Метод эквивалентности Картана
В математике позволяющий определить , метод эквивалентности Картана — это метод дифференциальной геометрии, являются ли две геометрические структуры одинаковыми с точностью до диффеоморфизма . Например, если M и N — два римановых многообразия с метриками g и h соответственно, когда существует диффеоморфизм
такой, что
- ?
Хотя ответ на этот конкретный вопрос был известен в измерении 2 Гауссу , а в более высоких измерениях Кристоффелю и, возможно, Риману также , Эли Картан и его интеллектуальные наследники разработали технику ответа на аналогичные вопросы для радикально разных геометрических структур. (Например, см. алгоритм Картана – Карлхеде .)
Картан успешно применил свой метод эквивалентности ко многим таким структурам, включая проективные структуры , CR-структуры и комплексные структуры , а также якобы негеометрические структуры, такие как эквивалентность лагранжианов и обыкновенных дифференциальных уравнений . (Его методы позже были более полно развиты многими другими, такими как Д.С. Спенсер и Шиинг-Шен Черн .)
Метод эквивалентности представляет собой по существу алгоритмическую процедуру определения идентичности двух геометрических структур. Для Картана первичная геометрическая информация выражалась в кофрейме или наборе кофреймов на дифференцируемом многообразии . См. метод перемещения кадров .
Обзор [ править ]
В частности, предположим, что M и N — пара многообразий, каждое из которых несет G-структуру структурной группы G . равносильно созданию специального класса кофреймов на M и N. Это Метод Картана решает вопрос о том, существует ли локальный диффеоморфизм φ: → N , при котором G -структура на N возвращается к заданной G -структуре на M. M Проблема эквивалентности была «решена» , если можно дать полный набор структурных инвариантов для G -структуры: это означает, что такой диффеоморфизм существует тогда и только тогда, когда все структурные инварианты согласуются в подходящим образом определенном смысле.
Явно, локальные системы одной формы θ я и γ я заданы на M и N соответственно и натягивают соответствующие кокасательные расслоения (т. е. являются кофреймами ). Вопрос в том, существует ли локальный диффеоморфизм φ: M → N такой, что образ кофрейма на N удовлетворяет условию
- (1)
где коэффициент g является функцией от M, принимающей значения в группе Ли G . Например, если M и N — римановы многообразия, то G = O ( n ) — ортогональная группа и θ я и γ я являются ортонормированными кофреймами M и N соответственно. Тогда вопрос о том, изометричны ли два римановых многообразия, представляет собой вопрос о том, существует ли диффеоморфизм φ, удовлетворяющий (1).
Первый шаг [ править ]
Первым шагом в методе Картана является выражение отношения обратного образа (1) как можно более инвариантным способом посредством использования « продолжения ». Наиболее экономичным способом сделать это является использование G -подрасслоения PM главного пучка линейных кофреймов LM , хотя такой подход может привести к ненужным усложнениям при выполнении реальных вычислений. В частности, далее в этой статье используется другой подход. Но для целей обзора удобно придерживаться точки зрения основного пакета.
Второй шаг [ править ]
Второй шаг — использовать диффеоморфную инвариантность внешней производной , чтобы попытаться изолировать любые другие инварианты более высокого порядка G -структуры. В основном получается связность в главном расслоении PM с некоторым кручением. Компоненты связи и кручения рассматриваются как инварианты задачи.
Третий шаг [ править ]
Третий шаг заключается в том, что если оставшиеся коэффициенты кручения непостоянны в слоях главного расслоения PM , часто можно (хотя иногда и сложно) нормализовать их, приравняв к удобному постоянному значению и решив эти уравнения нормализации: тем самым уменьшая эффективную размерность группы G. Ли Если это происходит, человек возвращается к первому шагу, имея теперь для работы группу Ли одного более низкого измерения.
Четвертый шаг [ править ]
Основной целью первых трех шагов было максимальное сокращение самой структурной группы. Предположим, что проблема эквивалентности прошла цикл достаточное количество раз, и дальнейшее сокращение невозможно. На данный момент существуют различные возможные направления, в которых ведет метод эквивалентности. Для большинства задач эквивалентности существует только четыре случая: полная редукция, инволюция, продолжение и вырождение.
Полное сокращение. Здесь структурная группа полностью сведена к тривиальной группе . Теперь эту проблему можно решить с помощью таких методов, как теорема Фробениуса . Другими словами, алгоритм успешно завершил работу.
С другой стороны, возможно, что коэффициенты кручения на волокнах ПМ постоянны . Эквивалентно, они больше не зависят от группы Ли G, потому что нечего нормализовать, хотя некоторое кручение все еще может быть. В трех оставшихся случаях это предполагается.
Инволюция. Проблема эквивалентности называется инволютивной (или инволюционной ), если она проходит тест Картана . По сути, это условие ранга связи, полученное на первых трех шагах процедуры. Тест Картана обобщает теорему Фробениуса о разрешимости линейных систем уравнений в частных производных первого порядка. Если кофреймы на M и N (полученные тщательным применением первых трех шагов алгоритма) согласуются и удовлетворяют тесту Картана, то две G -структуры эквивалентны. (На самом деле, насколько известно автору, кофреймы должны быть вещественно аналитическими для этого , поскольку теорема Картана-Келера требует аналитичности.)
Продление. Это самый запутанный случай. На самом деле есть два подслучая. В первом подслучайе все кручение может быть однозначно поглощено формой соединения. (Примером являются римановы многообразия, поскольку связность Леви-Чивита поглощает все кручение). Коэффициенты связности и их инвариантные производные образуют полный набор инвариантов структуры, и решается проблема эквивалентности. Однако во втором подслучайе либо невозможно поглотить все кручение, либо возникает некоторая двусмысленность (как это часто бывает при методе исключения Гаусса , например, ). Здесь, как и при исключении Гаусса, имеются дополнительные параметры, которые появляются при попытке поглотить кручение. Сами эти параметры оказываются дополнительными инвариантами задачи, поэтому структурную группу G необходимо продолжить в подгруппу струйной группы . Как только это будет сделано, мы получим новый кофрейм на расширенном пространстве и должны вернуться к первому шагу метода эквивалентности. (См. также удлинение G-структур .)
Вырождение. Из-за неравномерности некоторых условий ранга метод эквивалентности не может решить эту конкретную проблему эквивалентности. Например, рассмотрим проблему эквивалентности отображения многообразия M с единственной формой θ в другое многообразие с единственной формой γ такое, что φ*γ=θ. Необходимо учитывать нули этих единых форм, а также ранг их внешних производных в каждой точке. Метод эквивалентности может решить такие проблемы, если все ранги одинаковы, но он не всегда подходит, если ранг меняется. Конечно, в зависимости от конкретного применения, большой объем информации все же можно получить с помощью метода эквивалентности.
Ссылки [ править ]
- Олвер, П.Дж. (1995). Эквивалентность, инварианты и симметрия . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-521-47811-1 .