Хемвати; Кар, Саян (2009). «Кинематика течений в искривленных деформируемых средах». Международный журнал геометрических методов в современной физике . 6 (4): 645–666. arXiv : 0804.4089 . Бибкод : 2009IJGMM..06..645D . дои : 10.1142/S0219887809003746 . S2CID   115154964 . См. подробное введение в кинематику геодезических потоков на конкретных двумерных искривленных поверхностях (а именно сфере, гиперболическом пространстве и торе).