Пертурбативная квантовая хромодинамика

Пертурбативная квантовая хромодинамика (также пертурбативная КХД ) — это раздел физики элементарных частиц, в котором теория сильных взаимодействий, квантовая хромодинамика (КХД), изучается с использованием того факта, что константа сильной связи $\alpha _{s}$ мала при высоких энергиях или взаимодействиях на малых расстояниях, что позволяет теории возмущений применять методы . В большинстве случаев делать проверяемые предсказания с помощью КХД чрезвычайно сложно из-за бесконечного числа возможных топологически неэквивалентных взаимодействий. На коротких расстояниях связь настолько мала, что это бесконечное число термов можно точно аппроксимировать конечным числом термов. Хотя этот подход применим только при высоких энергиях, он привел к наиболее точным на сегодняшний день тестам КХД. ^{[ нужна ссылка ]}.

Важным тестом пертурбативной КХД является измерение отношения скоростей производства для $e^{+}e^{-}\to {\text{hadrons}}$ и $e^{+}e^{-}\to \mu ^{+}\mu ^{-}$ . Поскольку учитывается только общая скорость образования, суммирование по всем адронам в конечном состоянии устраняет зависимость от конкретного типа адронов, и это соотношение можно рассчитать в пертурбативной КХД.

Большинство процессов сильного взаимодействия не могут быть рассчитаны напрямую с помощью пертурбативной КХД, поскольку невозможно наблюдать свободные кварки и глюоны из-за ограничения цвета . Например, структура адронов имеет непертурбативную природу. Чтобы объяснить это, физики ^{[ ВОЗ? ]} разработал теорему факторизации КХД , которая разделяет сечение на две части: зависимое от процесса пертурбативно-вычислимое партонное сечение на коротких расстояниях и универсальные функции на больших расстояниях. Эти универсальные функции на больших расстояниях могут быть измерены с глобальным соответствием экспериментам и включают в себя функции распределения партонов , функции фрагментации , функции многопартонной корреляции , обобщенные распределения партонов , обобщенные амплитуды распределения и многие виды форм-факторов . Существует несколько коллабораций для каждого вида универсальных функций междугородной связи. Они стали важной частью современной физики элементарных частиц .

Математическая формулировка КХД

Квантовая хромодинамика формулируется в терминах лагранжевой плотности

{\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+{\bar {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m\right)\psi

Выражения в лагранжиане

Содержание вопроса

Материя лагранжиана представляет собой спинорное поле. $\psi$ и калибровочное поле $A_{\mu }$ , также известное как глюонное поле.

Спинорное поле имеет спиновые индексы, на которых гамма-матрицы $\gamma ^{\mu }$ действуют, а также показатели цвета, на которые рассчитана ковариантная производная $D_{\mu }$ действует. Формально спинорное поле $\psi (x)$ тогда это функция пространства-времени, определяемая как тензорное произведение вектора вращения и вектора цвета.

Квантовая хромодинамика является калибровочной теорией и поэтому имеет связанную с ней калибровочную группу. $G$ , которая является компактной группой Ли . Цветовой вектор — это элемент некоторого пространства представления $G$ .

Калибровочное поле $A_{\mu }$ оценивается в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ . Калибровочное поле, как и спинорное поле, также имеет пространственно-временной индекс $\mu$ , и поэтому оценивается как ковектор, тензорированный с элементом ${\mathfrak {g}}$ . В теории Ли всегда можно найти основу $t^{a}$ из ${\mathfrak {g}}$ такой, что ${\text{tr}}(t^{a}t^{b})=\delta ^{ab}$ . В дифференциальной геометрии $A_{\mu }$ известно как соединение .

Калибровочное поле проявляется не в лагранжиане явно, а через кривизну $F_{\mu \nu },$ определенный $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }].$ Это известно как тензор напряженности глюонного поля или геометрически как форма кривизны . Параметр $g$ – константа связи для КХД.

Расширяя $F_{\mu \nu }$ в $F_{\mu \nu }^{a}$ и, используя косую черту Фейнмана , лагранжиан можно схематически записать в более элегантной форме.

{\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD} }=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi

Калибровка фиксированного лагранжиана

Хотя это выражение математически элегантно и явно инвариантно к калибровочным преобразованиям, для пертурбативных вычислений необходимо зафиксировать калибровку. Процедура фиксации калибровки была разработана Фаддеевым и Поповым . Требуется введение призрачных полей $c(x)$ которые ценятся в ${\mathfrak {g}}.$ После процедуры фиксации калибровки записывается лагранжиан

{\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}(F_{\mu \nu }^{a})^{2}-{\frac {1}{2\xi }}(\partial ^{\mu }A_{\mu })^{2}+{\bar {\psi }}\left(iD\!\!\!\!/-m\right)\psi -{\bar {c}}^{a}\partial ^{\mu }(D_{\mu }c)^{a}

Где $\xi$ – параметр фиксации калибра. Выбор $\xi =1$ известен как калибр Фейнмана .

После расширения кривизны и ковариантных производных правила Фейнмана для КХД можно получить с помощью методов интеграла по траекториям .

Перенормировка

Методы перенормировки калибровочных теорий и КХД были разработаны и реализованы 'т Хоофтом . Для небольшого числа типов частиц (ароматов кварков) КХД имеет отрицательную бета-функцию и, следовательно, демонстрирует асимптотическую свободу .

Однопетлевая перенормировка

Чтобы показать, что КХД перенормируема в однопетлевом порядке, требуется вычисление петлевых интегралов , которые можно вывести из правил Фейнмана и оценить с помощью размерной регуляризации .

Внешние ссылки

Факторизация жестких процессов в КХД

Ссылки

Пескин М.Э., Шредер Д.В. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Вествью Пресс.