Подгруппа омега и агемо

«Агемо» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о божестве йоруба, см. Агемо (божество) .

В математике , или, точнее, в теории групп , омега и агемо подгруппы описывают так называемую «степенную структуру» конечной p - группы . Они были введены в ( Холл, 1933 ), где использовались для описания класса конечных p -групп, структура которых достаточно подобна структуре конечных абелевых p -групп, так называемых регулярных p-групп . Отношения между структурой мощности и коммутатора составляют центральную тему в современном изучении p -групп, примером чего являются работы по равномерно мощным p-группам .

Слово «агемо» — это просто слово «омега», написанное задом наперед, а подгруппа агемо обозначается перевернутой омегой (℧).

Определение

Омега-подгруппы — это серии подгрупп конечной p-группы G , индексированные натуральными числами:

$\Omega _{i}(G)=\langle \{g:g^{p^{i}}=1\}\rangle .$

Подгруппы агемо представляют собой серию подгрупп:

$\mho ^{i}(G)=\langle \{g^{p^{i}}:g\in G\}\rangle .$

Когда i = 1 и p нечетно, то i обычно опускается в определении. Когда p четное, опущенный i может означать либо i = 1, либо i = 2 в зависимости от местного соглашения. В этой статье мы используем соглашение, согласно которому опущенный i всегда указывает на i = 1.

Примеры

Группа диэдра порядка 8 , G , удовлетворяет: ℧( G ) = Z( G ) = [ G , G ] = Φ( G ) = Soc( G ) — единственная нормальная подгруппа порядка 2, обычно реализуемая как подгруппа содержащий идентичность и поворот на 180°. Однако Ω( G ) = G — вся группа, поскольку G порождается отражениями. Это показывает, что Ω( G ) не обязательно должен быть набором элементов порядка p .

Группа кватернионов порядка 8 , H , удовлетворяет условию Ω( H ) = ℧( H ) = Z( H ) = [ H , H ] = Φ( H ) = Soc( H ) является единственной подгруппой порядка 2, нормально реализуемой как подгруппа, содержащая только 1 и −1.

Силовская ​ p -подгруппа P ​ симметричной группы на p ² точек является сплетением двух циклических групп простого порядка. Когда p = 2, это просто группа диэдра порядка 8. Она также удовлетворяет условию Ω( P ) = P . Опять же, ℧( P ) = Z( P ) = Soc( P ) циклический порядка p , но [ P , P ] = Φ( G ) элементарный абелев порядка p ^{р -1} .

Полупрямое произведение циклической группы порядка 4, действующей нетривиально на циклическую группу порядка 4,

$K=\langle a,b:a^{4}=b^{4}=1,ba=ab^{3}\rangle ,$

имеет ℧( K ) элементарный абелиан порядка 4, но набор квадратов просто { 1, aa , bb }. Здесь элемент aabb из ℧( K ) не является квадратом, что показывает, что ℧ — это не просто набор квадратов.

Характеристики

Пусть в этом разделе G — конечная p -группа порядка | г | = п ^н и показатель exp( G ) = p ^к . Тогда семейства омега и агемо обладают рядом полезных свойств.

Общие свойства

• И Ω _i ( G ), и ℧ ^я ( G ) являются характеристическими подгруппами группы G для всех натуральных чисел т.е. ,
• Подгруппы омега и агемо образуют две нормальные серии :

Г = ℧ ⁰ ( г ) ≥ ℧ ¹ ( г ) ≥ ℧ ² ( г ) ≥ ... ≥ ℧ ^{к -2} ( г ) ≥ ℧ ^{к -1} ( г ) > ℧ ^к ( г ) знак равно 1

г знак равно Ω _k ( г ) ≥ Ω _{k -1} ( г ) ≥ Ω _{k -2} ( г ) ≥ ... ≥ Ω ₂ ( г ) ≥ Ω ₁ ( г ) > Ω ₀ ( г ) знак равно 1

и ряды слабо переплетены: для всех i от 1 до k :

℧ ^я ( G ) ≤ Ω _{k - я} ( G ), но

℧ ^{я -1} ( G ) не содержится в Ω _{k - я} ( G ).

Поведение при факторах и подгруппах

Если H ⩽ G — подгруппа группы G и N ⊲ G — нормальная подгруппа группы G , то:

• ℧ ^я ( ЧАС ) ≤ ЧАС ∩ ℧ ^я ( Г )
• ℧ ^я ( Н ) ⊲ Г
• Ω _я ( N ) ⊲ G
• ℧ ^я ( г / N ) знак равно ℧ ^я ( Г ) Н / Н
• Ω _я ( г / N ) ≥ Ω _я ( г ) N / N

Отношение к другим важным подгруппам

• Soc( G ) = Ω(Z( G )), подгруппа, состоящая из центральных элементов порядка p, является цоколем Soc( G ) группы G
• Φ ( G ) = ℧( G )[ G , G ], подгруппа, порожденная всеми p -ми степенями и коммутаторами, является подгруппой Фраттини Φ( G ) группы G .

Отношения в специальных классах групп

• В абелевой p- группе или, в более общем смысле, в регулярной p -группе:

|℧ ^я ( г )|⋅|Ω _я ( г )| = | г |

[℧ ^я ( Г ):℧ ^{я +1} ( G )] = [Ω _i ( G ): Ω _{i +1} ( G )],

где | Ч | — порядок H ] = и [ H : K | Ч |/| К | обозначает индекс подгруппы K ≤ H .

Приложения

Первым применением подгрупп омега и агемо было проведение аналогии регулярных р -групп с абелевыми р -группами в ( Холл, 1933 ).

Группы, в которых Ω( G ) ≤ Z( G ), изучались Джоном Г. Томпсоном и получили еще несколько недавних приложений.

Двойственное понятие, группы с [ G , G ] ≤ ℧( G ), называются мощными p-группами и были введены Авиноамом Манном . Эти группы сыграли решающую роль в доказательстве гипотез о коклассах , которые открыли важный путь к пониманию структуры и классификации конечных p -групп.

Ссылки

• Диксон, доктор медицинских наук; дю Сотуа, MPF ; Манн, А.; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы , Cambridge University Press , ISBN  0-521-39580-1 , МР   1152800
• Холл, Филип (1933), «Вклад в теорию групп простого порядка», Труды Лондонского математического общества , 36 : 29–95, doi : 10.1112/plms/s2-36.1.29
• Лидхэм-Грин, Чехия ; Маккей, Сьюзен (2002), Структура групп простого степенного порядка , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 27, Издательство Оксфордского университета , ISBN  978-0-19-853548-5 , г-н   1918951
• Маккей, Сьюзен (2000), Конечные p-группы , Математические заметки королевы Марии, том. 18 лет, Лондонский университет, ISBN  978-0-902480-17-9 , МР   1802994