Последовательность с низким расхождением

В математике последовательность с малым расхождением — это последовательность , обладающая свойством, что для всех значений N ее подпоследовательность x ₁ , ..., x _N имеет малое расхождение .

Грубо говоря, расхождение последовательности мало, если доля точек последовательности, попадающих в произвольное множество B , близка к пропорциональной мере B , как это происходило бы в среднем (но не для отдельных выборок) в случае последовательность равнораспределенная . Конкретные определения несоответствия различаются в зависимости от выбора B ( гиперсферы , гиперкубы и т. д.) и того, как расхождение для каждого B вычисляется (обычно нормализуется) и комбинируется (обычно путем принятия наихудшего значения).

Последовательности с низким расхождением также называются квазислучайными последовательностями из-за их общего использования в качестве замены равномерно распределенных случайных чисел .Модификатор «квази» используется для более четкого обозначения того, что значения последовательности с низким расхождением не являются ни случайными, ни псевдослучайными , но такие последовательности имеют некоторые общие свойства случайных величин, а в некоторых приложениях, таких как метод квази-Монте-Карло, их меньшее несоответствие. является важным преимуществом.

Приложения

Квазислучайные числа имеют преимущество перед чисто случайными числами в том, что они быстро и равномерно покрывают интересующую область.

Двумя полезными приложениями являются поиск характеристической функции функции плотности вероятности и поиск производной функции детерминированной функции с небольшим количеством шума. более высокого порядка моменты Квазислучайные числа позволяют очень быстро рассчитывать с высокой точностью.

Приложениями, не использующими сортировку, могут быть поиск среднего значения , стандартного отклонения , асимметрии и эксцесса статистического распределения, а также поиск интегральных и глобальных максимумов и минимумов сложных детерминированных функций. Квазислучайные числа также можно использовать в качестве отправной точки для детерминированных алгоритмов, которые работают только локально, таких как итерация Ньютона-Рафсона .

Квазислучайные числа также можно комбинировать с алгоритмами поиска. С помощью алгоритма поиска квазислучайные числа могут использоваться для нахождения режима , медианы , доверительных интервалов и кумулятивного распределения статистического распределения, а также всех локальных минимумов и всех решений детерминированных функций.

Последовательности с малым расхождением в численном интегрировании

Различные методы численного интегрирования можно сформулировать как аппроксимацию интеграла функции f в некотором интервале, например [0,1], как среднего значения функции, вычисленной в наборе { x ₁ , ..., x _N } в этом интервал:

\int _{0}^{1}f(u)\,du\approx {\frac {1}{N}}\,\sum _{i=1}^{N}f(x_{i}).

Если точки выбраны как x _i = i / N , это правило прямоугольника .Если точки выбраны случайным (или псевдослучайным ) распределением, это метод Монте-Карло .Если точки выбираются как элементы последовательности с малым расхождением, это и есть метод квази-Монте-Карло .Замечательный результат — неравенство Коксмы–Главки (приведенное ниже) показывает, что погрешность такого метода может быть ограничена произведением двух слагаемых, одно из которых зависит только от f , а другое — невязка множества { х ₁ , ..., х _N }.

Удобно построить набор { x ₁ , ..., x _N } таким образом, что если набор из N построен +1 элементов, предыдущие N элементов не нужно пересчитывать.Правило прямоугольника использует набор точек, которые имеют небольшое расхождение, но обычно элементы необходимо пересчитывать, если N увеличивается.Элементы не нужно пересчитывать случайным методом Монте-Карло, если N увеличивается,но наборы точек не имеют минимального расхождения.Используя последовательности с низким расхождением, мы стремимся к малому расхождению и отсутствию необходимости в повторных вычислениях, но на самом деле последовательности с низким расхождением могут быть только постепенно эффективными в отношении несоответствий, если мы не допускаем повторных вычислений.

Определение расхождения

Невязка 1 набора P = { x _как , ..., x _N } определяется с использованием Нидеррайтера обозначений

D_{N}(P)=\sup _{B\in J}\left|{\frac {A(B;P)}{N}}-\lambda _{s}(B)\right|

гдеλ _s — s -мерная мера Лебега , A ( B ; P ) — количество точек из P , попадающих в B , — J множество s- мерных интервалов или ящиков вида

\prod _{i=1}^{s}[a_{i},b_{i})=\{\mathbf {x} \in \mathbf {R} ^{s}:a_{i}\leq x_{i}<b_{i}\}\,

где $0\leq a_{i}<b_{i}\leq 1$ .

Звездное несоответствие D ^*_N ( P ) определяется аналогично, за исключением того, что верхняя грань берется по множеству J ^* прямоугольных коробок формы

\prod _{i=1}^{s}[0,u_{i})

где u _i находится в полуинтервале [0, 1).

Эти два связаны

D_{N}^{*}\leq D_{N}\leq 2^{s}D_{N}^{*}.\,

Примечание. Согласно этим определениям, несоответствие представляет собой наихудшее или максимальное отклонение плотности точек однородного набора. Однако имеют значение и другие меры ошибок, что приводит к другим определениям и мерам вариации. Например, расхождение L2 или модифицированное центрированное расхождение L2 также интенсивно используются для сравнения качества однородных наборов точек. И то, и другое гораздо проще вычислить при больших N и s.

Неравенство Коксмы–Профита.

Пусть я ^с быть s -мерным единичным кубом,Я ^с = [0, 1] × ... × [0, 1].Пусть f имеет ограниченную вариацию V ( f ) на Ī ^с в смысле Харди и Краузе.Тогда для любого x ₁ , ..., x _Nво мне ^с =[0, 1) × ... ×[0, 1),

\left|{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du\right|\leq V(f)\,D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N}).

Неравенство Коксмы I – Главки является точным в следующем смысле: для любого множества точек { 1 _, ..., x _N } в x ^с и любой $\varepsilon >0$ , существует функция f с ограниченной вариацией и V ( f ) = 1 такая, что

\left|{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du\right|>D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})-\varepsilon .

Поэтому качество правила численного интегрирования зависит только от невязки D ^*_Н ( х ₁ ,..., х _Н ).

Формула Фри-Зарембы

Позволять $D=\{1,2,\ldots ,d\}$ . Для $\emptyset \neq u\subseteq D$ мыписать

dx_{u}:=\prod _{j\in u}dx_{j}

и обозначим через $(x_{u},1)$ точка, полученная из x заменойкоординаты не тебе в $1$ . Затем

{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du=\sum _{\emptyset \neq u\subseteq D}(-1)^{|u|}\int _{[0,1]^{|u|}}\operatorname {disc} (x_{u},1){\frac {\partial ^{|u|}}{\partial x_{u}}}f(x_{u},1)\,dx_{u},

где $\operatorname {disc} (z)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\prod _{j=1}^{d}1_{[0,z_{j})}(x_{i,j})-\prod _{j=1}^{d}z_{i}$ – функция несоответствия.

Л ² вариант неравенства Коксмы – Главки

Применяя неравенство Коши–Шварца для интегралов и сумм к тождеству Главки–Зарембы, получаем $L^{2}$ вариант неравенства Коксмы – Главки:

\left|{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})-\int _{{\bar {I}}^{s}}f(u)\,du\right|\leq \|f\|_{d}\operatorname {disc} _{d}(\{t_{i}\}),

где

\operatorname {disc} _{d}(\{t_{i}\})=\left(\sum _{\emptyset \neq u\subseteq D}\int _{[0,1]^{|u|}}\operatorname {disc} (x_{u},1)^{2}\,dx_{u}\right)^{1/2}

и

\|f\|_{d}=\left(\sum _{u\subseteq D}\int _{[0,1]^{|u|}}\left|{\frac {\partial ^{|u|}}{\partial x_{u}}}f(x_{u},1)\right|^{2}dx_{u}\right)^{1/2}.

$L^{2}$ Расхождение имеет большое практическое значение, поскольку для данного набора точек возможны быстрые явные вычисления. Таким образом, можно легко создавать оптимизаторы набора точек, используя $L^{2}$ несоответствие как критерий.

Неравенство Эрдеша–Турана–Коксмы

Трудно с вычислительной точки зрения найти точное значение невязки больших наборов точек. Неравенство Эрдеша – – Турана . Коксмы дает верхнюю границу

Пусть x ₁ ,..., x _N — точки в I ^с и H — произвольное положительное целое число. Затем

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\leq \left({\frac {3}{2}}\right)^{s}\left({\frac {2}{H+1}}+\sum _{0<\|h\|_{\infty }\leq H}{\frac {1}{r(h)}}\left|{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi i\langle h,x_{n}\rangle }\right|\right)

где

r(h)=\prod _{i=1}^{s}\max\{1,|h_{i}|\}\quad {\mbox{for}}\quad h=(h_{1},\ldots ,h_{s})\in \mathbb {Z} ^{s}.

Основные предположения

Гипотеза 1. Существует константа cs _, зависящая только от размерности s , такая, что

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq c_{s}{\frac {(\ln N)^{s-1}}{N}}

для любого конечного множества точек { x ₁ ,..., x _N }.

Гипотеза 2. Существует константа c ^'_s зависит только от s , такого, что

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq c'_{s}{\frac {(\ln N)^{s}}{N}}

для бесконечного числа N для любой бесконечной последовательности x ₁ , x ₂ , x ₃ ,....

Эти предположения эквивалентны. они были доказаны Для s ≤ 2 В.М. Шмидтом . В более высоких измерениях соответствующая проблема все еще остается открытой. Самые известные нижние оценки принадлежат Майклу Лейси и его соавторам.

Нижние границы

Пусть s = 1. Тогда

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq {\frac {1}{2N}}

для любого конечного множества точек { x ₁ , ..., x _N }.

Пусть s = 2. В.М. Шмидт доказал, что для любого конечного множества точек { x ₁ , ..., x _N }

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq C{\frac {\log N}{N}}

где

C=\max _{a\geq 3}{\frac {1}{16}}{\frac {a-2}{a\log a}}=0.023335\dots .

Для произвольных размерностей s > 1 К. Ф. Рот доказал, что

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq {\frac {1}{2^{4s}}}{\frac {1}{((s-1)\log 2)^{\frac {s-1}{2}}}}{\frac {\log ^{\frac {s-1}{2}}N}{N}}

для любого конечного множества точек { x ₁ , ..., x _N }. Йозеф Бек ^[1] установили двойное логарифмическое улучшение этого результата в трех измерениях. Это было улучшено Д. Билыком и М. Т. Лейси до степени одиночного логарифма. Самая известная оценка для s > 2 обусловленаД. Билык и М.Т. Лейси и А. Вагаршакян. ^[2] Для s > 2 существует t > 0, так что

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\geq t{\frac {\log ^{{\frac {s-1}{2}}+t}N}{N}}

для любого конечного множества точек { x ₁ , ..., x _N }.

Построение последовательностей с низким расхождением

Поскольку любое распределение случайных чисел может быть отображено на равномерное распределение, а квазислучайные числа отображаются таким же образом, эта статья касается только генерации квазислучайных чисел на многомерном равномерном распределении.

Известны конструкции последовательностей такие, что

D_{N}^{*}(x_{1},\ldots ,x_{N})\leq C{\frac {(\ln N)^{s}}{N}}.

где C — некоторая константа, зависящая от последовательности. После гипотезы 2 считается, что эти последовательности имеют наилучший возможный порядок сходимости. Ниже приведены примеры последовательности Ван дер Корпута , последовательности Холтона и последовательности Соболя . Одним из общих ограничений является то, что методы построения обычно могут гарантировать только порядок сходимости. Практически, низкое расхождение может быть достигнуто только в том случае, если N достаточно велико, а при больших заданных s этот минимум N может быть очень большим. Это означает, что выполнение анализа Монте-Карло, например, с s=20 переменными и N=1000 точками с помощью генератора последовательностей с низким расхождением, может дать лишь очень незначительное улучшение точности. ^{[ нужна ссылка ]}.

Случайные числа

Последовательности квазислучайных чисел можно генерировать из случайных чисел, налагая на эти случайные числа отрицательную корреляцию. Один из способов сделать это — начать с набора случайных чисел. $r_{i}$ на $[0,0.5)$ и построить квазислучайные числа $s_{i}$ которые однородны по $[0,1)$ с использованием:

$s_{i}=r_{i}$ для $i$ странный и $s_{i}=0.5+r_{i}$ для $i$ даже.

Второй способ сделать это с начальными случайными числами — построить случайное блуждание со смещением 0,5, как показано ниже:

s_{i}=s_{i-1}+0.5+r_{i}{\pmod {1}}.\,

То есть возьмите предыдущее квазислучайное число, добавьте 0,5 и случайное число и возьмите результат по модулю 1.

Для более чем одного измерения можно использовать латинские квадраты соответствующего размера для обеспечения смещения, чтобы обеспечить равномерное покрытие всей области.

Аддитивная повторяемость

Для любого иррационального $\alpha$ , последовательность

s_{n}=\{s_{0}+n\alpha \}

имеет несоответствие, имеющее тенденцию к $1/N$ . Обратите внимание, что последовательность может быть определена рекурсивно с помощью

s_{n+1}=(s_{n}+\alpha ){\bmod {1}}\;.

Хорошее соотношение цены и качества $\alpha$ дает меньшее расхождение, чем последовательность независимых однородных случайных чисел.

Расхождение может быть ограничено аппроксимации показателем $\alpha$ . Если показатель аппроксимации равен $\mu$ , то для любого $\varepsilon >0$ , имеет место следующая оценка: ^[3]

D_{N}((s_{n}))=O_{\varepsilon }(N^{-1/(\mu -1)+\varepsilon }).

По теореме Туэ-Зигеля-Рота показатель аппроксимации любого иррационального алгебраического числа равен 2, что дает оценку $N^{-1+\varepsilon }$ выше.

Приведенное выше рекуррентное соотношение похоже на рекуррентное соотношение, используемое линейным конгруэнтным генератором — генератором псевдослучайных чисел низкого качества: ^[4]

r_{i}=(ar_{i-1}+c){\bmod {m}}

Для аддитивной повторяемости с низким расхождением, описанной выше, a и m выбраны равными 1. Однако обратите внимание, что это не будет генерировать независимые случайные числа, поэтому их не следует использовать для целей, требующих независимости.

Стоимость $c$ с наименьшим расхождением является дробная часть золотого сечения : ^[5]

c={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}=\varphi -1\approx 0.618034.

Другая величина, которая почти так же хороша, — это дробная часть отношения серебра , которая представляет собой дробную часть квадратного корня из 2:

c={\sqrt {2}}-1\approx 0.414214.\,

В более чем одном измерении для каждого измерения необходимы отдельные квазислучайные числа. Удобный набор используемых значений — это квадратные корни простых чисел от двух и выше, взятые по модулю 1:

c={\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {7}},{\sqrt {11}},\ldots \,

Однако было показано, что набор значений, основанный на обобщенном золотом сечении, дает более равномерно распределенные точки. ^[6]

В списке генераторов псевдослучайных чисел перечислены методы генерации независимых псевдослучайных чисел.Примечание. В небольшом количестве измерений рекурсивная рекурсия приводит к однородным наборам хорошего качества, но для больших s (например, s>8) другие генераторы наборов точек могут обеспечить гораздо меньшие расхождения.

последовательность Ван дер Корпута

Позволять

n=\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{k}

быть b -арным представлением натурального числа n ≥ 1, т.е. 0 ≤ d _k ( n ) < b . Набор

g_{b}(n)=\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{-k-1}.

Тогда существует константа C, зависящая только от b, такая, что ( g _b ( n )) _{n ≥ 1} удовлетворяет условию

D_{N}^{*}(g_{b}(1),\dots ,g_{b}(N))\leq C{\frac {\log N}{N}},

где Д ^*_{N -} это звездное несоответствие .

Последовательность Холтона

Последовательность Холтона является естественным обобщением последовательности Ван дер Корпута на более высокие измерения. Пусть s — произвольная размерность, а b ₁ , ..., b _s — произвольные взаимно простые целые числа, большие 1. Определим

x(n)=(g_{b_{1}}(n),\dots ,g_{b_{s}}(n)).

Тогда существует константа C, зависящая только от b ₁ , ..., b _s , такая, что последовательность { x ( n )} _{n ≥1} является s -мерной последовательностью с

D_{N}^{*}(x(1),\dots ,x(N))\leq C'{\frac {(\log N)^{s}}{N}}.

Набор Хаммерсли

Пусть b ₁ ,..., b _{s −1} — взаимно простые большие 1. Для заданных s и N s -мерное положительные целые числа , множество Хаммерсли размера N определяется формулой ^[7]

x(n)=\left(g_{b_{1}}(n),\dots ,g_{b_{s-1}}(n),{\frac {n}{N}}\right)

для n = 1, ..., N . Затем

D_{N}^{*}(x(1),\dots ,x(N))\leq C{\frac {(\log N)^{s-1}}{N}}

где C — константа, зависящая только от b ₁ , ..., b _{s −1} .Примечание. Формулы показывают, что множество Хаммерсли на самом деле является последовательностью Холтона, но мы получаем еще одно измерение бесплатно, добавляя линейную прогонку. Это возможно только в том случае, если N известно заранее. Линейный набор также является набором с наименьшей возможной одномерной невязкой в целом. К сожалению, для более высоких размерностей такие «наборы записей несоответствий» неизвестны. Для s = 2 большинство генераторов наборов точек с низким расхождением обеспечивают по крайней мере почти оптимальные расхождения.

Последовательность Соболь

Вариант Антонова-Салеева последовательности Соболя генерирует числа от нуля до единицы непосредственно как двоичные дроби длины. $w$ , из набора $w$ специальные бинарные дроби, $V_{i},i=1,2,\dots ,w$ называются номерами направления. Биты Грея кода $i$ , $G(i)$ , используются для выбора номеров направлений. Чтобы получить значение последовательности Соболя $s_{i}$ возьмите исключительное или двоичное значение кода Грея $i$ с соответствующим номером направления. Количество требуемых размеров влияет на выбор $V_{i}$ .

Выборка диска Пуассона

Выборка диска Пуассона популярна в видеоиграх для быстрого размещения объектов так, чтобы они выглядели случайными.но гарантирует, что каждые две точки разделены как минимум указанным минимальным расстоянием. ^[8] Это не гарантирует низкое расхождение (как, например, у Соболь), но, по крайней мере, значительно меньшее расхождение, чем чисто случайная выборка. Целью этих шаблонов выборки является частотный анализ, а не несоответствие, тип так называемых шаблонов «синего шума».

Графические примеры

Точки, нанесенные ниже, представляют собой первые 100, 1000 и 10000 элементов последовательности типа Соболь.Для сравнения также показаны 10000 элементов последовательности псевдослучайных точек.Последовательность с низким расхождением была сгенерирована алгоритмом TOMS 659. ^[9]Реализация алгоритма на Фортране доступна на Netlib .

Первые 100 точек малорасходящейся последовательности типа Соболь .

Первые 1000 очков в той же последовательности. Эти 1000 составляют первые 100 и еще 900 очков.

Первые 10000 очков в той же последовательности. Эти 10 000 составляют первую 1000 и еще 9 000 очков.

Для сравнения вот первые 10000 точек в последовательности равномерно распределенных псевдослучайных чисел. Очевидны области более высокой и более низкой плотности.

См. также

Примечания

^ Бек, Йожеф (1989). «Двумерная теорема Ван Аарденна-Эренфеста о неоднородностях распределения» . Математическая композиция . 72 (3): 269–339. МР 1032337 . S2CID 125940424 . Збл 0691.10041 .
^ Билык, Дмитрий; Лейси, Майкл Т.; Вагаршакян, Армен (2008). «О неравенстве малого мяча во всех измерениях» . Журнал функционального анализа . 254 (9): 2470–2502. arXiv : 0705.4619 . дои : 10.1016/j.jfa.2007.09.010 . S2CID 14234006 .
^ Kuipers & Niederreiter 2005 , с. 123
^ Кнут, Дональд Э. «Глава 3 – Случайные числа». Искусство компьютерного программирования . Том. 2.
^ Скарупке, Мальта (16 июня 2018 г.). «Хеширование Фибоначчи: оптимизация, о которой мир забыл» . Одним из свойств золотого сечения является то, что вы можете использовать его для примерно равномерного разделения любого диапазона... если вы заранее не знаете, сколько шагов вы собираетесь сделать.
^ Робертс, Мартин (2018). «Необоснованная эффективность квазислучайных последовательностей» .
^ Хаммерсли, Дж. М.; Хэндскомб, округ Колумбия (1964). Методы Монте-Карло . дои : 10.1007/978-94-009-5819-7 . ISBN 978-94-009-5821-0 .
^ Герман Туллекен. Туллекен, Герман (март 2008 г.). «Выборка по диску Пуассона» . Дев.Маг . № 21. С. 21–25.
^ Братли, Пол; Фокс, Беннетт Л. (1988). «Алгоритм 659» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 14 : 88–100. дои : 10.1145/42288.214372 . S2CID 17325779 .

Ссылки

Дик, Йозеф; Пиллихшаммер, Фридрих (2010). Цифровые сети и последовательности: теория несоответствия и интеграция квазимонте-карло . ISBN 978-0-521-19159-3 .
Койперс, Л.; Нидеррайтер, Х. (2005), Равномерное распределение последовательностей , Dover Publications , ISBN 0-486-45019-8
Харальд Нидеррайтер (1992). Генерация случайных чисел и методы квази-Монте-Карло . Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-295-5 .
Дрмота, Майкл; Тичи, Роберт Ф. (1997). Последовательности, расхождения и приложения . Конспект лекций по математике. Том. 1651. Спрингер. ISBN 3-540-62606-9 .
Пресс, Уильям Х.; Фланнери, Брайан П.; Теукольский, Саул А.; Веттерлинг, Уильям Т. (1992). Численные рецепты на языке C (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. см. раздел 7.7 для менее технического обсуждения последовательностей с низким расхождением. ISBN 0-521-43108-5 .

Внешние ссылки

Сборник алгоритмов АКМ (см. алгоритмы 647, 659 и 738).
Квазислучайные последовательности из научной библиотеки GNU
Квазислучайная выборка с учетом ограничений на FinancialMathematics.Com
C++-генератор последовательности Соболя
Ссылка на API SciPy QMC: scipy.stats.qmc

[1] Бек, Йожеф (1989). «Двумерная теорема Ван Аарденна-Эренфеста о неоднородностях распределения» . Математическая композиция . 72 (3): 269–339. МР 1032337 . S2CID 125940424 . Збл 0691.10041 .

[2] Билык, Дмитрий; Лейси, Майкл Т.; Вагаршакян, Армен (2008). «О неравенстве малого мяча во всех измерениях» . Журнал функционального анализа . 254 (9): 2470–2502. arXiv : 0705.4619 . дои : 10.1016/j.jfa.2007.09.010 . S2CID 14234006 .

[kn05-3] Kuipers & Niederreiter 2005 , с. 123

[4] Кнут, Дональд Э. «Глава 3 – Случайные числа». Искусство компьютерного программирования . Том. 2.

[5] Скарупке, Мальта (16 июня 2018 г.). «Хеширование Фибоначчи: оптимизация, о которой мир забыл» . Одним из свойств золотого сечения является то, что вы можете использовать его для примерно равномерного разделения любого диапазона... если вы заранее не знаете, сколько шагов вы собираетесь сделать.

[6] Робертс, Мартин (2018). «Необоснованная эффективность квазислучайных последовательностей» .

[HammersleyHandscomb1964-7] Хаммерсли, Дж. М.; Хэндскомб, округ Колумбия (1964). Методы Монте-Карло . дои : 10.1007/978-94-009-5819-7 . ISBN 978-94-009-5821-0 .

[8] Герман Туллекен. Туллекен, Герман (март 2008 г.). «Выборка по диску Пуассона» . Дев.Маг . № 21. С. 21–25.

[9] Братли, Пол; Фокс, Беннетт Л. (1988). «Алгоритм 659» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 14 : 88–100. дои : 10.1145/42288.214372 . S2CID 17325779 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]