Двойной однородный многогранник
Двойственный однородный многогранник — это двойственный однородный многогранник . Если однородный многогранник является вершинно-транзитивным , то двойственный однородный многогранник является гране-транзитивным .
Перечисление
[ редактировать ]Гране-транзитивные многогранники включают набор из 9 правильных многогранников, два конечных набора, состоящих из 66 неправильных многогранников, и два бесконечных набора:
- 5 правильных выпуклых платоновых тел : правильный тетраэдр , куб , правильный октаэдр , правильный додекаэдр и правильный икосаэдр . Правильный октаэдр двойственен кубу, а правильный икосаэдр двойственен правильному икосаэдру. Правильный тетраэдр самодуален , то есть его двойником является сам правильный тетраэдр. [ 1 ]
- Четыре правильных звездных тела Кеплера-Пуансо : большой додекаэдр , малый звездчатый додекаэдр , большой икосаэдр и большой звездчатый додекаэдр . Большой додекаэдр двойственен малому звездчатому додекаэдру, а большой икосаэдр двойственен большому звездчатому додекаэдру.
- 13 выпуклых каталонских тел , двойственных однородным выпуклым архимедовым телам .
- 53 звездчатых многогранника, двойственных однородным звездчатым многогранникам .
- Бесконечная серия бипирамид , двойственных однородным призмам , как выпуклым, так и звездчатым.
- Бесконечный ряд трапецоэдров , двойственных однородным антипризмам , как выпуклым, так и звездчатым.
Полный набор описан Веннингером вместе с инструкциями по построению моделей в его книге «Двойные модели» .
Строительство Дормана Люка
[ редактировать ]
Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана-Люка . [ 2 ] Строительство Дормана Люка происходит следующим образом:
- Отметьте точки A , B , C , D каждого ребра, соединенного с вершиной V (в данном случае середины), такие, что VA = VB = VC = VD .
- Нарисуйте фигуру вершины ABCD .
- Нарисуйте описанную окружность ABCD .
- Нарисуйте линии, касательные к описанной окружности в каждом A , B , C , D. углу
- Отметьте точки E , F , G , H , где пересекаются каждые две соседние касательные.
Сегменты линий EF , FG , GH , HE уже нарисованы как части касательных линий. Многоугольник EFGH — это грань двойственного многогранника, соответствующая исходной V. вершине
В этом примере размер вершинной фигуры был выбран так, чтобы ее описанная окружность лежала на интерсфере кубооктаэдра, которая также становится интерсферой двойственного ромбододекаэдра. Конструкцию Дормана Люка можно использовать только тогда, когда многогранник имеет такую интерсферу, что вершинная фигура имеет описанную окружность. Например, его можно применить к однородным многогранникам .
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Херрманн и Салли (2013) , с. 257 .
- ^
- Канди и Роллетт (1961) , с. 117
- Веннингер (1983) , с. 30
Ссылки
[ редактировать ]- Канди, Х. Мартин ; Роллетт, AP (1961), Математические модели (2-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, MR 0124167 .
- Гайлюнас, П.; Шарп, Дж. (2005), «Двойственность многогранников», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080/00207390500064049 , S2CID 120818796 .
- Херрманн, Дайан Л.; Салли, Пол Дж. (2013). Число, форма и симметрия: введение в теорию чисел, геометрию и теорию групп . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4665-5464-1 .
- Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-09859-9 .
- Веннингер, Магнус (1983). Двойные модели . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-54325-8 .