Число Бет

В математике , особенно в теории множеств , числа Бет представляют собой определенную последовательность бесконечных кардинальных чисел (также известных как трансфинитные числа ), условно записываемую $\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots$ , где $\beth$ это еврейская буква Бет . Числа Бет связаны с числами Алеф ( $\aleph _{0},\aleph _{1},\dots$ ), но если обобщенная гипотеза континуума не верна, существуют числа, индексированные $\aleph$ которые не индексируются $\beth$ .

Определение

Числа Бет определяются трансфинитной рекурсией :

$\beth _{0}=\aleph _{0},$
$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }},$
$\beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}},$

где $\alpha$ является порядковым номером и $\lambda$ является предельным ординалом . ^[1]

Кардинал $\beth _{0}=\aleph _{0}$ - мощность любого счетно бесконечного множества, такого как множество $\mathbb {N}$ натуральных чисел , так что $\beth _{0}=|\mathbb {N} |$ .

Позволять $\alpha$ быть ординалом , и $A_{\alpha }$ быть множеством с мощностью $\beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|$ . Затем,

${\mathcal {P}}(A_{\alpha })$ обозначает мощности набор $A_{\alpha }$ (т.е. совокупность всех подмножеств $A_{\alpha }$ ),

набор $2^{A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}(A_{\alpha }\times 2)$ обозначает множество всех функций из $A_{\alpha }$ к $\{0,1\}$ ,

кардинал $2^{\beth _{\alpha }}$ является результатом кардинального возведения в степень , и

$\beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}=\left|2^{A_{\alpha }}\right|=|{\mathcal {P}}(A_{\alpha })|$ – мощность набора мощности $A_{\alpha }$ .

Учитывая это определение,

\beth _{0},\beth _{1},\beth _{2},\beth _{3},\dots

соответственно мощности

\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots

чтобы второе число ставки $\beth _{1}$ равно ${\mathfrak {c}}$ , мощность континуума (мощность множества действительных чисел ) и третье число Бет $\beth _{2}$ — мощность множества мощностей континуума.

По теореме Кантора каждое множество в предыдущей последовательности имеет мощность строго большую, чем предыдущее. Для бесконечных предельных ординалов $\lambda$ , соответствующее число бета определяется как верхняя грань чисел бета для всех порядковых номеров, строго меньших, чем $\lambda$ :

\beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}.

Можно показать, что это определение эквивалентно

\beth _{\lambda }=|\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|.

Например:

$\beth _{\omega }$ это мощность $\bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots {\Bigr \}}$ .
$\beth _{2\omega }$ это мощность $\bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }})),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }}))),\dots {\Bigr \}}$ .
$\beth _{\omega ^{2}}$ это мощность $\bigcup {\Bigl \{}\mathbb {N} ,{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} )),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))),\dots ,{A_{\omega }},{\mathcal {P}}({A_{\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{\omega }})),\dots ,{A_{2\omega }},{\mathcal {P}}({A_{2\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{2\omega }})),\dots ,$ ${A_{3\omega }},{\mathcal {P}}({A_{3\omega }}),{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}({A_{3\omega }})),\dots ,\dots {\Bigr \}}$ .

Эту эквивалентность можно показать, увидев, что:

для любого набора $\mathbb {S}$ , объединенное множество всех его членов не может быть больше, чем верхняя граница мощности его членов, умноженная на ее собственную мощность, $|\bigcup \mathbb {S} |\leq {\Bigl (}|\mathbb {S} |\times \sup {\Bigl \{}|s|:s\in \mathbb {S} {\Bigr \}}{\Bigr )}$
для любых двух ненулевых мощностей $\kappa _{a},\kappa _{b}$ , если хотя бы один из них имеет бесконечную мощность, то произведение будет большим из двух, $\kappa _{a}\times \kappa _{b}=\max\{\kappa _{a},\kappa _{b}\}$
набор ${\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}$ будет меньше, чем большинство или все его подмножества для любого предельного порядкового номера $\lambda$
поэтому, $|\bigcup {\Bigl \{}A_{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}|=\sup {\Bigl \{}\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda {\Bigr \}}$ для любого предельного порядкового номера $\lambda$

Обратите внимание, что это поведение отличается от поведения последующих порядковых номеров. Мощность меньше $\beth _{\beta }$ но больше, чем любой $\beth _{\alpha }:\alpha <\beta$ может существовать, когда $\beta$ является порядковым номером-преемником (в этом случае существование неразрешимо в ZFC и контролируется гипотезой обобщенного континуума ); но не может существовать, когда $\beta$ является предельным порядковым номером даже согласно второму представленному определению.

Можно также показать, что вселенные фон Неймана $V_{\omega +\alpha }$ иметь мощность $\beth _{\alpha }$ .

Связь с числами алефа

Предполагая аксиому выбора , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть несопоставимы. Таким образом, поскольку по определению между $\aleph _{0}$ и $\aleph _{1}$ , отсюда следует, что

\beth _{1}\geq \aleph _{1}.

Повторение этого аргумента (см. трансфинитную индукцию ) дает $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$ для всех порядковых номеров $\alpha$ .

Гипотеза континуума эквивалентна

\beth _{1}=\aleph _{1}.

Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что определенная таким образом последовательность чисел Бет такая же, как последовательность чисел алеф , т. е. $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ для всех порядковых номеров $\alpha$ .

Конкретные кардиналы

Бет ноль

Поскольку это определено как $\aleph _{0}$ , или aleph null , наборы с мощностью $\beth _{0}$ включать:

натуральные числа $\mathbb {N}$
рациональные числа $\mathbb {Q}$
алгебраические числа ${\mathcal {A}}$
и вычислимые числа вычислимые множества
множество наборов целых конечных , рациональных или алгебраических чисел
множество конечных мультимножеств целых чисел
множество конечных последовательностей целых чисел .

Бет один

Наборы с мощностью $\beth _{1}$ включать:

трансцендентные числа
иррациональные числа
настоящие цифры $\mathbb {R}$
комплексные числа $\mathbb {C}$
невычислимые действительные числа
Евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$
набор степеней натуральных чисел $2^{\mathbb {N} }$ (множество всех подмножеств натуральных чисел)
набор последовательностей целых чисел (т. е. $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ , который включает в себя все функции из $\mathbb {N}$ к $\mathbb {Z}$ )
набор последовательностей действительных чисел, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$
множество всех действительных аналитических функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$
множество всех непрерывных функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$
набор всех функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ с не более чем счетными разрывами ^[2]
множество конечных подмножеств действительных чисел
множество всех аналитических функций из $\mathbb {C}$ к $\mathbb {C}$ ( голоморфные функции)
совокупность всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел ( $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }$ ).

Бет два

$\beth _{2}$ (произносится как «бет два» ) также называют $2^{\mathfrak {c}}$ (произносится два в степени ${\mathfrak {c}}$ ).

Наборы с мощностью $\beth _{2}$ включать:

набор мощности набора действительных чисел , то есть это количество подмножеств действительной линии или количество наборов действительных чисел.
набор степеней множества натуральных чисел
набор всех функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ ( $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ )
набор всех функций из $\mathbb {R} ^{m}$ к $\mathbb {R} ^{n}$
набор всех функций из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {R}$ с бесчисленным множеством разрывов ^[2]
степенное множество всех функций от множества натуральных чисел до самого себя, или количество наборов последовательностей натуральных чисел
Стоуна -Чеха компактификации $\mathbb {R}$ , $\mathbb {Q}$ , и $\mathbb {N}$
множество детерминированных фракталов в $\mathbb {R} ^{n}$ ^[3]
множество случайных фракталов в $\mathbb {R} ^{n}$ . ^[4]

Бет омега

$\beth _{\omega }$ (произносится как «бет омега» ) — наименьший неисчисляемый кардинал сильного предела .

Обобщение

Более общий символ $\beth _{\alpha }(\kappa )$ , для порядковых номеров $\alpha$ и кардиналы $\kappa$ , иногда используется. Это определяется:

\beth _{0}(\kappa )=\kappa ,

\beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

если λ — предельный ординал.

Так

\beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).

В теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) для любых кардиналов $\kappa$ и $\mu$ , есть порядковый номер $\alpha$ такой, что:

\kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).

А в ZF для любого кардинала $\kappa$ и порядковые номера $\alpha$ и $\beta$ :

\beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).

Следовательно, в ZF отсутствуют ур-элементы с аксиомой выбора или без нее для любых кардиналов. $\kappa$ и $\mu$ , равенство

\beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )

справедливо для всех достаточно больших ординалов $\beta$ . То есть существует порядковый номер $\alpha$ такая, что равенство справедливо для любого порядкового номера $\beta \geq \alpha$ .

Это также справедливо в теории множеств Цермело–Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют набор, равноценный чистому множеству (множеству, транзитивное замыкание которого не содержит ur-элементов ). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.

Борелевская определенность

Определенность по Борелю подразумевается существованием всех ставок счетного индекса. ^[5]

См. также

Ссылки

^ Я, Томас (2002). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер. стр. 55. ИСБН 978-3-540-44085-7 . Изд. Миллениума, ред. и расширился. Исправленное 4-е издание 2006 г.
^ Jump up to: ^а ^б Солтанифар, Мохсен (2023). «Классификация элементов функционального пространства F(R,R)» . Математика . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . дои : 10.3390/math11173715 .
^ Солтанифар, Мохсен (2021). «Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов» . Математика . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . дои : 10.3390/math9131546 .
^ Солтанифар, Мохсен (2022). «Второе обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для случайных фракталов» . Математика . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .
^ Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Определенность Бореля не требует замены» . Кафе «Н-Категория» . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 г.

Библиография

Т. Э. Форстер , Теория множеств с универсальным множеством: исследование нетипизированной Вселенной , Oxford University Press , 1995 — Число Бет определено на странице 5.
Белл, Джон Лейн ; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Дуврские публикации . ISBN 0-486-44979-3 . Номера ставок см. на стр. 6 и 204–205.
Ройтман, Джудит (2011). Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3 . См. стр. 109, где указаны номера ставок.

[1] Я, Томас (2002). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер. стр. 55. ИСБН 978-3-540-44085-7 . Изд. Миллениума, ред. и расширился. Исправленное 4-е издание 2006 г.

[:3-2] Jump up to: ^а ^б Солтанифар, Мохсен (2023). «Классификация элементов функционального пространства F(R,R)» . Математика . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . дои : 10.3390/math11173715 .

[:4-3] Солтанифар, Мохсен (2021). «Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов» . Математика . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . дои : 10.3390/math9131546 .

[:5-4] Солтанифар, Мохсен (2022). «Второе обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для случайных фракталов» . Математика . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .

[5] Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Определенность Бореля не требует замены» . Кафе «Н-Категория» . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]