Динамическое субструктурирование

Динамическое субструктурирование (DS) — это инженерный используемый для моделирования и анализа динамики инструмент , механических систем с помощью их компонентов или подструктур. Используя подход динамического субструктурирования, можно анализировать динамическое поведение субструктур по отдельности, а затем рассчитывать собранную динамику с использованием процедур сопряжения. Динамическое субструктурирование имеет ряд преимуществ перед анализом полностью собранной системы:

Субструктуры можно моделировать в наиболее подходящей области, например, экспериментально полученные субструктуры можно комбинировать с численными моделями .
Большие и/или сложные системы можно оптимизировать на уровне подструктуры.
Загрузка численных вычислений может быть уменьшена, поскольку решение нескольких подструктур требует меньше вычислительных затрат, чем решение одной большой системы.
Модели подструктур различных групп разработки можно использовать совместно и комбинировать, не раскрывая деталей моделирования.

Динамическое подструктурирование специально предназначено для моделирования механических вибраций , что влияет на многие аспекты продукта, такие как звук / акустика , усталость /долговечность, комфорт и безопасность . Кроме того, динамическое субструктурирование применимо к любому масштабу размера и частоты . Таким образом, это широко используемая парадигма в промышленности, от автомобильной и аэрокосмической техники до проектирования ветряных турбин и высокотехнологичного точного оборудования.

История

Корни динамической субструктуризации можно найти в области декомпозиции предметной области . В 1890 году математик Герман Шварц придумал итерационную процедуру разложения области, которая позволяет решать непрерывные связанные подобласти. Однако многие аналитические модели связанных непрерывных подобластей не имеют решений в замкнутой форме , что привело к использованию методов дискретизации и аппроксимации, таких как метод Ритца. ^{[ 1 ]} (который иногда называют методом Рэлея-Ритца из-за сходства формулировки Ритца и коэффициента Рэлея ), метод граничных элементов (МГЭ) и метод конечных элементов (МКЭ). Эти методы можно рассматривать как методы декомпозиции предметной области «первого уровня».

Метод конечных элементов оказался наиболее эффективным методом, а изобретение микропроцессора позволило легко решать широкий спектр физических задач. ^{[ 2 ]} Для анализа еще более крупных и сложных задач были изобретены методы оптимизации эффективности дискретных вычислений. Первым шагом была замена прямых решателей итерационными решателями, такими как метод сопряженных градиентов . ^{[ 3 ]} Отсутствие надежности и медленная сходимость этих решателей поначалу не делали их интересной альтернативой. Однако появление параллельных вычислений в 1980-х годах привело к их популярности. Сложные проблемы теперь можно было решить, разделив проблему на поддомены, каждый из которых обрабатывается отдельным процессором, и итеративно решая проблему сопряжения интерфейсов. Это можно рассматривать как декомпозицию домена второго уровня, как показано на рисунке.

Эффективность динамического моделирования можно повысить еще больше за счет уменьшения сложности отдельных поддоменов. Эта редукция субдоменов (или субструктур в контексте структурной динамики) реализуется путем представления субструктур посредством их общих реакций. Выражение отдельных подструктур посредством их общего отклика вместо их детальной дискретизации привело к так называемому методу динамического субструктурирования. Этот шаг сокращения также позволил заменить математическое описание областей экспериментально полученной информацией. Этот этап сокращения также обозначен стрелкой уменьшения на рисунке.

Первые методы динамического субструктурирования были разработаны в 1960-х годах и были более широко известны под названием «синтез компонентного режима» (CMS). Преимущества динамического субструктурирования были быстро обнаружены научным и инженерным сообществом, и это стало важной темой исследований в области структурной динамики и вибраций . Последовали важные разработки, результатом которых стал, например, классический метод Крейга-Бэмптона. Метод Крейга-Бэмптона использует статическую конденсацию ( сокращение Гайана ) и методы модального усечения для эффективного уменьшения степеней свободы в системе. ^{[ 4 ]}

Благодаря усовершенствованиям в технологиях датчиков и обработки сигналов в 1980-х годах методы субструктурирования также стали привлекательными для экспериментального сообщества. Были созданы методы структурной динамической модификации, в которых методы связи напрямую применялись к измеренным функциям частотной характеристики (FRF). Широкую популярность метод приобрел, когда Jetmundsen et al. сформулировал классический метод частотной подструктуризации (FBS), ^{[ 5 ]} который заложил основу для частотной динамической субструктуризации. В 2006 году систематические обозначения были введены Де Клерком и др. ^{[ 6 ]} чтобы упростить сложные и сложные обозначения, которые использовались ранее. Упрощение было сделано с помощью двух логических матриц, которые выполняют всю «бухгалтерию», связанную со сборкой подструктур. ^{[ 7 ]}

Домены

Динамическую подструктуризацию лучше всего рассматривать как независимый от предметной области набор инструментов для сборки моделей компонентов, а не как отдельный метод моделирования. Как правило, динамическое подструктурирование можно использовать для всех областей, которые хорошо подходят для моделирования поведения с несколькими входами и несколькими выходами . ^{[ 7 ]} Пять областей, которые хорошо подходят для субструктурирования:

Физическая область касается методов, основанных на (линеаризованных) матрицах массы, демпфирования и жесткости, обычно получаемых в результате численного моделирования методом конечных элементов. Популярными решениями для решения связанной системы дифференциальных уравнений второго порядка являются интегрирования по времени схемы Ньюмарка. ^{[ 8 ]} и схема Гильберта-Хьюза-Тейлора. ^{[ 9 ]} Модальная область касается методов синтеза компонентных режимов (CMS), таких как метод Крейга-Бэмптона, Рубина и МакНила. Эти методы обеспечивают эффективные основы модального сокращения и методы сборки численных моделей в физической области. Частотная область более известна как частотная субструктуризация (FBS). Основываясь на классической формулировке Jetmundsen et al. ^{[ 5 ]} и переформулировка Де Клерка и др., ^{[ 9 ]} он стал наиболее часто используемой областью для субструктурирования из-за простоты выражения дифференциальных уравнений динамической системы (с помощью функций частотной характеристики , FRF) и удобства реализации экспериментально полученных моделей. Временная область относится к недавно предложенной концепции импульсной субструктуризации (IBS). ^{[ 10 ]} который выражает поведение динамической системы с использованием набора функций импульсного отклика (IRF). Наконец, область пространства состояний относится к методам, предложенным Sjövall et al. ^{[ 11 ]} которые используют методы идентификации систем , общие для теории управления .

Обзор основных уравнений пяти упомянутых выше областей представлен в таблице ниже.

Динамические уравнения для пяти областей
Домен	Динамическое уравнение	Дополнительная информация
Физический домен	$\mathbf {f} (t)=\mathbf {M{\ddot {u}}} (t)+\mathbf {C{\dot {u}}} (t)+\mathbf {Ku} (t)$	$\mathbf {M} ,\mathbf {C} ,\mathbf {K}$ представляют собой линейную (лизированную) матрицу массы, демпфирования и жесткости системы.
Модальный домен	$\mathbf {f_{m}} (t)=\mathbf {M_{m}{\ddot {\boldsymbol {\eta }}}} (t)+\mathbf {C_{m}} {\boldsymbol {\dot {\eta }}}(t)+\mathbf {K_{m}} {\boldsymbol {\eta }}(t)$	$\mathbf {M} _{m},\mathbf {C} _{m},\mathbf {K} _{m}$ представляют модально приведенную матрицу массы, демпфирования и жесткости; ${\boldsymbol {\eta }}$ – набор модальных амплитуд.
Частотная область	${\begin{aligned}\mathbf {f} (\omega )=\mathbf {Z} (\omega )\mathbf {u} (\omega )\\\mathbf {u} (\omega )=\mathbf {Y} (\omega )\mathbf {f} (\omega )\end{aligned}}$	$\mathbf {Z} (\omega )$ – матрица импеданса FRF ; $\mathbf {Y} (\omega )$ – матрица адмиттанса FRF .
Временной интервал	$\mathbf {u} (t)=\mathbf {Y} (t)*\mathbf {f} (t)$	$\mathbf {Y} (t)$ — матрица IRF .
Область пространства состояний	${\begin{cases}\mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {Bv} (t)\\\mathbf {y} (t)=\mathbf {Cx} (t)+\mathbf {Dv} (t)\\\end{cases}}$	$\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D}$ – матрицы пространства состояний ; $\mathbf {x}$ , $\mathbf {v}$ и $\mathbf {y}$ представляют состояние, входной и выходной вектор.

Поскольку динамическое субструктурирование является набором инструментов, не зависящим от предметной области, он применим к динамическим уравнениям всех предметных областей. Чтобы установить сборку подструктуры в конкретном домене, необходимо реализовать два условия интерфейса. Это объясняется далее, а затем рассматриваются несколько распространенных методов подструктурирования.

Условия интерфейса

Для установления субструктурной связи/развязки в каждом из вышеупомянутых доменов должны быть выполнены два условия:

Координатная совместимость, т.е. соединительные узлы двух подконструкций должны иметь одинаковое смещение стыков .
взаимодействия Силовое равновесие, т. е. силы между соединяющими узлами имеют одинаковую величину и противоположный знак.

Это два основных условия, которые удерживают подструктуры вместе и, следовательно, позволяют построить сборку из нескольких компонентов. Обратите внимание, что эти условия сравнимы с законами Кирхгофа для электрических цепей , и в этом случае аналогичные условия применяются к токам и напряжениям через электрические компоненты в сети или над ними; см. также Механико-электрические аналогии .

Соединение подструктуры

Рассмотрим две подструктуры A и B, как показано на рисунке. Две подструктуры содержат в общей сложности шесть узлов; смещения узлов описываются набором степеней свободы (DoF). Степени свободы шести узлов разделены следующим образом:

Степени свободы внутренних узлов подконструкции А;
Степени свободы узлов сопряжения подконструкций А и Б, т.е. степени свободы сопряжения;
Степени свободы внутренних узлов подконструкции Б.

Обратите внимание, что обозначения 1, 2 и 3 указывают на функцию узлов/DoF, а не на общую сумму. Определим наборы степеней свободы для двух подструктур A и B в объединенной форме. Перемещения и приложенные силы представлены множествами $\mathbf {u}$ и $\mathbf {f}$ . В целях субструктурирования используется набор интерфейсных сил. $\mathbf {g}$ введено, которое содержит только ненулевые записи в DoF интерфейса:

\mathbf {u} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}^{A}\\\mathbf {u} _{2}^{A}\\\mathbf {u} _{2}^{B}\\\mathbf {u} _{3}^{B}\\\end{bmatrix}}\quad \mathbf {f} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{1}^{A}\\\mathbf {f} _{2}^{A}\\\mathbf {f} _{2}^{B}\\\mathbf {f} _{3}^{B}\\\end{bmatrix}}\quad \mathbf {g} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{A}\\\mathbf {g} _{2}^{B}\\\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}\quad \mathbf {u} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \in \mathbb {R} ^{n}

Связь между динамическими перемещениями $\mathbf {u}$ и приложенные силы $\mathbf {f}$ несвязанной задачи определяется конкретным динамическим уравнением, например, представленным в таблице выше. Несвязанные уравнения движения дополняются дополнительными членами/уравнениями совместимости и равновесия, как обсуждается далее.

Совместимость

Условие совместимости требует, чтобы степени свободы интерфейса имели одинаковый знак и значение на обеих сторонах интерфейса: $\mathbf {u} _{2}^{A}=\mathbf {u} _{2}^{B}$ . Это условие можно выразить с помощью так называемой знаковой булевой матрицы , ^{[ 6 ]} обозначается $\mathbf {B}$ . Для данного примера это можно выразить так:

\mathbf {B} \mathbf {u} =\mathbf {0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {u} _{2}^{B}-\mathbf {u} _{2}^{A}=\mathbf {0} \quad \Rightarrow \quad \mathbf {B} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} &-\mathbf {I} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}

В некоторых случаях узлы сопряжения подструктур не соответствуют друг другу, например, когда две подструктуры объединены в сеть отдельно. В таких случаях небулева матрица $\mathbf {B}$ должен использоваться для обеспечения слабой совместимости интерфейса. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

Вторая форма, в которой может быть выражено условие совместимости, - это замена координат набором обобщенных координат. $\mathbf {q}$ . Набор $\mathbf {q}$ содержит уникальные координаты, которые остаются после сборки подконструкций. Каждая совпадающая пара степеней свободы интерфейса описывается одной обобщенной координатой, что означает, что условие совместимости выполняется автоматически. Выражение $\mathbf {u}$ с использованием $\mathbf {q}$ дает:

\mathbf {u} =\mathbf {L} \mathbf {q} \quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\mathbf {u} _{1}^{A}=\mathbf {q} _{1}\\\mathbf {u} _{2}^{A}=\mathbf {q} _{2}\\\mathbf {u} _{2}^{B}=\mathbf {q} _{2}\\\mathbf {u} _{3}^{B}=\mathbf {q} _{3}\\\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {L} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {I} \\\end{bmatrix}}

Матрица $\mathbf {L}$ называется булевой матрицей локализации . Полезное соотношение между матрицей $\mathbf {B}$ и $\mathbf {L}$ можно выявить, отметив, что совместимость должна соблюдаться для любого набора физических координат. $\mathbf {u}$ выраженный $\mathbf {q}$ . Действительно, замена $\mathbf {u} =\mathbf {Lq}$ в уравнении $\mathbf {Bu} =\mathbf {0}$ :

\mathbf {Bu} =\mathbf {B} \mathbf {L} \mathbf {q} =\mathbf {0} \quad \forall \mathbf {q}

Следовательно $\mathbf {L}$ представляет собой нулевое пространство $\mathbf {B}$ :

{\begin{cases}\mathbf {L} ={\text{null}}(\mathbf {B} )\\\mathbf {B} ^{T}={\text{null}}(\mathbf {L} ^{T})\end{cases}}

На практике это означает, что нужно лишь определить $\mathbf {B}$ или $\mathbf {L}$ ; другая булева матрица вычисляется с использованием свойства nullspace.

Равновесие

Вторым условием, которое должно быть удовлетворено при сборке опорной конструкции, является равновесие сил для согласования сил на границе раздела. $\mathbf {g}$ . Для текущего примера это условие можно записать как $\mathbf {g} _{2}^{A}=-\mathbf {g} _{2}^{B}$ . Подобно уравнению совместимости, условие силового равновесия можно выразить с помощью булевой матрицы. Используется транспонирование булевой матрицы локализации. $\mathbf {L}$ это было введено для совместимости записи:

\mathbf {L} ^{T}\mathbf {g} =\mathbf {0} \quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\mathbf {g} _{1}^{A}=\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{A}+\mathbf {g} _{2}^{B}=\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{3}^{B}=\mathbf {0} \end{cases}}

Уравнения для $\mathbf {g} _{1}$ и $\mathbf {g} _{3}$ заявить, что силы взаимодействия на внутренних узлах равны нулю и, следовательно, отсутствуют. Уравнение для $\mathbf {g} _{2}$ правильно устанавливает силовое равновесие между совпадающей парой степеней свободы интерфейса в соответствии с третьим законом Ньютона .

Второе обозначение, в котором можно выразить условие равновесия, — это введение набора множителей Лагранжа. ${\boldsymbol {\lambda }}$ . Замена этих множителей Лагранжа возможна как $\mathbf {g} _{2}^{A}$ и $\mathbf {g} _{2}^{B}$ различаются только знаком, а не значением. Снова используя подписанную булеву матрицу $\mathbf {B}$ :

\mathbf {g} =-\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\mathbf {g} _{1}^{A}=\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{A}={\boldsymbol {\lambda }}\\\mathbf {g} _{2}^{B}=-{\boldsymbol {\lambda }}\\\mathbf {g} _{3}^{B}=\mathbf {0} \\\end{cases}}

Набор ${\boldsymbol {\lambda }}$ определяет интенсивность граничных сил $\mathbf {g} _{2}$ . Каждый множитель Лагранжа представляет собой величину двух совпадающих сил на границе раздела в сборке. Определив силы взаимодействия $\mathbf {g}$ используя множители Лагранжа ${\boldsymbol {\lambda }}$ , силовое равновесие автоматически достигается. В этом можно убедиться, заменив $\mathbf {g} =-\mathbf {B^{T}} {\boldsymbol {\lambda }}$ в первое уравнение равновесия:

\mathbf {L} ^{T}\mathbf {g} =-\mathbf {L} ^{T}\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {0} \quad \forall \mathbf {\mathbf {g} }

Опять же, здесь используется свойство нулевого пространства булевых матриц, а именно: $\mathbf {L^{T}} \mathbf {B^{T}} =\mathbf {0}$ .

Два условия, представленные выше, могут применяться для установления связи/развязки во множестве областей и, таким образом, не зависят от таких переменных, как время, частота, режим и т. д. Представлены некоторые реализации условий интерфейса для наиболее распространенных областей подструктурирования. ниже.

Субструктурирование в физической области

Физическая область — это область, имеющая наиболее простую физическую интерпретацию. Для каждой дискретной линеаризованной динамической системы можно записать равновесие между внешними силами и внутренними силами, возникающими из собственной инерции, вязкого демпфирования и упругости. Это соотношение определяется одной из самых элементарных формул колебаний конструкций :

\mathbf {M} \mathbf {\ddot {u}} (t)+\mathbf {C} \mathbf {\dot {u}} (t)+\mathbf {K} \mathbf {u} (t)=\mathbf {f} (t)

$\mathbf {M} ,\mathbf {C} ,\mathbf {K}$ представляют матрицу массы , демпфирования и жесткости системы. Эти матрицы часто получаются в результате моделирования методом конечных элементов (МКЭ) и называются числовой моделью конструкции. Более того, $\mathbf {u}$ представляет DoF и $\mathbf {f}$ вектор силы, зависящий от времени $(t)$ . Эта зависимость опущена в следующих уравнениях, чтобы улучшить читаемость.

Соединение в физической области

Соединение $n$ субструктур в физической области сначала требует написания несвязанных уравнений движения $n$ подструктуры в блочно-диагональной форме:

\mathbf {M} \triangleq {\text{diag}}(\mathbf {M} ^{(1)},\dots ,\mathbf {M} ^{(n)})={\begin{bmatrix}\mathbf {M} ^{(1)}&.&.\\.&\ddots &.\\.&.&\mathbf {M} ^{(n)}\\\end{bmatrix}}

\mathbf {C} \triangleq {\text{diag}}(\mathbf {C} ^{(1)},\dots ,\mathbf {C} ^{(n)})\quad \mathbf {K} \triangleq {\text{diag}}(\mathbf {K} ^{(1)},\dots ,\mathbf {K} ^{(n)})

\mathbf {u} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {u} ^{(n)}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {f} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {f} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {f} ^{(n)}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {g} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {g} ^{(1)}\\\vdots \\\mathbf {g} ^{(n)}\end{bmatrix}}

Далее можно выделить два подхода к сборке: первичная и двойная сборка.

Первичная сборка

Для первичной сборки — уникальный набор степеней свободы. $\mathbf {q}$ определяется для обеспечения совместимости, $\mathbf {u} =\mathbf {Lq}$ . Кроме того, добавляется второе уравнение для обеспечения равновесия сил на границе раздела. Это приводит к следующим связанным уравнениям динамического равновесия:

{\begin{cases}\mathbf {ML{\ddot {q}}+CL{\dot {q}}+KLq=f+g} \\\mathbf {L^{T}g=0} \end{cases}}

Предварительно умножив первое уравнение на $\mathbf {L} ^{T}$ и отмечая, что $\mathbf {L^{T}g} =\mathbf {0}$ , первичная сборка сводится к:

\mathbf {{\tilde {M}}{\ddot {q}}+{\tilde {C}}{\dot {q}}+{\tilde {K}}q=L^{T}f} \quad {\begin{cases}\mathbf {{\tilde {M}}=L^{T}ML} \\\mathbf {{\tilde {C}}=L^{T}CL} \\\mathbf {{\tilde {K}}=L^{T}KL} \end{cases}}

Первоначально собранные системные матрицы могут использоваться для моделирования переходных процессов с помощью любого стандартного алгоритма временного шага . Обратите внимание, что метод первичной сборки аналогичен сборке суперэлементов в методах конечных элементов .

Двойная сборка

В формулировке двойной сборки сохраняется глобальный набор степеней свободы, и сборка создается путем априорного удовлетворения условия равновесия. $\mathbf {g=-B^{T}{\boldsymbol {\lambda }}}$ . Опять же, множители Лагранжа представляют собой интерфейсные силы, соединяющие степени свободы на интерфейсе. Поскольку это неизвестные, они перемещаются в левую часть уравнения. Для обеспечения совместимости в систему добавляется второе уравнение, которое теперь работает с перемещениями:

{\begin{cases}\mathbf {M{\ddot {u}}+C{\dot {u}}+Ku+B^{T}{\boldsymbol {\lambda }}=f} \\\mathbf {Bu=0} \end{cases}}

Двойно собранную систему можно записать в матричной форме как:

\mathbf {\begin{bmatrix}\mathbf {M} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}\mathbf {\ddot {u}} \\{\boldsymbol {\lambda }}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {C} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\dot {u}} \\{\boldsymbol {\lambda }}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} &\mathbf {B} ^{T}\\\mathbf {B} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\{\boldsymbol {\lambda }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {f} \\\mathbf {0} \end{bmatrix}}

Эту двойную систему можно также использовать при моделировании переходных процессов с помощью стандартного алгоритма временного шага. ^{[ 9 ]}

Субструктурирование в частотной области

Чтобы написать уравнения для частотной подструктуризации (FBS), сначала необходимо поместить динамическое равновесие в частотную область. Начнем с динамического равновесия в физической области:

\mathbf {M} \mathbf {\ddot {u}} (t)+\mathbf {C} \mathbf {\dot {u}} (t)+\mathbf {K} \mathbf {u} (t)=\mathbf {f} (t)

Преобразование Фурье этого уравнения дает динамическое равновесие в частотной области:

\mathbf {Z} (\omega )\mathbf {u} (\omega )=\mathbf {f} (\omega )\quad {\text{with}}\quad \mathbf {Z} (\omega )={\bigr [}-\omega ^{2}\mathbf {M} +j\omega \mathbf {C} +\mathbf {K} {\bigr ]}

Матрица $\mathbf {Z} (\omega )$ называется динамической матрицей жесткости. Эта матрица состоит из комплексных частотно-зависимых функций, которые описывают силу, необходимую для создания единичного гармонического смещения при определенной глубине резкости. Обратная матрица $\mathbf {Z} (\omega )$ определяется как $\mathbf {Y} (\omega )\triangleq (\mathbf {Z} (\omega ))^{-1}$ и дает более интуитивное обозначение допуска:

\mathbf {u} (\omega )=\mathbf {Y} (\omega )\mathbf {f} (\omega )

Матрица приемки $\mathbf {Y} (\omega )$ содержит функции частотной характеристики (FRF) конструкции, которые описывают реакцию смещения на единичную входную силу. Другими вариантами матрицы восприимчивости являются матрицы подвижности и ускорения, которые соответственно описывают реакцию скорости и ускорения. Элементы матрицы динамической жесткости (или импеданса в целом) и приемистости (или адмиттанса в целом) определяются следующим образом:

{\begin{aligned}{\text{Impedance:}}\quad Z_{ij}(\omega )={\frac {f_{i}(\omega )}{u_{j}(\omega )}}\quad u_{k\neq j}=0\\{\text{Admittance:}}\quad Y_{ij}(\omega )={\frac {u_{i}(\omega )}{f_{j}(\omega )}}\quad f_{k\neq j}=0\end{aligned}}

Связь в частотной области

Чтобы соединить две подструктуры в частотной области, используются матрицы адмиттанса и импеданса обеих подструктур. Используя определение подструктур A и B, введенное ранее, определяются следующие матрицы импеданса и проводимости (обратите внимание, что частотная зависимость $(\omega )$ в терминах опущено для улучшения читабельности):

{\begin{array}{ll}\mathbf {Z} ^{A}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}\\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}\\\end{bmatrix}}&\mathbf {Z} ^{B}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\\[18pt]\mathbf {Y} ^{A}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{11}^{A}&\mathbf {Y} _{12}^{A}\\\mathbf {Y} _{21}^{A}&\mathbf {Y} _{22}^{A}\\\end{bmatrix}}&\mathbf {Y} ^{B}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{22}^{B}&\mathbf {Y} _{23}^{B}\\\mathbf {Y} _{32}^{B}&\mathbf {Y} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\end{array}}

Две матрицы проводимости и импеданса можно представить в блочно-диагональной форме, чтобы согласовать их с глобальным набором степеней свободы. $\mathbf {u}$ :

{\begin{aligned}\mathbf {Z} \triangleq &{\begin{bmatrix}\mathbf {Z} ^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Z} ^{B}\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\\[6pt]\mathbf {Y} \triangleq &{\begin{bmatrix}\mathbf {Y} ^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Y} ^{B}\end{bmatrix}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{11}^{A}&\mathbf {Y} _{12}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {Y} _{21}^{A}&\mathbf {Y} _{22}^{A}&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Y} _{22}^{B}&\mathbf {Y} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {Y} _{32}^{B}&\mathbf {Y} _{33}^{B}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Недиагональные нулевые члены показывают, что в этот момент между двумя подструктурами нет связи. Для создания такой муфты можно использовать метод первичной или двойной сборки. Оба метода сборки используют динамические уравнения, определенные ранее:

{\begin{aligned}\mathbf {Z} \mathbf {u} &=\mathbf {f} +\mathbf {g} \\\mathbf {u} &=\mathbf {Y} (\mathbf {f} +\mathbf {g} )\\\end{aligned}}

В этих уравнениях $\mathbf {g}$ снова используется для определения набора сил взаимодействия, которые пока неизвестны.

Первичная сборка

Чтобы получить исходную систему уравнений, необходим уникальный набор координат $\mathbf {q}$ определяется: $\mathbf {u} =\mathbf {Lq}$ . По определению соответствующей булевой матрицы локализации $\mathbf {L}$ , остается уникальный набор степеней свободы, для которого априорно выполняется условие совместимости ( условие совместимости ). Для выполнения условия равновесия к уравнениям движения добавляется второе уравнение:

{\begin{cases}\mathbf {Z} \mathbf {L} \mathbf {q} =\mathbf {f} +\mathbf {g} \\\mathbf {L} ^{T}\mathbf {g} =\mathbf {0} \end{cases}}

Предварительно умножив первое уравнение на $\mathbf {L} ^{T}$ дает обозначение собранных уравнений движения для обобщенных координат $\mathbf {q}$ :

\mathbf {\tilde {Z}} \mathbf {q} =\mathbf {\tilde {f}} \quad {\text{with}}\quad {\begin{cases}\mathbf {\tilde {Z}} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {Z} \mathbf {L} \\\mathbf {\tilde {f}} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {f} \end{cases}}

Этот результат можно переписать в форме допуска как:

\mathbf {q} =\mathbf {\tilde {Y}} \mathbf {\tilde {f}} \quad {\text{with}}\quad \mathbf {\tilde {Y}} \ =(\mathbf {\tilde {Z}} )^{-1}

Этот последний результат дает доступ к обобщенным реакциям в результате действия обобщенных приложенных сил. $\mathbf {\tilde {f}}$ , а именно путем инвертирования изначально собранной матрицы импеданса.

Процедура первичной сборки представляет интерес главным образом тогда, когда имеется доступ к динамике в форме импеданса, например, при моделировании методом конечных элементов. Когда у вас есть доступ только к динамике в обозначениях допуска, ^{[ 14 ]} двойная формулировка является более подходящим подходом.

Двойная сборка

Двойная система начинается с системы, записанной в обозначениях допуска. Для дуально собранной системы условие силового равновесия априори выполняется заменой множителей Лагранжа ${\boldsymbol {\lambda }}$ для сил взаимодействия: $\mathbf {g} =-\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }}$ . Условие совместимости обеспечивается добавлением дополнительного уравнения:

{\begin{cases}\mathbf {u} =\mathbf {Y} (\mathbf {f} -\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }})\\\mathbf {B} \mathbf {u} =\mathbf {0} \end{cases}}

Подставив первую строку во вторую и найдя решение ${\boldsymbol {\lambda }}$ дает:

{\boldsymbol {\lambda }}=(\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T})^{-1}\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {f}

Термин $\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {f}$ представляет собой несовместимость, вызванную несвязанной реакцией опорных конструкций на приложенные силы. $\mathbf {f}$ . Умножая несовместимость на комбинированную жесткость интерфейса, т.е. $(\mathbf {B} \mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T})^{-1}$ , силы ${\boldsymbol {\lambda }}$ которые удерживают подструктуры вместе, определены. Связанный отклик получается путем подстановки рассчитанного ${\boldsymbol {\lambda }}$ вернемся к исходному уравнению:

{\begin{aligned}&\mathbf {u} =\mathbf {Y} \mathbf {f} -\mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T}(\mathbf {BYB^{T}} )^{-1}\mathbf {BYf} \\[3pt]&\mathbf {u} =\mathbf {\tilde {Y}} \mathbf {f} \quad {\text{with:}}\quad \mathbf {\tilde {Y}} ={\big (}\mathbf {I} -\mathbf {Y} \mathbf {B} ^{T}(\mathbf {BYB^{T}} )^{-1}\mathbf {B} {\big )}\mathbf {Y} \end{aligned}}

Этот метод связи называется методом частотной подструктуризации с множителем Лагранжа (LM-FBS). ^{[ 6 ]} Метод LM-FBS позволяет быстро и легко собирать произвольное количество подструктур систематическим образом. Обратите внимание, что результат $\mathbf {\tilde {Y}}$ теоретически то же самое, что было получено выше путем применения первичной сборки.

Развязка в частотной области

Помимо соединения подконструкций, можно также отделить подструктуры от сборок. ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} Используя знак плюс в качестве оператора связи подструктур, процедуру связи можно просто описать как AB = A + B. Используя аналогичные обозначения, развязку можно сформулировать как AB - B = A. Процедуры развязки часто требуются для удаления подструктур, которые были добавлено для целей измерения, например, для фиксации конструкции. Подобно связыванию, для процедур разделения существует простая и двойственная формулировки.

Первичная разборка

В результате первичной связи матрицу импедансов собранной системы можно записать следующим образом:

\mathbf {Z} ^{AB}={\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{AB}&\mathbf {Z} _{12}^{AB}&\mathbf {Z} _{13}^{AB}\\\mathbf {Z} _{21}^{AB}&\mathbf {Z} _{22}^{AB}&\mathbf {Z} _{23}^{AB}\\\mathbf {Z} _{31}^{AB}&\mathbf {Z} _{32}^{AB}&\mathbf {Z} _{33}^{AB}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}+\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\end{bmatrix}}

Используя это соотношение, для отделения подструктуры B от сборки AB будет достаточно следующей тривиальной операции вычитания:

{\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}+\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{22}^{B}&\mathbf {Z} _{23}^{B}\\\mathbf {0} &\mathbf {Z} _{32}^{B}&\mathbf {Z} _{33}^{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {Z} _{11}^{A}&\mathbf {Z} _{12}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {Z} _{21}^{A}&\mathbf {Z} _{22}^{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}

Поместив импедансы AB и B в блок-диагональную форму со знаком минус для импеданса B для учета операции вычитания, то же уравнение, которое использовалось для первичной связи, теперь можно использовать для выполнения процедур первичной развязки.

\mathbf {Z} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Z} ^{AB}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {Z} ^{B}\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {\tilde {Z}} =\mathbf {L} ^{T}\mathbf {Z} \mathbf {L}

с:

\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {I} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}

Таким образом, первичную разборку можно понимать как сборку конструкции AB с отрицательным импедансом субструктуры B. Ограничением первичной разборки является то, что вся глубина резкости субструктуры, которая должна быть разъединена, должна быть точно представлена в собранной ситуации. В ситуациях численного разделения это не должно создавать никаких проблем, однако в экспериментальных случаях это может быть затруднительно. Решение этой проблемы можно найти в двойной разборке.

Двойная разборка

Подобно двойной сборке, двойная разборка решает проблему развязки с использованием матриц адмиттанса. Разделение в двойной области означает поиск силы, которая обеспечивает совместимость, но действует в противоположном направлении. Эта вновь обнаруженная сила затем будет противодействовать силе, приложенной к сборке из-за динамики опорной конструкции B. Запишите это в уравнениях движения:

{\begin{cases}\mathbf {u} ^{AB}=\mathbf {Y} ^{AB}\mathbf {f} +\mathbf {Y} ^{AB}\mathbf {g} \\\mathbf {u} ^{B}=-\mathbf {Y} ^{B}\mathbf {g} \end{cases}}

Чтобы записать динамику обеих систем в одном уравнении, используя ассемблерную нотацию LM-FBS, определяются следующие матрицы:

{\begin{aligned}\mathbf {Y} \triangleq &{\begin{bmatrix}\mathbf {Y} ^{AB}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {Y} ^{B}\end{bmatrix}}\\[3pt]\mathbf {u} =&{\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}^{AB}\\\mathbf {u} _{2}^{AB}\\\mathbf {u} _{3}^{AB}\\\mathbf {u} _{2}^{B}\\\mathbf {u} _{3}^{B}\end{bmatrix}};\quad \mathbf {f} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{1}^{AB}\\\mathbf {f} _{2}^{AB}\\\mathbf {0} \\\mathbf {0} \\\mathbf {0} \end{bmatrix}};\quad \mathbf {g} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{AB}\\\mathbf {0} \\\mathbf {g} _{2}^{B}\\\mathbf {0} \end{bmatrix}}\end{aligned}}

Чтобы обеспечить совместимость, используется тот же подход, что и для задачи сборки. Определение $\mathbf {B}$ -матрица для обеспечения совместимости:

\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &-\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}

Используя эти обозначения, процедуру разборки можно выполнить с использованием точно того же уравнения, которое использовалось для двойной сборки:

{\begin{cases}\mathbf {u} =\mathbf {Y} (\mathbf {f} -\mathbf {B} ^{T}{\boldsymbol {\lambda }})\\\mathbf {B} \mathbf {u} =\mathbf {0} \end{cases}}

Это означает, что процедуры соединения и развязки с использованием LM-FBS требуют идентичных шагов, единственная разница заключается в способе определения глобальной матрицы проводимости. Действительно, соединяемые подструктуры обозначаются знаком плюс, тогда как несвязанные структуры имеют знак минус:

{\begin{aligned}{\text{coupling}}\quad \mathbf {Y} &\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{A}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {Y} _{B}\end{bmatrix}}\\{\text{decoupling}}\quad \mathbf {Y} &\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {Y} _{AB}&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {Y} _{B}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

Более продвинутые методы развязки используют тот факт, что внутренние точки подструктуры B появляются как в проходах AB, так и в B, поэтому их можно использовать для улучшения процесса развязки. Такие методы описаны в. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

См. также

Ссылки

^ Ритц, В. (1909). «О новом методе решения некоторых вариационных задач математической физики». Журнал чистой и прикладной математики . 1909 (135): 1–61. дои : 10.1515/crll.1909.135.1 . S2CID 116143760 .
^ Хюбнер, Дьюхерст; Смит, Байром (2001). Метод конечных элементов для инженеров . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0471370789 .
^ Хестнес, Штифель (1952). «Метод сопряженных градиентов для решения линейных систем» (PDF) . Журнал инженерной механики . 86 (4): 51–69.
^ Крейг, Бэмптон (1968). «Соединение подструктур для динамического анализа» (PDF) . Журнал АИАА . 6 (7): 1313–1319. Бибкод : 1968AIAAJ...6.1313B . дои : 10.2514/3.4741 .
^ Jump up to: ^а ^б Джетмундсен, Бьёрн; Белава, Ричард Л.; Фланнелли, Уильям Г. (1 января 1988 г.). «Обобщенный синтез подструктуры частотной области». Журнал Американского вертолетного общества . 33 (1): 55–64. дои : 10.4050/JAHS.33.55 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Д. де Клерк; Д. Риксен; Дж. де Йонг (2006). «Метод частотной субструктуризации, переформулированный в соответствии с методом двухдоменной декомпозиции» . Материалы XXIV Международной конференции по модальному анализу (IMAC), Сент-Луис . Архивировано из оригинала 1 июля 2016 г.
^ Jump up to: ^а ^б Клерк, Д. Де; Риксен, диджей; Вурмеерен, С.Н. (1 января 2008 г.). «Общая основа динамической субструктуризации: история, обзор и классификация методов». Журнал АИАА . 46 (5): 1169–1181. Бибкод : 2008AIAAJ..46.1169D . дои : 10.2514/1.33274 . ISSN 0001-1452 .
^ Ньюмарк, Нью-Мексико (1959). «Метод расчета структурной динамики». Журнал отдела инженерной механики . 85 (3): 67–94. дои : 10.1061/JMCEA3.0000098 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Жерадин, Мишель; Риксен, Дэниел Дж. (2014). Механические вибрации: теория и применение к динамике конструкций, 3-е издание . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-90020-8 .
^ Риксен, Дэниел Дж.; ван дер Валк, Пол Л.К. (23 декабря 2013 г.). «Подход к подструктурированию на основе импульсов для анализа воздействия и моделирования нагружений». Журнал звука и вибрации . 332 (26): 7174–7190. Бибкод : 2013JSV...332.7174R . дои : 10.1016/j.jsv.2013.08.004 .
^ Шёвалл, Пер; Абрахамссон, Томас (01 октября 2007 г.). «Идентификация системы компонентов и синтез модели в пространстве состояний». Механические системы и обработка сигналов . 21 (7): 2697–2714. Бибкод : 2007MSSP...21.2697S . дои : 10.1016/j.ymssp.2007.03.002 .
^ Бернарди, К.; Мэдей, Ю.; Патера, AT (1994). «Новый несоответствующий подход к декомпозиции домена: метод строительного элемента». Нелинейные уравнения в частных производных и их приложения .
^ Вурмеерен, С.Н. (7 ноября 2012 г.). Методологии динамического субструктурирования для комплексного динамического анализа ветряных турбин (доктор философии). Делфтский технологический университет. doi : 10.4233/uuid:f45f0548-d5ec-46aa-be7e-7f1c2b57590d .
^ Аллен, М.; Мэйс, Р. (2007). «Сравнение FRF и модальных методов объединения экспериментальных и аналитических подструктур». Материалы двадцать пятой Международной конференции по модальному анализу .
^ Д'Амброджио, Уолтер; Фреголент, Анналиса (19 мая 2010 г.). «Роль интерфейсных степеней свободы в развязке подструктур на основе двухдоменной декомпозиции» . Механические системы и обработка сигналов . 24 (7): 2035–2048 – через Elsevier Science Direct.
^ Д'Амброджио, Уолтер; Фреголент, Анналиса (01 января 2011 г.). Пру, Том (ред.). Прямое разделение подструктур с использованием первичной и двойной формулировок . Серия материалов конференций Общества экспериментальной механики. Спрингер Нью-Йорк. стр. 47–76. дои : 10.1007/978-1-4419-9305-2_5 . ISBN 9781441993045 .
^ Jump up to: ^а ^б Вурмерен, С.Н.; Риксен, диджей (01 февраля 2012 г.). «Семейство методов разъединения опорной конструкции, основанных на подходе двойной сборки». Механические системы и обработка сигналов . 27 : 379–396. Бибкод : 2012MSSP...27..379В . дои : 10.1016/j.ymssp.2011.07.028 .
^ Jump up to: ^а ^б Д'Амброджио, Уолтер; Фреголент, Анналиса (4 апреля 2014 г.). «Обратная динамическая подструктуризация с использованием прямой гибридной сборки в частотной области». Механические системы и обработка сигналов . 45 (2): 360–377. Бибкод : 2014MSSP...45..360D . дои : 10.1016/j.ymssp.2013.11.007 .

[1] Ритц, В. (1909). «О новом методе решения некоторых вариационных задач математической физики». Журнал чистой и прикладной математики . 1909 (135): 1–61. дои : 10.1515/crll.1909.135.1 . S2CID 116143760 .

[2] Хюбнер, Дьюхерст; Смит, Байром (2001). Метод конечных элементов для инженеров . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0471370789 .

[3] Хестнес, Штифель (1952). «Метод сопряженных градиентов для решения линейных систем» (PDF) . Журнал инженерной механики . 86 (4): 51–69.

[4] Крейг, Бэмптон (1968). «Соединение подструктур для динамического анализа» (PDF) . Журнал АИАА . 6 (7): 1313–1319. Бибкод : 1968AIAAJ...6.1313B . дои : 10.2514/3.4741 .

[:2-5] Jump up to: ^а ^б Джетмундсен, Бьёрн; Белава, Ричард Л.; Фланнелли, Уильям Г. (1 января 1988 г.). «Обобщенный синтез подструктуры частотной области». Журнал Американского вертолетного общества . 33 (1): 55–64. дои : 10.4050/JAHS.33.55 .

[:3-6] Jump up to: ^а ^б ^с Д. де Клерк; Д. Риксен; Дж. де Йонг (2006). «Метод частотной субструктуризации, переформулированный в соответствии с методом двухдоменной декомпозиции» . Материалы XXIV Международной конференции по модальному анализу (IMAC), Сент-Луис . Архивировано из оригинала 1 июля 2016 г.

[:0-7] Jump up to: ^а ^б Клерк, Д. Де; Риксен, диджей; Вурмеерен, С.Н. (1 января 2008 г.). «Общая основа динамической субструктуризации: история, обзор и классификация методов». Журнал АИАА . 46 (5): 1169–1181. Бибкод : 2008AIAAJ..46.1169D . дои : 10.2514/1.33274 . ISSN 0001-1452 .

[8] Ньюмарк, Нью-Мексико (1959). «Метод расчета структурной динамики». Журнал отдела инженерной механики . 85 (3): 67–94. дои : 10.1061/JMCEA3.0000098 .

[:1-9] Jump up to: ^а ^б ^с Жерадин, Мишель; Риксен, Дэниел Дж. (2014). Механические вибрации: теория и применение к динамике конструкций, 3-е издание . Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-1-118-90020-8 .

[10] Риксен, Дэниел Дж.; ван дер Валк, Пол Л.К. (23 декабря 2013 г.). «Подход к подструктурированию на основе импульсов для анализа воздействия и моделирования нагружений». Журнал звука и вибрации . 332 (26): 7174–7190. Бибкод : 2013JSV...332.7174R . дои : 10.1016/j.jsv.2013.08.004 .

[11] Шёвалл, Пер; Абрахамссон, Томас (01 октября 2007 г.). «Идентификация системы компонентов и синтез модели в пространстве состояний». Механические системы и обработка сигналов . 21 (7): 2697–2714. Бибкод : 2007MSSP...21.2697S . дои : 10.1016/j.ymssp.2007.03.002 .

[12] Бернарди, К.; Мэдей, Ю.; Патера, AT (1994). «Новый несоответствующий подход к декомпозиции домена: метод строительного элемента». Нелинейные уравнения в частных производных и их приложения .

[13] Вурмеерен, С.Н. (7 ноября 2012 г.). Методологии динамического субструктурирования для комплексного динамического анализа ветряных турбин (доктор философии). Делфтский технологический университет. doi : 10.4233/uuid:f45f0548-d5ec-46aa-be7e-7f1c2b57590d .

[14] Аллен, М.; Мэйс, Р. (2007). «Сравнение FRF и модальных методов объединения экспериментальных и аналитических подструктур». Материалы двадцать пятой Международной конференции по модальному анализу .

[15] Д'Амброджио, Уолтер; Фреголент, Анналиса (19 мая 2010 г.). «Роль интерфейсных степеней свободы в развязке подструктур на основе двухдоменной декомпозиции» . Механические системы и обработка сигналов . 24 (7): 2035–2048 – через Elsevier Science Direct.

[16] Д'Амброджио, Уолтер; Фреголент, Анналиса (01 января 2011 г.). Пру, Том (ред.). Прямое разделение подструктур с использованием первичной и двойной формулировок . Серия материалов конференций Общества экспериментальной механики. Спрингер Нью-Йорк. стр. 47–76. дои : 10.1007/978-1-4419-9305-2_5 . ISBN 9781441993045 .

[:4-17] Jump up to: ^а ^б Вурмерен, С.Н.; Риксен, диджей (01 февраля 2012 г.). «Семейство методов разъединения опорной конструкции, основанных на подходе двойной сборки». Механические системы и обработка сигналов . 27 : 379–396. Бибкод : 2012MSSP...27..379В . дои : 10.1016/j.ymssp.2011.07.028 .

[:5-18] Jump up to: ^а ^б Д'Амброджио, Уолтер; Фреголент, Анналиса (4 апреля 2014 г.). «Обратная динамическая подструктуризация с использованием прямой гибридной сборки в частотной области». Механические системы и обработка сигналов . 45 (2): 360–377. Бибкод : 2014MSSP...45..360D . дои : 10.1016/j.ymssp.2013.11.007 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]