Закон смещения Вина

Не путать с Венским законом распределения .

Излучение черного тела как функция длины волны для различных температур. Каждая температурная кривая достигает максимума на разной длине волны, и закон Вина описывает сдвиг этого пика.

Существует множество способов связать характерную длину волны или частоту со спектром излучения черного тела Планка. Каждый из этих показателей одинаково масштабируется в зависимости от температуры — принцип, называемый законом смещения Вина. Для разных версий закона константа пропорциональности различается, поэтому для данной температуры не существует уникальной характеристической длины волны или частоты.

В физике гласит закон смещения Вина , что кривая излучения черного тела для разных температур будет иметь максимум на разных длинах волн , которые обратно пропорциональны температуре. Сдвиг этого пика является прямым следствием закона излучения Планка , который описывает спектральную яркость или интенсивность излучения черного тела как функцию длины волны при любой заданной температуре. Однако оно было открыто немецким физиком Вильгельмом Вином за несколько лет до того, как Макс Планк разработал это более общее уравнение и описывает весь сдвиг спектра излучения черного тела в сторону более коротких волн при повышении температуры.

Формально версия закона смещения Вина для длины волны утверждает, что спектральная яркость излучения черного тела на единицу длины волны достигает максимума на длине волны $\lambda _{\text{peak}}$ предоставлено: $$\lambda _{\text{peak}}={\frac {b}{T}}$$где Т — абсолютная температура , а b — константа пропорциональности, называемая константой смещения Вина , равная 2,897 771 955 ... × 10. ⁻³  m⋅K , ‍ или b ≈ 2898 мкм ⋅К .

Это обратная зависимость между длиной волны и температурой. Таким образом, чем выше температура, тем короче или меньше длина волны теплового излучения. Чем ниже температура, тем длиннее или больше длина волны теплового излучения. Что касается видимого излучения, горячие объекты излучают более синий свет, чем холодные объекты. Если рассматривать пик излучения черного тела на единицу частоты или на пропорциональную полосу пропускания, необходимо использовать другую константу пропорциональности. Однако форма закона остается прежней: пиковая длина волны обратно пропорциональна температуре, а пиковая частота прямо пропорциональна температуре.

Существуют и другие формулировки закона смещения Вина, параметризованные относительно других величин. Для этих альтернативных формулировок форма зависимости аналогична, но константа пропорциональности b отличается.

Закон смещения Вина можно назвать «законом Вина», этот термин также используется для аппроксимации Вина .

В «законе смещения Вина» слово «смещение» относится к тому, как графики зависимости интенсивности от длины волны кажутся смещенными (смещенными) для разных температур.

Примеры

Кузнецы работают с железом , когда оно достаточно горячее, чтобы испускать явно видимое тепловое излучение .

Согласно закону Вина, цвет звезды определяется ее температурой. В созвездии Ориона можно сравнить Бетельгейзе ( Т ≈ 3300 К, вверху слева), Ригель ( Т = 12 100 К, внизу справа), Беллатрису ( Т = 22 000 К, вверху справа) и Минтаку ( Т = 31 800 К, крайняя правая из трех «звезд пояса» посередине).

Закон смещения Вина применим к некоторым повседневным ситуациям:

• Кусок металла, нагретый паяльной лампой, сначала становится «раскаленным докрасна», поскольку самые длинные видимые волны кажутся красными, затем становится более оранжево-красным по мере повышения температуры, а при очень высоких температурах его можно охарактеризовать как «раскаленный добела», поскольку В спектре излучения черного тела преобладают все более короткие длины волн. Еще до того, как он достиг раскаленной температуры, тепловое излучение происходило в основном в более длинных инфракрасных волнах, которые невидимы; тем не менее, это излучение можно ощутить, когда оно согревает близлежащую кожу.
• Легко наблюдать изменения цвета лампы накаливания (которая излучает свет за счет теплового излучения), когда температура ее нити изменяется с помощью диммера . Когда свет тускнеет и температура нити накаливания снижается, распределение цвета смещается в сторону более длинных волн, и свет кажется не только более тусклым, но и красным.
• Лесной пожар при температуре 1500 К дает пиковое излучение с длиной волны около 2000 нанометров. 98% его излучения приходится на длины волн более 1000 нм, и лишь небольшая часть — на видимые длины волн (390–700 нанометров). Следовательно, костер может согреть человека, но является плохим источником видимого света.
• Эффективная температура Солнца составляет 5778 Кельвинов. Используя закон Вина, можно обнаружить пик излучения на нанометр (длины волны) при длине волны около 500 нм, в зеленой части спектра вблизи пиковой чувствительности человеческого глаза. С другой стороны, с точки зрения мощности на единицу оптической частоты, пик излучения Солнца приходится на частоту 343 ТГц или длину волны 883 нм в ближнем инфракрасном диапазоне. Что касается мощности на процент полосы пропускания, пик приходится примерно на 635 нм, красную длину волны. Около половины солнечного излучения имеет длину волны короче 710 нм, что примерно соответствует пределу человеческого зрения. Из них около 12% приходится на длины волн короче 400 нм, ультрафиолетовые длины волн, невидимые невооруженным человеческим глазом. Большое количество солнечного излучения попадает в довольно узкий видимый спектр .
• Однако преобладание излучения в видимом диапазоне не наблюдается у большинства звезд . Горячий сверхгигант Ригель излучает 60% своего света в ультрафиолетовом диапазоне, а холодный сверхгигант Бетельгейзе излучает 85% своего света в инфракрасном диапазоне. Поскольку обе звезды хорошо заметны в созвездии Ориона , можно легко оценить разницу в цвете между сине-белым Ригелем ( Т = 12100 К) и красной Бетельгейзе ( Т ≈ 3300 К). Хотя немногие звезды столь же горячие, как Ригель, звезды, более холодные, чем Солнце, или даже такие холодные, как Бетельгейзе, являются обычным явлением.
• Млекопитающие с температурой кожи около 300 К излучают пиковое излучение на длине волны около 10 мкм в дальнем инфракрасном диапазоне. Таким образом, именно этот диапазон инфракрасных волн должны улавливать змеи -гадюки и пассивные ИК-камеры .
• При сравнении видимого цвета источников освещения (включая люминесцентные лампы , светодиодное освещение , компьютерные мониторы и фотовспышки ) принято указывать цветовую температуру . Хотя спектры таких огней неточно описываются кривой излучения черного тела, цветовая температура ( коррелированная цветовая температура указывается ), при которой излучение черного тела наиболее точно соответствует субъективному цвету этого источника. Например, сине-белая флуоресцентная лампа, иногда используемая в офисе, может иметь цветовую температуру 6500 К, тогда как красноватый оттенок приглушенной лампы накаливания может иметь цветовую температуру (и фактическую температуру нити накала) 2000 К. Обратите внимание, что неофициальное описание первого (голубоватого) цвета как «холодного», а второго (красноватого) как «теплого» прямо противоположно фактическому изменению температуры, связанному с излучением черного тела.

Открытие

Закон назван в честь Вильгельма Вина , который вывел его в 1893 году на основе термодинамического аргумента. Вин рассматривал адиабатическое расширение полости, содержащей световые волны, находящиеся в тепловом равновесии. Используя принцип Доплера , он показал, что при медленном расширении или сжатии энергия света, отражающегося от стенок, меняется точно так же, как и частота. Общий принцип термодинамики заключается в том, что состояние теплового равновесия при очень медленном расширении остается в тепловом равновесии.

Сам Вин теоретически вывел этот закон в 1893 году, следуя термодинамическим рассуждениям Больцмана. Ранее его наблюдал, по крайней мере полуколичественно, американский астроном Лэнгли . Этот сдвиг вверх $\nu _{\mathrm {peak} }$ с $T$ известно каждому — когда железо нагревается в огне, первое видимое излучение (около 900 К) — темно-красное, видимый свет самой низкой частоты. Дальнейшее увеличение $T$ вызывает изменение цвета на оранжевый, затем на желтый и, наконец, на синий при очень высоких температурах (10 000 К и более), при которых пик интенсивности излучения перемещается за пределы видимого диапазона в ультрафиолет.

Адиабатический принцип позволил Вину прийти к выводу, что для каждой моды адиабатический инвариант энергия/частота является только функцией другого адиабатического инварианта, частоты/температуры. Отсюда он вывел «сильную версию» закона смещения Вина: утверждение, что спектральная яркость черного тела пропорциональна $\nu ^{3}F(\nu /T)$ для некоторой функции F одной переменной. Современный вариант вывода Вина можно найти в учебнике Ванье. и в статье Э. Бэкингема

Следствием этого является то, что форма функции излучения черного тела (которая еще не была понята) будет смещаться пропорционально частоте (или обратно пропорционально длине волны) с температурой. Когда Макс Планк позже сформулировал правильную функцию излучения черного тела, она явно не включала постоянную Вина. $b$. Скорее, постоянная Планка $h$ была создана и введена в его новую формулу. Из постоянной Планка $h$ и постоянная Больцмана $k$, постоянная Вина $b$ можно получить.

Пик различается в зависимости от параметризации

Константы для различных параметризаций закона Вина

Параметризовано	х $_{\mathrm {peak} }$	б (мкм⋅К)
Длина волны, $\lambda$	4.965 114 231 744 276 303 ...	2898
$\log \lambda$ или $\log \nu$	3.920 690 394 872 886 343 ...	3670
Частота, $\nu$	2.821 439 372 122 078 893 ...	5099

Другие характеристики спектра

Параметризовано	х	б (мкм⋅К)
Средняя энергия фотонов	2.701...	5327
10% процентиль	6.553...	2195
25% процентиль	4.965...	2898
50% процентиль	3.503...	4107
70% процентиль	2.574...	5590
90% процентиль	1.534...	9376

Результаты в таблицах выше суммируют результаты из других разделов этой статьи. Процентили — это процентили спектра черного тела Планка. Только 25 процентов энергии в спектре черного тела связано с длинами волн короче значения, определяемого версией закона Вина для пиковой длины волны.

Спектр черного тела Планка, параметризованный длиной волны, дробной шириной полосы (логарифм длины волны или логарифм частоты) и частотой для температуры 6000 К.

Обратите внимание, что для данной температуры разные параметризации подразумевают разные максимальные длины волн. В частности, пик интенсивности на единицу частоты приходится на длину волны, отличную от кривой интенсивности на единицу длины волны.

Например, используя $T$ = 6000 К (5730 °C; 10340 °F) и параметризация по длине волны, длина волны для максимального спектрального излучения равна $\lambda$ = 482,962 нм с соответствующей частотой $\nu$ = 620,737 ТГц . Для той же температуры, но с параметризацией по частоте, частота максимального спектрального излучения равна $\nu$ = 352,735 ТГц с соответствующей длиной волны $\lambda$ = 849,907 нм .

Эти функции представляют собой излучения функции плотности , которые представляют собой вероятности, плотности функции масштабированные для определения единиц измерения излучения. Функция плотности имеет разную форму для разных параметризаций, в зависимости от относительного растяжения или сжатия абсциссы, которая измеряет изменение плотности вероятности относительно линейного изменения данного параметра. Поскольку длина волны и частота имеют обратную связь, они представляют собой существенно нелинейные сдвиги плотности вероятности относительно друг друга.

Общая яркость представляет собой интеграл распределения по всем положительным значениям и является инвариантным для данной температуры при любой параметризации. Кроме того, для данной температуры излучение, состоящее из всех фотонов между двумя длинами волн, должно быть одинаковым независимо от того, какое распределение вы используете. То есть, интегрирование распределения длин волн от $\lambda _{1}$ к $\lambda _{2}$ приведет к тому же значению, что и интегрирование распределения частот между двумя частотами, которые соответствуют $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$, а именно из $c/\lambda _{2}$ к $c/\lambda _{1}$. Однако форма распределения зависит от параметризации, и для другой параметризации распределение обычно будет иметь другую пиковую плотность, как показывают эти расчеты.

Однако важным моментом закона Вина является то, что любой такой маркер длины волны, включая медианную длину волны (или, альтернативно, длину волны, ниже которой возникает любой указанный процент излучения), пропорционален обратной величине температуры. То есть форма распределения для заданной параметризации масштабируется в зависимости от температуры и преобразуется в зависимости от температуры и может быть рассчитана один раз для канонической температуры, а затем соответствующим образом сдвинута и масштабирована для получения распределения для другой температуры. Это является следствием строгости закона Вина.

Частотно-зависимая формулировка

Для спектрального потока, рассматриваемого на единицу частоты $d\nu$ (в герцах ) закон смещения Вина описывает пиковое излучение на оптической частоте $\nu _{\text{peak}}$ предоставлено: $$\nu _{\text{peak}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T$$или эквивалентно $$h\nu _{\text{peak}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T$$где $x$ = 2.821 439 372 122 078 893 ... — константа, полученная из уравнения максимизации, k — постоянная Больцмана , h — постоянная Планка , а T — абсолютная температура. Теперь, когда излучение считается на единицу частоты, этот пик теперь соответствует длине волны примерно на 76% длиннее, чем пик, рассматриваемый на единицу длины волны. Соответствующая математика подробно описана в следующем разделе.

Вывод из закона Планка

Параметризация по длине волны

Закон Планка для спектра излучения черного тела предсказывает закон смещения Вина и может использоваться для численной оценки константы, связывающей температуру и значение пикового параметра для любой конкретной параметризации. Обычно используется параметризация длины волны, и в этом случае спектральная яркость черного тела (мощность на излучающую площадь на телесный угол) равна: $$u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.$$

Дифференциация $u(\lambda ,T)$ относительно $\lambda$ и установка производной равной нулю дает: $${\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,$$что можно упростить, чтобы дать: $${hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.$$

Определив: $$x\equiv {hc \over \lambda kT},$$уравнение становится единым с единственной переменной x : $${xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.$$что эквивалентно: $$x=5(1-e^{-x})\,.$$

Это уравнение решается $$x=5+W_{0}(-5e^{-5})$$где $W_{0}$ является главной ветвью Ламберта W функции и дает $x=$ 4.965 114 231 744 276 303 ... . Решение для длины волны $\lambda$ в миллиметрах, а использование температуры в Кельвинах дает:

$\lambda _{\mathrm {peak} }=hc/xkT=\;$( 2.897 771 955 185 172 661 ... mm⋅K ) $/T$.

Параметризация по частоте

Другая распространенная параметризация — по частоте . Вывод, дающий значение пикового параметра, аналогичен, но начинается с формы закона Планка как функции частоты. $\nu$: $$u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.$$

Предыдущий процесс с использованием этого уравнения дает: $$-{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.$$Чистый результат: $$x=3(1-e^{-x})\,.$$Аналогично это решается с помощью функции Ламберта W : $$x=3+W_{0}(-3e^{-3})$$предоставление $x$ = 2.821 439 372 122 078 893 ... .

Решение для $\nu$ производит:

$\nu _{\mathrm {peak} }=xkT/h=$ ( 0.058 789 257 576 468 249 46 ... THz⋅K ⁻¹ ) $\cdot T$.

Параметризация логарифмом длины волны или частоты

Используя неявное уравнение $x=4(1-e^{-x})$ дает пик функции плотности спектральной яркости, выраженный в параметре яркости на пропорциональную полосу пропускания . (То есть плотность излучения на полосу частот, пропорциональная самой частоте, которую можно рассчитать, рассматривая бесконечно малые интервалы $\ln \nu$ (или эквивалентно $\ln \lambda$), а не самой частоты.) Возможно, это более интуитивный способ представления «длины волны пикового излучения». Это дает $x$ = 3.920 690 394 872 886 343 ... .

Средняя энергия фотонов как альтернативная характеристика

Другой способ охарактеризовать распределение излучения — через среднюю энергию фотонов. $$\langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T\approx (\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} )\cdot T\;,$$где $\zeta$ — дзета-функция Римана .Длина волны, соответствующая средней энергии фотона, определяется выражением $$\lambda _{\langle E\rangle }\approx (\mathrm {0.532\,65\,cm{\cdot }K} )/T\,.$$

Критика

Марр и Уилкин (2012) утверждают, что широкое преподавание закона смещения Вина на вводных курсах нежелательно и лучше заменить его альтернативным материалом. Они утверждают, что преподавание права проблематично, потому что:

1. кривая Планка слишком широка, чтобы пик можно было выделить или считать значимым;
2. расположение пика зависит от параметризации, и они цитируют несколько источников, которые сходятся во мнении, что «обозначение любого пика функции не имеет смысла и, следовательно, на него следует преуменьшать значение»;
3. закон не используется для определения температур на реальной практике, прямое использование функции Планка . вместо этого используется

Они предлагают представить среднюю энергию фотонов вместо закона смещения Вина, как более физически значимый индикатор изменений, происходящих с изменением температуры. В связи с этим они рекомендуют обсуждать среднее число фотонов в секунду в связи с законом Стефана-Больцмана . Они рекомендуют отображать спектр Планка как «спектральную плотность энергии на дробное распределение полосы пропускания», используя логарифмическую шкалу длины волны или частоты.

См. также

• Венское приближение
• Коэффициент излучения
• Уравнение Сакумы – Хаттори
• Закон Стефана – Больцмана
• Термометр
• Ультрафиолетовая катастрофа

Дальнейшее чтение

• Соффер, Б.Х.; Линч, ДК (1999). «Некоторые парадоксы, ошибки и решения, касающиеся спектральной оптимизации человеческого зрения» . Американский журнал физики . 67 (11): 946–953. Бибкод : 1999AmJPh..67..946S . дои : 10.1119/1.19170 . S2CID   16025855 .
• Хилд, Массачусетс (2003). «Где находится «Пик Вены»?». Американский журнал физики . 71 (12): 1322–1323. Бибкод : 2003AmJPh..71.1322H . дои : 10.1119/1.1604387 .

Внешние ссылки

• Мир физики Эрика Вайсштейна