Неравенство Буля

В теории вероятностей неравенство Буля , также известное как граница объединения , гласит, что для любого вероятность того , что хотя конечного или счетного набора событий бы одно из событий произойдет, не превышает сумму вероятностей отдельных событий. Это неравенство дает верхнюю границу вероятности появления хотя бы одного из счетного числа событий с точки зрения индивидуальных вероятностей событий. Неравенство Буля названо в честь его первооткрывателя Джорджа Буля .

Формально для счетного множества событий A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... имеем

${\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).$

В терминах теории меры неравенство Буля следует из того факта, что мера (и, конечно, любая вероятностная мера ) является σ - субаддитивной .

Доказательство

Доказательство с помощью индукции.

Неравенство Буля можно доказать для конечных наборов $n$ события методом индукции.

Для $n=1$ случае, отсюда следует, что

$\mathbb {P} (A_{1})\leq \mathbb {P} (A_{1}).$

Для случая $n$, у нас есть

${\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).$

С $\mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B),$ и поскольку операция объединения ассоциативна , мы имеем

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).$

С

${\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,$

по первой аксиоме вероятности имеем

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),$

и поэтому

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).$

Доказательство без использования индукции.

На любые мероприятия в $A_{1},A_{2},A_{3},\dots$в нашем вероятностном пространстве мы имеем

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).$

Одна из аксиом вероятностного пространства состоит в том, что если $B_{1},B_{2},B_{3},\dots$ являются непересекающимися подмножествами вероятностного пространства, тогда

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i});$

это называется счетной аддитивностью.

Если мы изменим множества $A_{i}$, поэтому они становятся непересекающимися,

$B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}$

мы можем это показать

$\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.$

доказывая оба направления включения.

Предполагать $x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$. Затем $x\in A_{k}$ за какой-то минимум $k$ такой, что $i<k\implies x\notin A_{i}$. Поэтому $x\in B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}$. Итак, первое включение верно: $\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}$.

Далее предположим, что $x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}$. Отсюда следует, что $x\in B_{k}$ для некоторых $k$. И $B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}$ так $x\in A_{k}$, и у нас есть другое включение: $\bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$.

По конструкции каждого $B_{i}$, $B_{i}\subset A_{i}$. Для $B\subset A,$ это тот случай, что $\mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).$

Итак, можно сделать вывод, что искомое неравенство верно:

$\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).$

Неравенства Бонферрони

Неравенство Буля можно обобщить, чтобы найти верхние и нижние границы вероятности конечных объединений событий. Эти границы известны как неравенства Бонферрони , в честь Карло Эмилио Бонферрони ; см. Бонферрони (1936) .

Позволять

$S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})$

для всех целых чисел k из {1, ..., n }.

Затем, когда $K\leq n$ странно:

$\sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}$

держится, и когда $K\leq n$ четный:

$\sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}$

держит.

Равенства следуют из принципа включения-исключения , а неравенство Буля является частным случаем $K=1$.

Доказательство нечетного K

Позволять $E=\bigcap _{i=1}^{n}B_{i}$, где $B_{i}\in \{A_{i},A_{i}^{c}\}$ для каждого $i=1,\dots ,n$. Вот такие $E$ разделить пространство выборки, и для каждого $E$ и каждый $i$, $E$ либо содержится в $A_{i}$ или не пересекается с ним.

Если $E=\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}^{c}$, затем $E$ вносит 0 в обе части неравенства.

В противном случае предположим $E$ содержится ровно в $L$ принадлежащий $A_{i}$. Затем $E$ способствует именно $\mathbb {P} (E)$ в правую часть неравенства, хотя это способствует

$\sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}{L \choose j}\mathbb {P} (E)$

в левую часть неравенства. Однако по правилу Паскаля это равно

$\sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}\left({L-1 \choose j-1}+{L-1 \choose j}\right)\mathbb {P} (E)$

который телескопирует в

$\left(1+{L-1 \choose K}\right)\mathbb {P} (E)\geq \mathbb {P} (E)$

Таким образом, неравенство справедливо для всех событий $E$, и, таким образом, суммируя $E$, получаем искомое неравенство:

$\sum _{j=1}^{K}(-1)^{j-1}S_{j}\geq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)$

Доказательство даже $K$ практически идентично.

Пример

Предположим, что вы оцениваете 5 параметров на основе случайной выборки и можете контролировать каждый параметр отдельно. Если вы хотите, чтобы ваши оценки всех пяти параметров были хорошими с вероятностью 95 %, что вам следует сделать с каждым параметром?

Настроить вероятность того, что каждый параметр будет хорошим, с точностью до 95 % недостаточно, потому что «все хороши» — это подмножество каждого события «Оценка i — хорошо». Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать неравенство Буля. Найдя дополнение к событию «все пять хороши», мы можем изменить этот вопрос на другое условие:

P( хотя бы одна оценка плохая) = 0,05 ≤ P( A ₁ плохая) + P( A ₂ плохая) + P ( A ₃ плохая) + P ( A ₄ плохая) + P ( A ₅ плохая )

Один из способов — сделать каждый из них равным 0,05/5 = 0,01, то есть 1%. Другими словами, вы должны гарантировать точность каждой оценки до 99% (например, путем построения доверительного интервала 99%), чтобы гарантировать, что общая оценка будет хорошей с вероятностью 95%. Это называется методом одновременного вывода Бонферрони.

См. также

• Принцип разбавленного включения-исключения
• Формула Шютта – Несбитта
• Неравенства Буля – Фреше
• Вероятность объединения попарно независимых событий

Другие статьи по теме

• Бонферрони, Карло Э. (1936), «Статистическая теория классов и исчисление вероятностей», Опубл. ДР Инст. лыжного хозяйства. E Commerciali di Firenze (на итальянском языке), 8 : 1–62, Zbl   0016.41103
• Домен, Клаус (2003), Улучшенные неравенства Бонферрони с помощью абстрактных трубок. Неравенства и тождества типа включения-исключения , Конспект лекций по математике, вып. 1826, Берлин: Springer-Verlag , стр. viii+113, ISBN.  3-540-20025-8 , МР   2019293 , Збл   1026.05009
• Галамбос, Янош ; Симонелли, Итало (1996), Неравенства типа Бонферрони с приложениями , вероятность и ее приложения, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. x+269, ISBN  0-387-94776-0 , МР   1402242 , Збл   0869.60014
• Галамбос, Янош (1977), «Неравенства Бонферрони» , Annals of Probability , 5 (4): 577–581, doi : 10.1214/aop/1176995765 , JSTOR   2243081 , MR   0448478 , Zbl   0369.60018
• Галамбос, Янош (2001) [1994], «Неравенства Бонферрони» , Энциклопедия математики , EMS Press

Эта статья включает в себя материал о неравенствах Бонферрони на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .