Суд над Бернулли

В теории вероятностей и статистике испытание Бернулли (или биномиальное испытание ) — это случайный эксперимент с ровно двумя возможными исходами : «успех» и «неудача», в котором вероятность успеха одинакова каждый раз, когда проводится эксперимент. ^[1] Он назван в честь Якоба Бернулли , швейцарского математика 17 века, который проанализировал их в своей книге «Ars Conjectandi» (1713). ^[2]

Математическая формализация и расширенная формулировка процесса Бернулли известна как процесс Бернулли .

Поскольку испытание Бернулли имеет только два возможных результата, его можно сформулировать как вопрос «да или нет». Например:

Является ли верхняя карта перетасованной колоды тузом?
Был ли новорожденный ребенок девочкой? (См. соотношение полов у людей .)

В этом контексте успех и неудача являются ярлыками для двух результатов, и их не следует интерпретировать буквально или как оценочные суждения. В более общем смысле, учитывая любое вероятностное пространство для любого события (набора результатов), можно определить испытание Бернулли в зависимости от того, произошло событие или нет (событие или дополнительное событие ). Примеры испытаний Бернулли включают:

Подбрасывание монеты . В этом контексте аверс («орёл») традиционно обозначает успех, а реверс («решка») — неудачу. Честная монета по определению имеет вероятность успеха 0,5. В этом случае возможны ровно два исхода.
Бросок кубика , где шестерка – «успех», а все остальное – «неудача». В этом случае существует шесть возможных исходов, а событие — шестеркой; дополнительное событие «не шестерка» соответствует остальным пяти возможным исходам.
При проведении опроса политического мнения случайный выбор избирателя, чтобы выяснить, проголосует ли этот избиратель «за» на предстоящем референдуме.

Определение

Независимые повторные испытания эксперимента с ровно двумя возможными исходами называются испытаниями Бернулли. Назовите один из результатов «успехом», а другой — «неудачей». Позволять $p$ быть вероятностью успеха в испытании Бернулли, и $q$ быть вероятность неудачи. Тогда вероятность успеха и вероятность неудачи в сумме равны единице, поскольку это взаимодополняющие события: «успех» и «неудача» взаимоисключающие и исчерпывающие . Таким образом, возникают следующие отношения:

p=1-q,\quad \quad q=1-p,\quad \quad p+q=1.

В качестве альтернативы их можно выразить в терминах шансов : данная вероятность $p$ успеха и $q$ неудачи, вероятность того , что $p:q$ и против шансы $q:p.$ Их также можно выразить в виде чисел путем деления, что дает шансы на: $o_{f}$ , и шансы против, $o_{a}$ :

{\begin{aligned}o_{f}&=p/q=p/(1-p)=(1-q)/q\\o_{a}&=q/p=(1-p)/p=q/(1-q).\end{aligned}}

Это мультипликативные обратные числа , поэтому они умножаются на 1 со следующими соотношениями:

o_{f}=1/o_{a},\quad o_{a}=1/o_{f},\quad o_{f}\cdot o_{a}=1.

В случае, когда испытание Бернулли представляет событие из конечного числа равновероятных исходов , где $S$ результатов – успех и $F$ из исходов — провал, шансы на него равны $S:F$ и шансы против $F:S.$ Это дает следующие формулы для вероятности и шансов:

{\begin{aligned}p&=S/(S+F)\\q&=F/(S+F)\\o_{f}&=S/F\\o_{a}&=F/S.\end{aligned}}

Здесь шансы вычисляются путем деления количества исходов, а не вероятностей, но пропорция та же, поскольку эти отношения различаются только за счет умножения обоих членов на один и тот же постоянный коэффициент.

Случайные переменные, описывающие испытания Бернулли, часто кодируются по соглашению: 1 = «успех», 0 = «неуспех».

С испытанием Бернулли тесно связан биномиальный эксперимент, который состоит из фиксированного числа $n$ статистически независимых испытаний Бернулли, каждое из которых имеет вероятность успеха $p$ , и подсчитывает количество успехов. Случайная величина, соответствующая биномиальному эксперименту, обозначается через $B(n,p)$ , и говорят, что оно имеет биномиальное распределение .Вероятность того, что именно $k$ успехи в эксперименте $B(n,p)$ дается:

P(k)={n \choose k}p^{k}q^{n-k}

где ${n \choose k}$ является биномиальным коэффициентом .

Испытания Бернулли могут также привести к отрицательным биномиальным распределениям (которые подсчитывают количество успехов в серии повторных испытаний Бернулли до тех пор, пока не будет обнаружено определенное количество неудач), а также к различным другим распределениям.

Когда выполняются несколько испытаний Бернулли, каждое из которых имеет свою вероятность успеха, их иногда называют испытаниями Пуассона . ^[3]

Примеры

Бросание монет

Рассмотрим простой эксперимент, в котором честную монету подбрасывают четыре раза. Найти вероятность того, что ровно при двух бросках выпадет решка.

Решение

В этом эксперименте пусть орел будет определен как успех , а решка как неудача. Поскольку предполагается, что монета честная, вероятность успеха равна $p={\tfrac {1}{2}}$ . Таким образом, вероятность неудачи $q$ , определяется

q=1-p=1-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}

.

Используя приведенное выше уравнение, вероятность того, что ровно два броска из четырех общих бросков приведут к выпадению орла, определяется следующим образом:

{\begin{aligned}P(2)&={4 \choose 2}p^{2}q^{4-2}\\&=6\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\times \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\\&={\dfrac {3}{8}}.\end{aligned}}

Бросок кубиков

Какова вероятность того, что при броске трех независимых справедливых шестигранных игральных костей ровно на двух выпадут шестерки?

Решение

На одном кубике вероятность выпадения шестерки $p={\tfrac {1}{6}}$ . Таким образом, вероятность того, что не выпадет шестерка, $q=1-p={\tfrac {5}{6}}$ .

Как и выше, вероятность того, что выпадут ровно две шестерки из трех,

{\begin{aligned}P(2)&={3 \choose 2}p^{2}q^{3-2}\\&=3\times \left({\tfrac {1}{6}}\right)^{2}\times \left({\tfrac {5}{6}}\right)^{1}\\&={\dfrac {5}{72}}\approx 0.069.\end{aligned}}

См. также

Ссылки

^ Папулис, А. (1984). «Процессы Бернулли». Вероятность, случайные величины и случайные процессы (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . стр. 57–63.
^ Джеймс Виктор Успенский: Введение в математическую вероятность , МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1937, стр. 45
^ Раджив Мотвани и П. Рагхаван. Рандомизированные алгоритмы. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк (Нью-Йорк), 1995, стр.67-68.

Внешние ссылки

«Испытания Бернулли» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Моделирование процессов Бернулли» . math.uah.edu . Проверено 21 января 2014 г.

[1] Папулис, А. (1984). «Процессы Бернулли». Вероятность, случайные величины и случайные процессы (2-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл . стр. 57–63.

[2] Джеймс Виктор Успенский: Введение в математическую вероятность , МакГроу-Хилл, Нью-Йорк, 1937, стр. 45

[3] Раджив Мотвани и П. Рагхаван. Рандомизированные алгоритмы. Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк (Нью-Йорк), 1995, стр.67-68.

[1]

[2]

[3]