Теорема о душе
В математике теорема о душе — это теорема римановой геометрии , которая в значительной степени сводит изучение полных многообразий неотрицательной секционной кривизны к изучению компактного случая. Джефф Чигер и Детлеф Громолл доказали эту теорему в 1972 году, обобщив результат Громолля и Вольфганга Мейера, полученный в 1969 году. Связанная с этим гипотеза о душе , сформулированная в то время Чигером и Громоллом, была доказана двадцать лет спустя Григорием Перельманом .
Теорема о душе
[ редактировать ]Чигера и Громолла Теорема о душе гласит: [1]
- Если ( M , g ) — полное связное риманово многообразие с неотрицательной секционной кривизной существует замкнутое выпуклое , вполне геодезическое вложенное подмногообразие которого нормальное расслоение диффеоморфно M. то вполне ,
Такое подмногообразие душой называется ( M , g ) . Благодаря уравнению Гаусса и полной геодезичности индуцированная риманова метрика души автоматически имеет неотрицательную секционную кривизну. Громолл и Мейер ранее изучали случай положительной секционной кривизны, где они показали, что душа задается одной точкой и, следовательно, что M диффеоморфно евклидову пространству . [2]
не определяется однозначно ( M , g ) Очень простые примеры, приведенные ниже, показывают, что душа в целом . Однако Владимир Шарафутдинов построил 1-липшицеву ретракцию от М к любой из его душ, показав тем самым, что любые две души изометричны . Это отображение известно как ретракция Шарафутдинова . [3]
Чигер и Громолл также поставили обратный вопрос о том, существует ли полная риманова метрика неотрицательной секционной кривизны в тотальном пространстве любого векторного расслоения над замкнутыми многообразиями положительной секционной кривизны. [4]
Примеры.
- Как видно из определения, каждое компактное многообразие является собственной душой. По этой причине теорему часто формулируют только для некомпактных многообразий.
- В качестве очень простого примера возьмем M в качестве евклидова пространства R. н . Кривизна сечения всюду равна 0 любая точка М может служить душой М. , и
- Теперь возьмем параболоид M = {( x , y , z ) : z = x 2 + и 2 }, где метрика g представляет собой обычное евклидово расстояние, полученное в результате вложения параболоида в евклидово пространство R 3 . Здесь кривизна сечения всюду положительна, хотя и не постоянна. Начало (0, 0, 0) это душа М. — Не каждая точка x из M является душой M , поскольку в x могут быть геодезические петли , и в этом случае не будет полностью выпуклым. [5]
- Можно также рассмотреть бесконечный цилиндр M = {( x , y , z ) : x 2 + и 2 = 1 }, опять же с индуцированной евклидовой метрикой. Кривизна сечения везде равна 0 . Любой «горизонтальный» круг {( x , y , z ) : x 2 + и 2 = 1 } с фиксированным z является душой M . Негоризонтальные сечения цилиндра не являются душами, поскольку они не являются ни полностью выпуклыми, ни полностью геодезическими. [6]
Гипотеза о душе
[ редактировать ]Как упоминалось выше, Громолл и Мейер доказали, что если g имеет положительную кривизну сечения, то душа является точкой. Чигер и Громолл предположили, что это будет справедливо, даже если g имеет неотрицательную кривизну сечения, при этом положительность требуется только для всех кривизн сечения в одной точке. [7] Эту догадку о душе доказал Григорий Перельман , установивший более весомый факт, что ретракция Шарафутдинова есть риманово погружение и даже субметрия . [8]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Чигер и Эбин 2008 , Глава 8; Петерсен 2016 , Теорема 12.4.1; Сакаи 1996 , Теорема V.3.4.
- ^ Petersen 2016 , p. 462; Sakai 1996 , Corollary V.3.5.
- ^ Чоу и др. 2010 , Теорема I.25.
- ^ Яу 1982 , Задача 6.
- ^ Петерсен 2016 , пример 12.4.4; Сакаи 1996 , с. 217.
- ^ Петерсен 2016 , пример 12.4.3; Сакаи 1996 , с. 217.
- ^ Сакаи 1996 , с. 217; Яу 1982 , Задача 18.
- ^ Петерсен 2016 , с. 469.
Источники.
- Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008). Теоремы сравнения в римановой геометрии (пересмотренное переиздание оригинального издания 1975 года). Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea Publishing . дои : 10.1090/чел/365 . ISBN 978-0-8218-4417-5 . МР 2394158 .
- Чигер, Джефф ; Громолл, Детлеф (1972). «О строении полных многообразий неотрицательной кривизны» . Анналы математики . Вторая серия. 96 (3): 413–443. дои : 10.2307/1970819 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970819 . МР 0309010 .
- Чоу, Беннетт; Чу, Сунь-Чин; Гликенштейн, Дэвид; Гюнтер, Кристина ; Айзенберг, Джеймс ; Айви, Том; Кнопф, Дэн; Лу, Пэн; Ло, Фэн; Ни, Лей (2010). Поток Риччи: методы и приложения. Часть III. Геометрико-аналитические аспекты . Математические обзоры и монографии . Том. 163. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/surv/163 . ISBN 978-0-8218-4661-2 . МР 2604955 .
- Громолл, Детлеф ; Мейер, Вольфганг (1969). «О полных открытых многообразиях положительной кривизны». Анналы математики . Вторая серия. 90 (1): 75–90. дои : 10.2307/1970682 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1970682 . МР 0247590 . S2CID 122543838 .
- Перельман, Григорий (1994). «Доказательство гипотезы души Чигера и Громолла» . Журнал дифференциальной геометрии . 40 (1): 209–212. дои : 10.4310/jdg/1214455292 . ISSN 0022-040X . МР 1285534 . Збл 0818.53056 .
- Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . МР 3469435 . Збл 1417.53001 .
- Сакаи, Такаши (1996). Риманова геометрия . Переводы математических монографий. Том. 149. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . дои : 10.1090/ммоно/149 . ISBN 0-8218-0284-4 . МР 1390760 . Збл 0886.53002 .
- Шарафутдинов В.А. (1979). «Выпуклые множества в многообразии неотрицательной кривизны». Математические заметки . 26 (1): 556–560. дои : 10.1007/BF01140282 . S2CID 119764156 .
- Яу, Шинг Тунг (1982). «Проблемный раздел». В Яу, Шинг-Тунг (ред.). Семинар по дифференциальной геометрии . Анналы математических исследований. Том. 102. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . стр. 669–706. дои : 10.1515/9781400881918-035 . ISBN 9781400881918 . МР 0645762 . Збл 0479.53001 .