Бесконечно малое преобразование

В математике бесконечно малое преобразование является предельной формой малого преобразования . Например, можно говорить о бесконечно малом вращении твердого тела в трехмерном пространстве. Обычно это представляется кососимметричной матрицей A 3×3 . Это не матрица фактического вращения в пространстве; но для малых действительных значений параметра ε преобразование

$T=I+\varepsilon A$

— малый поворот, вплоть до величин порядка ε ² .

История

Комплексную теорию бесконечно малых преобразований впервые предложил Софус Ли . Это было в центре его работы над тем, что сейчас называется группами Ли и сопровождающими их алгебрами Ли ; и выявление их роли в геометрии и особенно теории дифференциальных уравнений . Свойства абстрактной алгебры Ли в точности соответствуют свойствам бесконечно малых преобразований, точно так же, как аксиомы теории групп воплощают симметрию . Термин «алгебра Ли» был введен в 1934 году Германом Вейлем для обозначения того, что до этого было известно как алгебра бесконечно малых преобразований группы Ли.

Примеры

Например, в случае бесконечно малых вращений структура алгебры Ли определяется векторным произведением после того, как кососимметричная матрица отождествлена ​​с 3- вектором . Это равнозначно выбору вектора оси вращения; определяющее тождество Якоби — хорошо известное свойство векторных произведений.

Самым ранним примером бесконечно малого преобразования, которое могло быть признано таковым, была теорема Эйлера об однородных функциях . Здесь утверждается, что функция F от n переменных x ₁ , ..., x _n, однородная степени r , удовлетворяет условию

$\Theta F=rF\,$

с

$\Theta =\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}},$

оператор Тета . То есть из собственности

$F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})\,$

можно провести дифференцирование по λ, а затем установить λ равным 1. Тогда это становится необходимым условием того, чтобы гладкая функция F обладала свойством однородности; этого также достаточно (используя распределения Шварца, можно сократить здесь соображения математического анализа ). Эта настройка типична тем, что работает однопараметрическая шкал группа ; и информация кодируется с помощью бесконечно малого преобразования, которое является дифференциальным оператором первого порядка .

Операторная версия теоремы Тейлора

Операторное уравнение

$e^{tD}f(x)=f(x+t)\,$

где

$D={d \over dx}$

является операторной версией теоремы Тейлора и поэтому действительна только при условии, что f является аналитической функцией . Сосредоточив внимание на операторной части, он показывает, что D — бесконечно малое преобразование, генерирующее сдвиги действительной прямой через экспоненту . В теории Ли это широко обобщается. Любая связная группа Ли может быть построена с помощью ее бесконечно малых образующих (базис алгебры Ли группы); с явной, хотя и не всегда полезной информацией, представленной в формуле Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа .

Ссылки

• «Алгебра Ли» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Софус Ли (1893) Лекции по непрерывным группам , английский перевод Д. Х. Дельфениха, §8, ссылка из неоклассической физики.