Ошибки моделей

В статистике модели ошибок в испачках или модели ошибок измерения представляют собой регрессионные модели , которые учитывают ошибки измерения в независимых переменных . Напротив, стандартные регрессионные модели предполагают, что эти регрессоры были измерены точно или наблюдались без ошибок; Таким образом, эти модели учитывают только для ошибок в зависимых переменных или ответах.

Иллюстрация разбавления регрессии (или смещения ослабления) с помощью ряда оценок регрессии в моделях ошибок в испачках. Две линии регрессии (красный) связали диапазон возможностей линейной регрессии. Мелкий наклон получается, когда независимая переменная (или предиктор) находится на оси x. Крутый наклон получается, когда независимая переменная находится на оси Y. По соглашению, с независимой переменной по оси x, получен более мелкий наклон. Зеленые линии отсчета являются средними в пределах произвольных ящиков вдоль каждой оси. Обратите внимание, что более крутые оценки зеленой и красной регрессии в большей степени соответствуют меньшим ошибкам в переменной оси Y.

В случае, когда некоторые регрессоры были измерены с помощью ошибок, оценка, основанная на стандартном предположении, приводит к противоречивым оценкам, что означает, что оценки параметров не имеют тенденции к истинным значениям даже в очень больших выборках. Для простой линейной регрессии эффект является недооценкой коэффициента, известного как смещение ослабления . В нелинейных моделях направление смещения, вероятно, будет более сложным.

Мотивирующий пример

Рассмотрим простую модель линейной регрессии формы

$y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,$

где $x_{t}^{*}$ Обозначает истинный , но ненаблюдаемый регрессор . Вместо этого мы наблюдаем это значение с ошибкой:

$x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}\,$

где ошибка измерения $\eta _{t}$ предполагается, что не зависит от истинной ценности $x_{t}^{*}$.
Практическое применение - это стандартный школьный научный эксперимент по закону Гука , в котором оценивает взаимосвязь между весом, добавленным к пружине, и количеством, на которое растягивается пружина.
Если $y_{t}$′ Просто регрессируют на $x_{t}$S (см. Простую линейную регрессию ), то оценка коэффициента наклона

${\hat {\beta }}_{x}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,$

который сходится как размер выборки $T$ увеличивается без связанного:

${\hat {\beta }}_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.$

Это в отличие от «истинного» эффекта $\beta$, оценивается с использованием $x_{t}^{*}$,:

${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})^{2}}}\,,$

Отклонения неотрицательны, так что в пределах оцененный ${\hat {\beta }}_{x}$ меньше ${\hat {\beta }}$, эффект, который статистики называют ослаблением или разведением регрессии . Таким образом, «наивная» оценка наименьших квадратов ${\hat {\beta }}_{x}$ является непоследовательной оценкой для $\beta$Полем Однако, ${\hat {\beta }}_{x}$ является последовательной оценкой параметра, необходимого для лучшего линейного предиктора $y$ Учитывая наблюдение $x_{t}$: В некоторых приложениях это может быть то, что требуется, а не оценка «истинного» коэффициента регрессии $\beta$, хотя это предполагает, что дисперсия ошибок в оценке и прогнозировании идентична. Это следует непосредственно из результата, указанного непосредственно выше, и того факта, что коэффициент регрессии, относящийся к $y_{t}$′ С фактически наблюдаемым $x_{t}$S, в простой линейной регрессии, дается

$\beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}.$

Это этот коэффициент, а не $\beta$, это потребуется для построения предиктора $y$ на основе наблюдаемого $x$ который подлежит шуму.

Можно утверждать, что почти все существующие наборы данных содержат ошибки различной природы и величины, так что смещение ослабления чрезвычайно часто (хотя при многомерной регрессии направление смещения является неоднозначным ) Джерри Хаусман рассматривает это как железный закон эконометрики : «Величина оценки обычно меньше, чем ожидалось».

Спецификация

Обычно модели ошибок измерения описаны с использованием подхода скрытых переменных . Если $y$ является переменной ответа и $x$ наблюдаются значения регрессоров, тогда предполагается, что существуют некоторые скрытые переменные $y^{*}$ и $x^{*}$ модели которые следуют за «истинными» функциональными отношениями $g(\cdot )$и так, что наблюдаемые величины являются их шумными наблюдениями:

${\begin{cases}y^{*}=g(x^{*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}$

где $\theta$ модели параметр и $w$ Являются ли те регрессоры, которые, как предполагается, являются без ошибок (например, когда линейная регрессия содержит перехват, регрессор, который соответствует константу, безусловно, не имеет «ошибок измерения»). В зависимости от спецификации эти без ошибки регрессоры могут или не могут рассматриваться отдельно; В последнем случае просто предполагается, что соответствующие записи в матрице дисперсии $\eta$'a Zero.

Переменные $y$, $x$, $w$ все наблюдаются , что означает, что статистик обладает данных набором $n$ статистические единицы $\left\{y_{i},x_{i},w_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n}$ которые следуют процессу генерирования данных, описанный выше; скрытые переменные $x^{*}$, $y^{*}$, $\varepsilon$, и $\eta$ однако не наблюдаются.

Эта спецификация не охватывает все существующие модели ошибок. Например, в некоторых из них функционируют $g(\cdot )$ может быть непараметрическим или полупараметрическим. Другие подходы моделируют взаимосвязь между $y^{*}$ и $x^{*}$ как распределение вместо функционального, то есть они предполагают, что $y^{*}$ условно на $x^{*}$ следует определенному (обычно параметрическому) распределению.

Терминология и предположения

• Наблюдаемая переменная $x$ может называться манифестом , индикатором или прокси -переменной .
• Неисправная переменная $x^{*}$ может называться скрытой или истинной переменной. Это может рассматриваться как неизвестная константа (в этом случае модель называется функциональной моделью ), либо как случайная величина (соответственно структурная модель ).
• Взаимосвязь между ошибкой измерения $\eta$ и скрытая переменная $x^{*}$ может быть смоделирован по -разному:
  • Классические ошибки : $\eta \perp x^{*}$ Ошибки не зависят от скрытой переменной. Это наиболее распространенное предположение, оно подразумевает, что ошибки вводятся измерительным устройством, и их величина не зависит от измеренного значения.
  • Средняя независимость : $\operatorname {E} [\eta |x^{*}]\,=\,0,$ Ошибки являются средне-нулевыми для каждого значения скрытого регрессора. Это менее ограничительное предположение, чем классическое, поскольку это позволяет присутствовать гетероскедастичности или других эффектов в ошибках измерения.
  • Ошибки Берксона : $\eta \,\perp \,x,$ Ошибки не зависят от наблюдаемого регрессора x . Это предположение имеет очень ограниченную применимость. Одним из примеров являются ошибки округления: например, если возраст человека* является непрерывной случайной величиной , тогда как наблюдаемый возраст усекается до следующего наименьшего целого числа, то ошибка усечения приблизительно не зависит от наблюдаемого возраста . Другая возможность - эксперимент с фиксированным дизайном: например, если ученый решает провести измерение в определенный момент времени. $x$, скажем в $x=10s$, тогда реальное измерение может произойти при каком -то другом значении $x^{*}$ (Например, из -за ее конечного времени реакции) и такая ошибка измерения, как правило, не зависит от «наблюдаемого» значения регрессора.
  • Ошибки неправильной классификации : особый случай, используемый для фиктивных регрессоров . Если $x^{*}$ является индикатором определенного события или состояния (например, человек - это мужчина/женщина, некоторое медицинское лечение/нет и т. Д.), тогда ошибка измерения в таком регрессоре будет соответствовать неверной классификации, аналогичной ошибкам типа I и типа II в статистическом тестировании. В этом случае ошибка $\eta$ может занять только 3 возможных значения, а его распределение условное на $x^{*}$ моделируется с двумя параметрами: $\alpha =\operatorname {Pr} [\eta =-1|x^{*}=1]$, и $\beta =\operatorname {Pr} [\eta =1|x^{*}=0]$Полем Необходимым условием для идентификации является то, что $\alpha +\beta <1$Это неправильная классификация не должна происходить «слишком часто». (Эта идея может быть обобщена для дискретных переменных с более чем двумя возможными значениями.)

Линейная модель

В первую очередь были изучены линейные ошибки в разных моделях, вероятно, потому, что линейные модели были настолько широко использованы, и они легче, чем нелинейные. В отличие от стандартной регрессии наименьших квадратов (OLS), расширение ошибок в регрессии переменных (EIV) от простых до многофункционального случая не является простым, если только кто -то не рассматривает все переменные одинаково, т. Е. Принимают достоверность.

Простая линейная модель

Простые линейные ошибки в исходных условиях уже были представлены в разделе «Мотивация»:

${\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t},\end{cases}}$

где все переменные скалярны . Здесь α и β представляют собой интересующие параметры, тогда как σ _ε и σ _η - стандартные отклонения терминов ошибки - являются параметрами неприятностей . «Истинный» регрессор X* рассматривается как случайная переменная ( структурная модель), независимо от ошибки измерения η ( классическое предположение).

Эта модель идентифицируется в двух случаях: (1) либо скрытый регрессор x* обычно не распределяется , (2) или x* не имеет нормального распределения, но ни ε _t , ни η _t не делится при нормальном распределении. То есть параметры α , β можно последовательно оцениваться по набору данных $\scriptstyle (x_{t},\,y_{t})_{t=1}^{T}$ Без какой -либо дополнительной информации при условии, что скрытый регрессор не является гауссовым.

До того, как этот результат идентификации был установлен, статистики попытались применить метод максимального правдоподобия , предполагая, что все переменные являются нормальными, а затем пришли к выводу, что модель не идентифицирована. Предлагаемое лекарство должно было предположить , что некоторые параметры модели известны или могут быть оценены из внешнего источника. Такие методы оценки включают

• Деминг регрессия - предполагает, что отношение Δ = σ² _ε / σ² _η известно. Это может быть подходящим, например, когда ошибки в Y и X вызваны измерениями, и известна точность измерительных устройств или процедур. Случай, когда Δ = 1 также известен как ортогональная регрессия .
• Регрессия с известным коэффициентом надежности λ = σ² _∗ / ( σ² _η + σ² _∗ ), где σ² _∗ является дисперсией скрытого регрессора. Такой подход может быть применим, например, при повторении измерений одной и той же единицы доступны или когда коэффициент надежности был известен из независимого исследования. В этом случае последовательная оценка наклона равна оценке наименьших квадратов, деленной на λ .
• Регрессия с известным σ² _η может возникнуть, когда известен источник ошибок в x и их дисперсию можно рассчитать. Это может включать ошибки округления или ошибки, введенные измерительным устройством. Когда σ² _η известно, мы можем вычислить коэффициент надежности как λ = ( σ² _x - σ² _η ) / σ² _x и уменьшить проблему до предыдущего случая.

Методы оценки, которые не предполагают знания о некоторых параметрах модели, включают

• Метод моментов- оценка GMM на основе третьего (или более высокого) порядок кумулянтов суставов наблюдаемых переменных. Коэффициент наклона может быть оценен по

  ${\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1}+1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,$

  где ( n ₁ , n ₂ ) таковы, что k ( n ₁ +1, n ₂ ) - кумулянт сустава ( x , y ) - не равна нулю. В случае, когда третий центральный момент скрытого регрессора x* не нулевой, формула сводится к

  ${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .$

• Инструментальные переменные - была доступна регрессия, которая требует, чтобы определенные дополнительные переменные данных Z , называемые инструментами . Эти переменные должны быть некоррелированы с ошибками в уравнении для зависимой (результата) переменной ( допустимым ), и они также должны быть коррелированы ( актуально ) с истинными регрессорами x* . Если такие переменные можно найти, то оценщик принимает форму
  ${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(x_{t}-{\bar {x}})}}\ .$
• Геометрические средние функциональные отношения. Это рассматривает обе переменные как имеющие одинаковую надежность. Полученным наклоном является среднее геометрическое значение обычного наклона наименьших квадратов и наклона обратного наименьшего квадрата, то есть две красные линии на диаграмме.

Многовариантная линейная модель

Многовариантная модель выглядит точно так же, как простая линейная модель, только на этот раз β , η _t , x _t и x* _t являются K × векторами 1.

${\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta 'x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}$

В случае, когда ( ε _t , η _t ) совместно нормально, параметр β не идентифицируется тогда, если и только если есть не-симулярная K × k матрица блока [ A ], где a - вектор × 1 такой что A'x* распределяется нормально и независимо от A'x* . В случае, когда ε _t , η _t1 , ..., η _tk, взаимно независимы, параметр β не идентифицируется тогда и только тогда, когда в дополнение к условиям выше некоторых ошибок может быть записано как сумма двух независимых переменных один из которых нормальный.

Некоторые из методов оценки для многовариантных линейных моделей

• Общее наименьшее квадраты - это расширение регрессии Деминга на многомерную настройку. все компоненты K +1 вектора ( , η ) отклонения и являются независимы Когда имеют равные ε Точки ( y _t , x _t ) и k -мерная гиперплоскость «наилучшей подгонки».
• Метод моментов оценки может быть сконструировано на основе моментных условий e [ z _t · ( y _t - α - β'x _t )] = 0, где (5 K +3) -мерный вектор инструментов z _t определяется как

  ${\begin{aligned}&z_{t}=\left(1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}'\right)',\quad {\text{where}}\\&z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&z_{t3}=y_{t}^{2}\\&z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}\\&z_{t5}=x_{t}\circ x_{t}y_{t}-2{\big (}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}$

  где $\circ$ Определяет продукт хадамарда матриц, и переменные X _T , Y _T были предварительно оснащены. Авторы метода предлагают использовать модифицированный IV оценщик Fuller.
  

  Этот метод может быть расширен для использования моментов выше третьего порядка, если это необходимо, и для размещения переменных, измеренных без ошибок.
• Подход « Инструментальные переменные» , чтобы мы находили дополнительные переменные данных Z _T , которые служат инструментами для неправильных регрессоров x _T. требует Этот метод является самым простым с точки зрения реализации, однако его недостаток заключается в том, что он требует сбора дополнительных данных, которые могут быть дорогостоящими или даже невозможными. Когда инструменты можно найти, оценщик принимает стандартную форму

  ${\hat {\beta }}={\big (}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X{\big )}^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y.$

• Беспристрастный подход к подходу обрабатывает все переменные одинаковым образом, предполагая одинаковую надежность и не требует какого -либо различия между объяснительными переменными и переменными ответа, поскольку полученное уравнение может быть перестановлено. Это самая простая модель ошибок измерения, и это обобщение геометрического среднего функционального отношения, упомянутого выше для двух переменных. Это только требует, чтобы ковариации были рассчитаны, и поэтому можно оценить с использованием основных функций электронных таблиц.

Нелинейные модели

Общая нелинейная модель ошибок измерения принимает форму

${\begin{cases}y_{t}=g(x_{t}^{*})+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}$

Здесь функция G может быть либо параметрической, либо непараметрической. Когда функция G является параметрической, она будет записана как g ( x *, β ).

Для общего векторного регрессора x* условия для идентификации модели не известны. Однако в случае скалярного x* модель идентифицирована, если функция g не имеет «логической экспоненциальной» формы

$g(x^{*})=a+b\ln {\big (}e^{cx^{*}}+d{\big )}$

и скрытый регрессор x* имеет плотность

$f_{x^{*}}(x)={\begin{cases}Ae^{-Be^{Cx}+CDx}(e^{Cx}+E)^{-F},&{\text{if}}\ d>0\\Ae^{-Bx^{2}+Cx}&{\text{if}}\ d=0\end{cases}}$

где константы a , b , c , d , e , f могут зависеть от A , b , c , d .

Несмотря на этот оптимистичный результат, на данный момент не существует никаких методов для оценки нелинейных моделей ошибок без каких-либо посторонней информации. Однако есть несколько методов, которые используют некоторые дополнительные данные: либо инструментальные переменные, либо повторные наблюдения.

Инструментальные переменные методы

• Метод смоделированных моментов Ньюи Для параметрических моделей - требует, чтобы был дополнительный набор наблюдаемых предикторов z _t , чтобы истинный регрессор мог быть выражен как

  $x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},$

  где π ₀ и σ ₀ являются (неизвестны) постоянными матрицами и ζ _t ⊥ z _t . Коэффициент π ₀ может быть оценен с использованием стандартной наименьших квадратов регрессии x на z . Распределение ζ _T неизвестно, однако мы можем моделировать его как принадлежащее гибкому параметрическому семейству - серия Edgeworth :

  $f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}$

  где ϕ является стандартным нормальным распределением.

  Смоделированные моменты могут быть рассчитаны с использованием алгоритма выборки важности : сначала мы генерируем несколько случайных переменных { v _ts ~ ϕ , s = 1,…, s , t = 1,…, t } из стандартного нормального распределения, затем мы вычисляем моменты При наблюдении ​

  $m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},$

  где θ = ( β , σ , γ ), A -это лишь некоторая функция инструментальных переменных z , а H -двухкомпонентный вектор моментов

  ${\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}$

  С моментами функции M _T можно применить стандартную методику GMM для оценки неизвестного параметра θ .

Повторные наблюдения

два (или, может быть, больше) повторных наблюдения регрессора x* В этом подходе доступны . Оба наблюдения содержат свои собственные ошибки измерения, однако эти ошибки должны быть независимыми:

${\begin{cases}x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}$

где x* ⊥ η ₁ ⊥ η ₂ . Переменные η ₁ , η ₂ не должны быть одинаковыми распределены (хотя, если они являются эффективностью оценщика могут быть немного улучшены). При только этих двух наблюдениях можно последовательно оценивать функцию плотности x*, Котларского используя технику деконволюции .

• Метод условной плотности Ли для параметрических моделей. Уравнение регрессии может быть записано в терминах наблюдаемых переменных как

  $\operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},$

  где можно было бы вычислить интеграл, если бы мы знали функцию условной плотности ƒ _{x*| x} . Если эта функция может быть известна или оценена, то проблема превращается в стандартную нелинейную регрессию, которая может быть оценена, например, с использованием метода NLLS .
  Предполагая, что для простоты, что η ₁ , η ₂ идентично распределены, эта условная плотность может быть рассчитана как

  ${\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},$

  где с небольшим злоупотреблением обозначениями x _J обозначает J -один компонент вектора.
  Все плотности в этой формуле могут быть оценены с использованием инверсии эмпирических характерных функций . В частности,

  ${\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{aligned}}$

  Чтобы инвертировать эту характерную функцию, необходимо применить обратное преобразование Фурье, с параметром обрезки C, необходимым для обеспечения численной стабильности. Например:

  ${\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.$

• Оценка Шеннаха для параметрической модели линейно-в-параметров нелинейно-впальных. Это модель формы
  ${\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}$

  где w _t представляет переменные, измеренные без ошибок. Регрессор X* здесь скалярно (метод может быть расширен до случая вектора X* ).
  Если бы не ошибки измерения, это была бы стандартная линейная модель с оценкой

  ${\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],$

  где

  $\xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).$

  Оказывается, что все ожидаемые значения в этой формуле оцениваются с использованием того же уловка деконволюции. В частности, для общего наблюдаемого w _t (который может быть 1, w _{1 t} ,…, w _{ℓ t} или y _t ) и некоторая функция h (что может представлять собой любую g _j или g _i g _j ), у нас есть

  $\operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,$

  где φ _h - это преобразование Фурье H характерных ( x* ), но использует то же соглашение, что и для функций ,

  $\varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx$,

  и

  $\psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv$

  Полученная оценка $\scriptstyle {\hat {\beta }}$ является последовательным и асимптотически нормальным.
• Оценка Шеннаха для непараметрической модели. Стандартная оценка Надарая -Уотсон для непараметрической модели принимает форму

  ${\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},$

  Для подходящего выбора ядра K и полосы пропускания h . Оба ожидания здесь могут быть оценены с использованием той же техники, что и в предыдущем методе.

Дальнейшее чтение

• Догерти, Кристофер (2011). «Стохастические регрессоры и ошибки измерения» . Введение в эконометрику (четвертое изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 300–330. ISBN  978-0-19-956708-9 .
• Kmenta, Jan (1986). «Оценка с дефицитными данными» . Элементы эконометрики (второе изд.). Нью -Йорк: Макмиллан. С. 346–391 . ISBN  978-0-02-365070-3 .
• Шеннах, Сюзанна (2013). «Ошибка измерения в нелинейных моделях - обзор». В Acemoglu, Дарон; Ареллано, Мануэль; Dekel, Eddie (Eds.). Достижения в области экономики и эконометрики . Издательство Кембриджского университета. С. 296–337. doi : 10.1017/cbo9781139060035.009 . HDL : 10419/79526 . ISBN  9781107017214 .

Внешние ссылки

• Исторический обзор линейной регрессии с ошибками в обеих переменных , JW Gillard 2006
• Лекция по эконометрике (тема: стохастические регрессоры и ошибка измерения) на YouTube от Марка Тома .