Бесконечное множество Дедекинда

«Дедекинд конечный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о термине из теории колец, см. Дедекиндово конечное кольцо .

В математике множество A является дедекинд-бесконечным названным в честь немецкого математика Дедекинда если некоторое собственное подмножество B из A равнозначно ) , A. Рихарда ( Явно это означает, что существует биективная функция из A на некоторое собственное подмножество B из A . Множество является дедекиндово-конечным, если оно не дедекиндово-бесконечно (т. е. такой биекции не существует). Дедекинд-бесконечность, предложенная Дедекиндом в 1888 году, была первым определением «бесконечного», которое не основывалось на определении натуральных чисел .

Простой пример: $\mathbb {N}$, набор натуральных чисел . Согласно парадоксу Галилея , существует биекция, которая отображает каждое натуральное число n в его квадрат n. ² . Поскольку множество квадратов является собственным подмножеством $\mathbb {N}$, $\mathbb {N}$ является дедекинд-бесконечным.

До тех пор, пока основополагающий кризис математики не показал необходимость более тщательного подхода к теории множеств, большинство математиков предполагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно является бесконечным по Дедекинду. В начале двадцатого века теория множеств Цермело-Френкеля , сегодня наиболее часто используемая форма аксиоматической теории множеств , была предложена в качестве аксиоматической системы для формулировки теории множеств, свободной от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Используя аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с первоначально весьма спорной аксиомой выбора включенной ( ZFC ), можно показать, что множество является дедекиндовым конечным тогда и только тогда, когда оно конечно в обычном смысле. Однако существует модель теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора ( ZF ), в которой существует бесконечное дедекиндово конечное множество, что показывает, что аксиомы ZF недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое множество, являющееся дедекиндовым -конечное конечно. существуют определения конечности и бесконечности множеств Помимо определения Дедекинда, , не зависящие от аксиомы выбора.

Смутно связанное с ним понятие — дедекиндово конечное кольцо .

Сравнение с обычным определением бесконечного множества

Это определение « бесконечного множества » следует сравнить с обычным определением: множество А бесконечно , когда его нельзя поставить в взаимно однозначное соответствие с конечным ординалом , а именно с множеством вида {0, 1, 2, ..., n −1} для некоторого натурального числа n - бесконечное множество - это такое, которое буквально «не конечно» в смысле биекции.

Во второй половине XIX века большинство математиков просто предполагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. Однако эту эквивалентность нельзя доказать с помощью аксиом теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора (AC) (обычно обозначаемой « ZF »). Для доказательства эквивалентности не требуется полная сила AC; на самом деле эквивалентность двух определений строго слабее, чем аксиома счетного выбора (CC). (См. ссылки ниже.)

Дедекиндовы бесконечные множества в ZF

Множество A является дедекиндовым, если оно удовлетворяет любому, а затем и всем следующим эквивалентным (над ZF ) условиям:

• оно имеет счетное бесконечное подмножество;
• существует инъективное отображение счетного множества в A ;
• существует функция f : A → A , которая инъективна , но не сюръективна ;
• существует инъективная функция f : N → A , где N обозначает множество всех натуральных чисел ;

оно дуально дедекиндово бесконечно, если:

• существует функция f : A → A , которая сюръективна, но не инъективна;

он слабо дедекиндово бесконечен, если он удовлетворяет любому, а затем и всем следующим эквивалентным (над ZF ) условиям:

• существует сюръективное отображение А на счетное множество;
• набор мощности A является дедекинд-бесконечным;

и оно бесконечно, если:

• для любого натурального числа n не существует биекции из {0, 1, 2, ..., n−1} в A .

Тогда ZF доказывает следующие импликации: дедекиндово-бесконечно ⇒ дуально дедекиндово-бесконечно ⇒ слабо дедекиндово-бесконечно ⇒ бесконечно.

Существуют модели ZF, имеющие бесконечное по Дедекинду множество. Пусть A — такое множество, и пусть B — множество конечных инъективных последовательностей из A . Поскольку A бесконечно, функция «отбросить последний элемент» из B в себя является сюръективной, но не инъективной, поэтому B дуально дедекиндово-бесконечно. Однако, поскольку A является конечным по Дедекинду, то и B тоже (если бы B имело счетное бесконечное подмножество, то, используя тот факт, что элементы B являются инъективными последовательностями, можно было бы указать счетное бесконечное подмножество A ).

Когда множества имеют дополнительные структуры, оба вида бесконечности иногда могут быть доказаны эквивалентными над ZF . Например, ZF доказывает, что вполне упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно бесконечно.

История

Термин назван в честь немецкого математика Рихарда Дедекинда , который первым явно ввел это определение. Примечательно, что это определение было первым определением «бесконечного», которое не опиралось на определение натуральных чисел (если только кто-то не следует Пуанкаре и не считает понятие числа предшествующим даже понятию множества). Хотя такое определение было известно Бернару Больцано , ему не разрешалось публиковать свою работу ни в каких журналах, кроме самых малоизвестных, из-за условий его политической ссылки из Пражского университета в 1819 году. между двумя бесконечными множествами, а не определение бесконечного множества как такового .

Долгое время многие математики даже не допускали мысли о том, что может существовать различие между понятиями бесконечного множества и бесконечного по Дедекинду множества. Фактически, это различие не было по-настоящему осознано до тех пор, пока Эрнст Цермело явно не сформулировал АС. Существование бесконечных дедекиндовых множеств изучалось Бертраном Расселом и Альфредом Нортом Уайтхедом в 1912 году; эти множества сначала назывались промежуточными кардиналами или кардиналами Дедекинда .

С общим признанием аксиомы выбора среди математического сообщества, эти вопросы, связанные с бесконечными и бесконечными по Дедекинду множествами, стали менее важными для большинства математиков. Однако изучение дедекиндово-бесконечных множеств сыграло важную роль в попытке прояснить границу между конечным и бесконечным, а также важную роль в истории АК.

Связь с аксиомой выбора

Поскольку каждое бесконечное хорошо упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду и поскольку AC эквивалентно теореме о хорошем порядке, утверждающей, что каждое множество может быть хорошо упорядоченным, очевидно, что из общего AC следует, что каждое бесконечное множество является бесконечным по Дедекинду. Однако эквивалентность двух определений гораздо слабее полной силы АС.

В частности, существует модель ZF , в которой существует бесконечное множество без счетного бесконечного подмножества. Следовательно, в этой модели существует бесконечное, дедекиндово конечное множество. Ввиду вышесказанного такой набор не может быть упорядочен в данной модели.

Если мы примем аксиому CC (т. е. AC _ω ), то из этого следует, что любое бесконечное множество является дедекиндово-бесконечным. Однако эквивалентность этих двух определений на самом деле строго слабее, чем даже CC. Явно существует модель ZF , в которой каждое бесконечное множество является бесконечным по Дедекинду, но CC не работает (при условии непротиворечивости ZF ).

Доказательство эквивалентности бесконечности в предположении аксиомы счетного выбора.

То, что каждое дедекиндово бесконечное множество бесконечно, можно легко доказать в ZF: каждое конечное множество по определению имеет биекцию с некоторым конечным ординалом n можно доказать, , и индукцией по n что оно не является дедекиндово-бесконечным.

Используя аксиому счетного выбора (обозначение: аксиома CC), можно доказать обратное, а именно, что каждое бесконечное множество X является дедекинд-бесконечным, следующим образом:

Сначала определите функцию над натуральными числами (то есть над конечными ординалами) f : N → Power(Power( X )) чтобы для каждого натурального числа n так , f ( n ) было множеством конечных подмножеств X размера n (т.е. которые имеют биекцию с конечным порядковым номером n ). f ( n ) никогда не бывает пустым, иначе X было бы конечным (что можно доказать индукцией по n ).

Образом f является счетное множество { f ( n ) | n ∈ N }, члены которого сами являются бесконечными (и, возможно, несчетными) множествами. Используя аксиому счетного выбора, мы можем выбрать один член из каждого из этих множеств, и этот член сам по себе является конечным подмножеством X . Точнее, согласно аксиоме счетного выбора, существует (счетное) множество, G = { g ( n ) | n ∈ N }, так что для каждого натурального числа n ) и , g ( n ) является членом f ( n следовательно, является конечным подмножеством X размера n .

Теперь мы определяем U как объединение членов G . U — бесконечное счетное подмножество X биекцию натуральных чисел в U , h : N → U. , и можно легко определить Теперь мы можем определить биекцию B : X → X \ h (0) , которая переводит каждый член, не входящий в U , в себя и переводит h ( n ) для каждого натурального числа в h ( n + 1) . Следовательно, X дедекиндово бесконечно, и мы закончили.

Обобщения

Выражаясь в терминах теории категорий , множество A является дедекиндовым конечным, если в категории множеств каждый мономорфизм f : A → A является изоморфизмом . Регулярное кольцо фон Неймана R обладает аналогичным свойством в категории (левых или правых) R - модулей тогда и только тогда, когда в R из xy = 1 следует yx = 1 . В более общем смысле дедекиндово конечное кольцо — это любое кольцо, удовлетворяющее последнему условию. Помните, что кольцо может быть дедекиндовым, даже если его базовый набор является дедекиндовым, например, целые числа .

Ссылки

• Вера, Карл Клифтон. Математические обзоры и монографии . Том 65. Американское математическое общество. 2-е изд. Книжный магазин АМС, 2004. ISBN   0-8218-3672-2
• Мур, Грегори Х., Аксиома выбора Цермело , Springer-Verlag, 1982 (распродано), ISBN   0-387-90670-3 , в частности стр. 22-30 и таблицы 1 и 2 на стр. 322-323
• Джек, Томас Дж. , Аксиома выбора , Dover Publications, 2008 г., ISBN   0-486-46624-8
• Лам, Цит-Юэн. Первый курс некоммутативных колец . Том 131 текстов для аспирантов по математике . 2-е изд. Спрингер, 2001. ISBN   0-387-95183-0
• Херрлих, Хорст, Аксиома выбора , Springer-Verlag, 2006, Конспекты лекций по математике 1876 г., печатное издание ISSN 0075–8434, электронное издание ISSN: 1617–9692, в частности раздел 4.1.