Вложенный радикал

В алгебре — вложенный радикал это радикальное выражение (содержащее знак квадратного корня, знак кубического корня и т. д.), которое содержит (вкладывает) другое радикальное выражение. Примеры включают в себя

${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},$

который возникает при обсуждении правильного пятиугольника , и более сложных, таких как

${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.$

Денестирование

Некоторые вложенные радикалы можно переписать в невложенной форме. Например,

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,$

{\sqrt {2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {3}},\quad

^{[ 1 ]}

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.$

Еще один простой пример,

${\sqrt[{3}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{6}]{2}}$

Переписывание вложенного радикала таким способом называется удалением . Это не всегда возможно, а даже если и возможно, зачастую сложно.

Два вложенных квадратных корня

В случае двух вложенных квадратных корней следующая теорема полностью решает проблему обратного преобразования. ^{[ 2 ]}

Если $a$ и $c$ — рациональные числа и $c$ не является квадратом рационального числа, то существуют два рациональных числа $x$ и $y$ такие, что ${\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}$ тогда и только тогда, когда $a^{2}-c~$ — квадрат рационального числа $d$ .

Если вложенный радикал вещественный, $x$ и $y$ — два числа. ${\frac {a+d}{2}}~$ и $~{\frac {a-d}{2}}~,~$ где $~d={\sqrt {a^{2}-c}}~$ является рациональным числом.

В частности, если $a$ и $c$ — целые числа, то $2 x$ и $2 y$ — целые числа.

Этот результат включает в себя разложения вида ${\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=z\pm {\sqrt {y}}~,$ поскольку $z$ всегда можно записать $z=\pm {\sqrt {z^{2}}},$ и хотя бы один из членов должен быть положительным (поскольку левая часть уравнения положительна).

Более общая формула выравнивания может иметь вид ${\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {x}}+\gamma {\sqrt {y}}+\delta {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}~.$ Однако теория Галуа подразумевает, что либо левая часть принадлежит $\mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),$ или его необходимо получить, изменив знак либо ${\sqrt {x}},$ ${\sqrt {y}},$ или оба. В первом случае это означает, что можно взять $x = c$ и $\gamma =\delta =0.$ Во втором случае $\alpha$ а другой коэффициент должен быть равен нулю. Если $\beta =0,$ можно переименовать $xy$ в $x,$ чтобы получить $\delta =0.$ Аналогично поступаем, если $\alpha =0,$ получается, что можно предположить $\alpha =\delta =0.$ Это показывает, что, казалось бы, более общее разделение всегда можно свести к приведенному выше.

Доказательство . Возведя в квадрат уравнение ${\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}$ эквивалентно $a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}},$ а в случае минуса в правой части

| х | \geq | и |

,

(квадратные корни неотрицательны по определению обозначений). Поскольку неравенство всегда может быть удовлетворено путем возможной замены $x$ и $y$ , решение первого уравнения относительно $x$ и $y$ эквивалентно решению $a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}.$

Из этого равенства следует, что ${\sqrt {xy}}$ принадлежит квадратичному полю $\mathbb {Q} ({\sqrt {c}}).$ В этом поле каждый элемент может быть записан однозначно. $\alpha +\beta {\sqrt {c}},$ с $\alpha$ и $\beta$ являются рациональными числами. Это означает, что $\pm 2{\sqrt {xy}}$ нерационально (иначе правая часть уравнения была бы рациональной; а левая часть иррациональна). Поскольку $x$ и $y$ должны быть рациональными, квадрат $\pm 2{\sqrt {xy}}$ должно быть рациональным. Это означает, что $\alpha =0$ в выражении $\pm 2{\sqrt {xy}}$ как $\alpha +\beta {\sqrt {c}}.$ Таким образом $a+{\sqrt {c}}=x+y+\beta {\sqrt {c}}$ для некоторого рационального числа $\beta .$ Единственность разложения по $1$ и ${\sqrt {c}}$ таким образом, следует, что рассматриваемое уравнение эквивалентно $a=x+y\quad {\text{and}}\quad \pm 2{\sqrt {xy}}={\sqrt {c}}.$ следует Из формул Виеты , что $x$ и $y$ должны быть корнями квадратного уравнения. $z^{2}-az+{\frac {c}{4}}=0~;$ его $~\Delta =a^{2}-c=d^{2}>0~$ ( $\neq 0$ , иначе $c$ было бы квадратом $a$ ), следовательно, $x$ и $y$ должны быть ${\frac {a+{\sqrt {a^{2}-c}}}{2}}~$ и $~{\frac {a-{\sqrt {a^{2}-c}}}{2}}~.$ Таким образом, $x$ и $y$ рациональны тогда и только тогда, когда $d={\sqrt {a^{2}-c}}~$ является рациональным числом.

Для явного выбора различных знаков необходимо учитывать только положительные действительные квадратные корни и, таким образом, предполагать $c > 0$ . Уравнение $a^{2}=c+d^{2}$ показывает, что $| а | > \sqrt с$ . Таким образом, если вложенный радикал веществен и возможно выравнивание, то $a > 0$ . Тогда решение ${\begin{aligned}{\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}+{\sqrt {\frac {a-d}{2}}},\\[6pt]{\sqrt {a-{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}-{\sqrt {\frac {a-d}{2}}}.\end{aligned}}$

Некоторые личности Рамануджана

Шриниваса Рамануджан продемонстрировал ряд любопытных личностей, связанных с радикальными группами. Среди них следующие: ^{[ 3 ]}

${\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),$

${\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),$

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},$

и

{\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad

^{[ 4 ]}

Алгоритм Ландау

В 1989 году Сьюзен Ландау представила первый алгоритм определения того, какие вложенные радикалы можно разделить. ^{[ 5 ]} Более ранние алгоритмы работали в некоторых случаях, но не в других. Алгоритм Ландау включает в себя комплексные корни из единицы и работает за экспоненциальное время относительно глубины вложенного радикала. ^{[ 6 ]}

В тригонометрии

В тригонометрии синусы и косинусы многих углов можно выразить через вложенные радикалы. Например, $\sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]$

и $\sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}}.$ Последнее равенство следует непосредственно из результатов § Два вложенных квадратных корня .

При решении кубического уравнения

Вложенные радикалы появляются в алгебраическом решении кубического уравнения . Любое кубическое уравнение можно записать в упрощенной форме без квадратичного члена, как

$x^{3}+px+q=0,$

общее решение которого для одного из корней есть $x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.$

В случае, когда кубическая единица имеет только один действительный корень, действительный корень задается этим выражением, при этом подкоренные корни кубических корней являются действительными, а кубические корни являются действительными кубическими корнями. В случае трех действительных корней выражение квадратного корня представляет собой мнимое число; здесь любой действительный корень выражается путем определения первого кубического корня как любого конкретного комплексного кубического корня комплексного подкоренного числа и определения второго кубического корня как комплексно-сопряженного первого. Вложенные радикалы в этом решении, вообще говоря, не могут быть упрощены, если кубическое уравнение не имеет хотя бы одного рационального решения. Действительно, если кубика имеет три иррациональных, но действительных решения, мы имеем casus unducibilis , в котором все три действительных решения записываются через кубические корни комплексных чисел. С другой стороны, рассмотрим уравнение

$x^{3}-7x+6=0,$

которая имеет рациональные решения 1, 2 и −3. Общая формула решения, приведенная выше, дает решения $x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}+{\sqrt[{3}]{-3-{\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}.$

Для любого данного выбора кубического корня и его сопряженного числа он содержит вложенные радикалы, включающие комплексные числа, но его можно свести (хотя и не очевидно) к одному из решений 1, 2 или –3.

Бесконечно вложенные радикалы

Квадратные корни

При определенных условиях бесконечно вложенные квадратные корни, такие как $x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}$

представляют рациональные числа. Это рациональное число можно найти, осознав, что x также стоит под знаком корня, что дает уравнение

$x={\sqrt {2+x}}.$

Если мы решим это уравнение, мы обнаружим, что $x = 2$ (второе решение $x = -1$ неприменимо, согласно соглашению, что имеется в виду положительный квадратный корень). Этот подход также можно использовать, чтобы показать, что, вообще говоря, если $n > 0$ , то ${\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1+4n}}\right)$

и является положительным корнем уравнения $x 2 - Икс - п знак равно 0$ . Для $n = 1$ этот корень представляет собой золотое сечение $φ$ , примерно равное 1,618. Та же процедура позволяет получить, если $n > 0$ , ^{[ нужна ссылка ]} ${\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+4n}}\right),$ что является положительным корнем уравнения $x 2 + Икс - п знак равно 0$ .

Вложенные квадратные корни из 2

Вложенные квадратные корни из 2 представляют собой частный случай широкого класса бесконечно вложенных радикалов. Есть много известных результатов, которые связывают их с синусами и косинусами . Например, было показано, что вложенные квадратные корни из 2 как ^{[ 7 ]} $R(b_{k},\ldots ,b_{1})={\frac {b_{k}}{2}}{\sqrt {2+b_{k-1}{\sqrt {2+b_{k-2}{\sqrt {2+\cdots +b_{2}{\sqrt {2+x}}}}}}}}$

где $x=2\sin(\pi b_{1}/4)$ с $b_{1}$ в [−2,2] и $b_{i}\in \{-1,0,1\}$ для $i\neq 1$ , таковы, что $R(b_{k},\ldots ,b_{1})=\cos \theta$ для $\theta =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{k}}{4}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}}{8}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}b_{k-2}}{16}}-\cdots -{\frac {b_{k}b_{k-1}\cdots b_{1}}{2^{k+1}}}\right)\pi .$

Этот результат позволяет вывести для любого $x\in [-2,2]$ значение следующих бесконечно вложенных радикалов, состоящих из k вложенных корней, как $R_{k}(x)={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}.$

Если $x\geq 2$ , затем ^{[ 8 ]} ${\begin{aligned}R_{k}(x)&={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}\\&=\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{1/2^{k}}+\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{-1/2^{k}}\end{aligned}}$

Эти результаты можно использовать для получения некоторых вложенных представлений квадратных корней $\pi$ . Рассмотрим термин $R\left(b_{k},\ldots ,b_{1}\right)$ определено выше. Затем ^{[ 7 ]} $\pi =\lim _{k\rightarrow \infty }\left[{\frac {2^{k+1}}{2-b_{1}}}R(\underbrace {1,-1,1,1,\ldots ,1,1,b_{1}} _{k{\text{ terms }}})\right]$

где $b_{1}\neq 2$ .

Бесконечные радикалы Рамануджана

Рамануджан поставил следующую задачу в Журнале Индийского математического общества :

$?={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.$

Эту проблему можно решить, приняв более общую формулировку: $?={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}.$

Установка этого значения на $F (x)$ и возведение в квадрат обеих сторон дает нам $F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}},$

который можно упростить до $F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n).$

Тогда можно показать, что, полагая $F$ является аналитическим ,

$F(x)={x+n+a}.$

Итак, установив $a = 0$ , $n = 1$ и $x = 2$ , мы имеем $3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.$ следующее бесконечное радикальное определение Рамануджан изложил в своей потерянной записной книжке : ${\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}.$ Повторяющийся рисунок знаков – это $(+,+,-,+).$

Выражение Вьета для $π$

Формула Вьета для $π$ , отношения длины окружности к ее диаметру, выглядит так: ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .$

Кубические корни

В некоторых случаях бесконечно вложенные кубические корни, такие как $x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}$ также может представлять рациональные числа. Опять же, осознав, что все выражение появляется внутри себя, мы остаемся с уравнением $x={\sqrt[{3}]{6+x}}.$

Решив это уравнение, мы обнаружим, что $x = 2$ . В более общем плане мы находим, что ${\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}$ – положительный вещественный корень уравнения $x 3 - x - n знак равно 0$ для всех $n > 0$ . Для $n = 1$ этим корнем является коэффициент пластичности ρ , примерно равный 1,3247.

Та же процедура работает и для получения

${\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}$

как действительный корень уравнения $x 3 + x - n знак равно 0$ для всех $n > 1$ .

Теорема Гершфельда о сходимости

Бесконечно вложенный радикал ${\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}$ (где все $a_{i}$ неотрицательны ) сходится тогда и только тогда , когда существует некоторое $M\in \mathbb {R}$ такой, что $M\geq a_{n}^{2^{-n}}$ для всех $n$ , ^{[ 9 ]} или другими словами ${\textstyle \sup a_{n}^{2^{-n}}<+\infty .}$

Доказательство «если»

Мы наблюдаем, что ${\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}\leq {\sqrt {M^{2^{1}}+{\sqrt {M^{2^{2}}+\cdots }}}}=M{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}<2M.$ Более того, последовательность $\left({\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsc {\sqrt {a_{n}}}}}}}\right)$ монотонно возрастает. Следовательно, он сходится по теореме о монотонной сходимости .

Доказательство «только если»

Если последовательность $\left({\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\cdots {\sqrt {a_{n}}}}}}}\right)$ сходится, то оно ограничено.

Однако, $a_{n}^{2^{-n}}\leq {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\cdots {\sqrt {a_{n}}}}}}}$ , следовательно $\left(a_{n}^{2^{-n}}\right)$ также ограничен.

См. также

Ссылки

^ Шайнерман, Эдвард Р. (2000), «Когда достаточно близко, значит достаточно близко», American Mathematical Monthly , 107 (6): 489–499, doi : 10.2307/2589344 , JSTOR 2589344 , MR 1766736
^ Эйлер, Леонард (2012). Элементы алгебры . Springer Science & Business Media. Глава VIII.
^ Ландау, Сьюзен (16 июля 1993 г.). «Заметка о «Zippel Denesting» » . CiteSeerX 10.1.1.35.5512 . Проверено 23 августа 2023 г.
^ Берндт, Брюс; Чан, Хэн; Чжан, Лян-Чэн (1998). «Радикалы и единицы в творчестве Рамануджана» (PDF) . Акта Арифметика . 87 (2): 145–158. дои : 10.4064/aa-87-2-145-158 .
^ Ландау, Сьюзен (1992). «Упрощение вложенных радикалов». 30-й ежегодный симпозиум по основам информатики . Том. 21. СИАМ . стр. 85–110. CiteSeerX 10.1.1.34.2003 . дои : 10.1109/SFCS.1989.63496 . ISBN 978-0-8186-1982-3 . S2CID 29982884 .
^ Гкиулекас, Элефтериос (18 августа 2017 г.). «О вычислении вложенных квадратных корней» . Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 48 (6): 942–953. Бибкод : 2017IJMES..48..942G . дои : 10.1080/0020739X.2017.1290831 . ISSN 0020-739X . S2CID 9737528 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Серви, Л.Д. (апрель 2003 г.). «Вложенные квадратные корни из 2» . Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. дои : 10.1080/00029890.2003.11919968 . ISSN 0002-9890 . S2CID 38100940 .
^ Ниблом, Массачусетс (ноябрь 2005 г.). «Больше вложенных квадратных корней из 2» . Американский математический ежемесячник . 112 (9): 822–825. дои : 10.1080/00029890.2005.11920256 . ISSN 0002-9890 . S2CID 11206345 .
^ Хершфельд, Аарон (1935). «О бесконечных радикалах». Американский математический ежемесячник . 42 (7): 419–429. дои : 10.2307/2301294 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301294 .

Дальнейшее чтение

Ландау, Сьюзен (1994). «Как запутаться с вложенным радикалом». Математический интеллект . 16 (2): 49–55. дои : 10.1007/bf03024284 . S2CID 119991567 .
Уменьшение глубины вложенности выражений, включающих квадратные корни
Упрощение квадратных корней из квадратных корней
Вайсштейн, Эрик В. «Квадратный корень» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Вложенный радикал» . Математический мир .

[1] Шайнерман, Эдвард Р. (2000), «Когда достаточно близко, значит достаточно близко», American Mathematical Monthly , 107 (6): 489–499, doi : 10.2307/2589344 , JSTOR 2589344 , MR 1766736

[2] Эйлер, Леонард (2012). Элементы алгебры . Springer Science & Business Media. Глава VIII.

[3] Ландау, Сьюзен (16 июля 1993 г.). «Заметка о «Zippel Denesting» » . CiteSeerX 10.1.1.35.5512 . Проверено 23 августа 2023 г.

[4] Берндт, Брюс; Чан, Хэн; Чжан, Лян-Чэн (1998). «Радикалы и единицы в творчестве Рамануджана» (PDF) . Акта Арифметика . 87 (2): 145–158. дои : 10.4064/aa-87-2-145-158 .

[5] Ландау, Сьюзен (1992). «Упрощение вложенных радикалов». 30-й ежегодный симпозиум по основам информатики . Том. 21. СИАМ . стр. 85–110. CiteSeerX 10.1.1.34.2003 . дои : 10.1109/SFCS.1989.63496 . ISBN 978-0-8186-1982-3 . S2CID 29982884 .

[6] Гкиулекас, Элефтериос (18 августа 2017 г.). «О вычислении вложенных квадратных корней» . Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 48 (6): 942–953. Бибкод : 2017IJMES..48..942G . дои : 10.1080/0020739X.2017.1290831 . ISSN 0020-739X . S2CID 9737528 .

[:0-7] Перейти обратно: ^а ^б Серви, Л.Д. (апрель 2003 г.). «Вложенные квадратные корни из 2» . Американский математический ежемесячник . 110 (4): 326–330. дои : 10.1080/00029890.2003.11919968 . ISSN 0002-9890 . S2CID 38100940 .

[8] Ниблом, Массачусетс (ноябрь 2005 г.). «Больше вложенных квадратных корней из 2» . Американский математический ежемесячник . 112 (9): 822–825. дои : 10.1080/00029890.2005.11920256 . ISSN 0002-9890 . S2CID 11206345 .

[9] Хершфельд, Аарон (1935). «О бесконечных радикалах». Американский математический ежемесячник . 42 (7): 419–429. дои : 10.2307/2301294 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301294 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]