Модулирующее пространство

Пространства, описанные в этой статье, представляют собой пространства классов высоты звука , которые моделируют отношения между классами высоты звука в некоторой музыкальной системе. Эти модели часто представляют собой графы , группы или решетки . С пространством классов высоты тона тесно связано пространство высоты тона , которое представляет высоту звука, а не классы высоты звука, и пространство аккордов , которое моделирует отношения между аккордами.

Пространство класса с круглым шагом

Простейшей моделью пространства шага является реальная линия. в стандарте настройки MIDI Например, основные частоты f отображаются на числа p в соответствии с уравнением

p=69+12\log _{2}{(f/440)}

Это создает линейное пространство, в котором октавы имеют размер 12, полутона (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а A440 присваивается номер 69 (это означает, что средней C присвоен номер 60). круглого Чтобы создать пространство классов шага, мы идентифицируем или «склеиваем» высоты звука p и p + 12. В результате получается непрерывное пространство классов круглого шага , которое математики называют Z /12 Z .

Круги генераторов

Другие модели пространства классов высоты звука, такие как круг квинт , пытаются описать особые отношения между классами высоты звука, связанными чистой квинтой. При равной темперации двенадцать последовательных квинт равны ровно семи октавам и, следовательно, с точки зрения тональных классов замыкаются сами на себя, образуя круг. Мы говорим, что пятый тональный класс порождает – или является генератором – пространство двенадцати тональных классов.

Разделив октаву на n равных частей и выбрав целое число m<n такое, что m и n взаимно просты , то есть не имеют общего делителя , мы получаем подобные круги, которые все имеют структуру конечных циклических групп. Проведя линию между двумя классами высоты звука, когда они различаются генератором, мы можем изобразить круг генераторов в виде графа цикла в форме правильного многоугольника . ^{[ нужен пример ]}

Тороидальные модуляторные пространства

Если мы разделим октаву на n частей, где n = rs — произведение двух относительно простых целых чисел r и s, мы можем представить каждый элемент тонового пространства как произведение определенного количества генераторов «r» на определенное число. генераторов «s»; другими словами, как прямая сумма двух циклических групп порядков r и s. Теперь мы можем определить граф с n вершинами, на которых действует группа, добавляя ребро между двумя классами шага всякий раз, когда они отличаются либо на генератор «r» или генератор «s» (так называемый Кэли граф $\mathbb {Z} _{12}$ с генераторами r и s ). В результате получается граф первого рода , то есть граф, имеющий форму бублика или тора . Такой граф называется тороидальным графом .

Пример — равный темперамент ; двенадцать — это произведение 3 и 4, и мы можем представить любой класс высоты звука как комбинацию третей октавы, или больших терций, и четвертых октав, или второстепенных терций, а затем нарисовать тороидальный график, рисуя край всякий раз, когда два класса высоты звука отличаются на большую или второстепенную треть.

Мы можем немедленно обобщить любое количество относительно простых факторов, производя графики можно рисовать обычным образом на n-торе .

Цепи генераторов

Линейная темперация — это обычная темперамент второго ранга, создаваемая октавой и другим интервалом, обычно называемым генератором. Самым известным примером на сегодняшний день является темперамент Meanone , генератором которого является уплощенная пятая часть Meanone. Высотные классы любой линейной темперамента можно представить лежащими вдоль бесконечной цепочки образующих; в одном случае, например, это будет -FCGDA- и т. д. Это определяет линейное модуляционное пространство.

Цилиндрические модуляторные пространства

Темперация второго ранга, которая не является линейной, имеет одну образующую, составляющую долю октавы, называемую периодом. Модуляционное пространство такого темперамента мы можем представить в виде n цепочек образующих по кругу, образующих цилиндр. Здесь n — количество периодов в октаве.

Например, диашизмический темперамент – это темперамент, смягчающий диашизму , или 2048/2025. Его можно представить в виде двух цепочек слегка (от 3,25 до 3,55 центов) острых квинт, разделенных полуоктавой, которые можно изобразить как две цепочки, перпендикулярные кругу и на противоположной стороне от него. Цилиндрический вид такого модуляционного пространства становится более очевидным, когда период составляет меньшую долю октавы; например, эннеалиммальный темперамент имеет модуляционное пространство, состоящее из девяти цепочек малых терций в круге (где терции могут иметь резкость всего от 0,02 до 0,03 цента).

Пятипредельное модуляторное пространство

Пятипредельная только интонация имеет модуляционное пространство, основанное на том, что ее высотные классы могут быть представлены тремя ^а 5 ^б, где a и b — целые числа. Таким образом, это свободная абелева группа с двумя образующими 3 и 5, и ее можно представить в виде квадратной решетки с квинтами по горизонтальной оси и большими терциями по вертикальной оси.

Во многих отношениях картина станет более проясняющей, если вместо этого мы представим ее в виде шестиугольной решетки ; это Тоннец Хьюго Римана , открытый примерно в то же время независимо Шохе Танакой . Квинты расположены вдоль горизонтальной оси, а большие терции направлены вправо под углом шестьдесят градусов. Еще шестьдесят градусов дают нам ось больших шестых, направленную влево. Неунисонные элементы 5-предельного ромба тональности 3/2, 5/4, 5/3, 4/3, 8/5, 6/5 теперь расположены в правильном шестиугольнике вокруг 1. Триады – это равносторонние треугольники этой решетки, причем треугольники, направленные вверх, являются главными триадами, а треугольники, направленные вниз, - второстепенными триадами.

Эта картина модуляционного пространства с пятью пределами в целом предпочтительна, поскольку она рассматривает консонансы единообразно и не предполагает, что, например, большая терция является скорее консонансом, чем большая шестая. Когда две точки решетки расположены как можно ближе, на расстоянии единицы друг от друга, тогда и только тогда они разделяются согласным интервалом. Следовательно, гексагональная решетка дает лучшее представление о структуре пятипредельного модуляционного пространства.

В более абстрактных математических терминах мы можем описать эту решетку как целое число пары (a, b), где вместо обычного евклидова расстояния мы имеем евклидово расстояние, определенное через норму векторного пространства

||(a,b)||={\sqrt {a^{2}+ab+b^{2}}}.

Семипредельное модуляторное пространство

Аналогичным образом мы можем определить модуляционное пространство для семипредельной интонации, представляя 3 ^а 5 ^б 7 ^с в терминах соответствующей кубической решетки . Однако еще раз, более поучительная картина возникает, если вместо этого мы представим ее в терминах трехмерного аналога гексагональной решетки, решетки под названием A ₃ , которая эквивалентна гранецентрированной кубической решетке или D ₃ . Абстрактно его можно определить как целочисленные тройки (a, b, c), связанные с 3 ^а 5 ^б 7 ^с, где мерой расстояния является не обычное евклидово расстояние, а евклидово расстояние, вытекающее из нормы векторного пространства

||(a,b,c)||={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca}}.

На этой картинке двенадцать неунисонных элементов ромба семипредельной тональности расположены вокруг цифры 1 в форме кубооктаэдра .

См. также

Ссылки

Риман, Гюго, Идеи доктрины тональных идей , Ежегодник Музыкальной библиотеки Петерса, (1914/15), Лейпциг, 1916, стр. 1–26. [1]
Танака, Шохе, Исследования в области чистой настройки , Quarterly for Musicology vol. 6 № 1, Фридрих Крисандер, Филипп Спитта, Гвидо Адлер (ред.), Брейткопф и Хертель, Лейпциг, стр. 1–90. [2]

Дальнейшее чтение

Кон, Ричард, Введение в неориманову теорию: обзор и историческая перспектива , Журнал теории музыки, (1998) 42 (2), стр. 167–80.
Лердал, Фред (2001). Тональное пространство , стр. 42–43. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-505834-8 .
Любин, Стивен, 1974, Методы анализа развития в средний период Бетховена , докторская диссертация, Нью-Йоркский университет, 1974.

Внешние ссылки