Суммирование по частям

В математике преобразует суммирование по частям суммирование произведений последовательностей в другие суммирования, часто упрощая вычисление или (особенно) оценку определенных типов сумм. Ее также называют леммой Абеля или преобразованием Абеля , в честь Нильса Хенрика Абеля, который представил ее в 1826 году. ^[1]

Заявление

Предполагать $\{f_{k}\}$ и $\{g_{k}\}$ это две последовательности . Затем,

\sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}).

Использование оператора прямой разницы $\Delta$ , более кратко это можно сформулировать как

\sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},

Суммирование по частям является аналогом интегрирования по частям :

\int f\,dg=fg-\int g\,df,

или формуле суммирования Абеля :

\sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.

Альтернативное утверждение:

f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}

что аналогично формуле интегрирования по частям для семимартингалов .

Хотя приложения почти всегда имеют дело со сходимостью последовательностей, это утверждение является чисто алгебраическим и будет работать в любой области . Также это будет работать, когда одна последовательность находится в векторном пространстве , а другая — в соответствующем поле скаляров.

серия Ньютона

Иногда формула дается в одной из этих, немного отличающихся друг от друга, форм.

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}

которые представляют собой частный случай ( $M=1$ ) более общего правила

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}

оба являются результатом многократного применения исходной формулы. Вспомогательные величины представляют собой ряды Ньютона :

f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}

и

G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},

{\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.

Особый ( $M=n+1$ ) результат – тождество

\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.

Здесь, ${\textstyle {n \choose k}}$ – биномиальный коэффициент .

Метод

Для двух заданных последовательностей $(a_{n})$ и $(b_{n})$ , с $n\in \mathbb {N}$ , нужно изучить сумму следующего ряда: $S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}$

Если мы определим ${\textstyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$ тогда для каждого $n>0,$ $b_{n}=B_{n}-B_{n-1}$ и $S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),$ $S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).$

Окончательно ${\textstyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Этот процесс, называемый преобразованием Абеля, можно использовать для доказательства нескольких критериев сходимости $S_{N}$ .

Сходство с интегрированием по частям

Формула интегрирования по частям: ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$ .

Помимо граничных условий заметим, что первый интеграл содержит две умноженные функции, одна из которых интегрируется в итоговый интеграл ( $g'$ становится $g$ ) и тот, который дифференцирован ( $f$ становится $f'$ ).

Процесс преобразования Абеля аналогичен, так как суммируется одна из двух исходных последовательностей ( $b_{n}$ становится $B_{n}$ ), а другой разный ( $a_{n}$ становится $a_{n+1}-a_{n}$ ).

Приложения

Он используется для доказательства леммы Кронекера , которая, в свою очередь, используется для доказательства версии усиленного закона больших чисел при ограничениях дисперсии .
Его можно использовать для доказательства теоремы Никомаха о том, что сумма первых $n$ кубов равен квадрату суммы первых $n$ положительные целые числа. ^[2]
Суммирование по частям часто используется для доказательства теоремы Абеля и критерия Дирихле .
Эту технику можно также использовать для доказательства критерия Абеля : если ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ является сходящимся рядом и $a_{n}$ ограниченная монотонная последовательность , то ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$ сходится.

Доказательство теста Абеля. Суммирование по частям дает ${\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}$ где а — предел $a_{n}$ . Как ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ является сходящимся, $B_{N}$ ограничено независимо от $N$ , скажем по $B$ . Как $a_{n}-a$ перейти к нулю, поэтому перейдите к первым двум слагаемым. Третий член стремится к нулю по критерию Коши для ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ . Оставшаяся сумма ограничена $\sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|$ по монотонности $a_{n}$ , а также стремится к нулю при $N\to \infty$ .

Используя то же доказательство, что и выше, можно показать, что если

частичные суммы $B_{N}$ образуют ограниченную последовательность независимо от $N$ ;
$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty$ (так что сумма $\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|$ стремится к нулю, так как $N$ уходит в бесконечность)
$\lim a_{n}=0$

затем ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$ сходится.

В обоих случаях сумма ряда удовлетворяет: $|S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.$

Операторы суммирования по частям для методов конечных разностей высокого порядка

Конечно-разностный оператор суммирования по частям (SBP) обычно состоит из центрированной разностной внутренней схемы и определенных граничных шаблонов, которые имитируют поведение соответствующей формулировки интегрирования по частям. ^[3]^[4] Граничные условия обычно задаются с помощью метода одновременного приближения (SAT). ^[5] Комбинация SBP-SAT представляет собой мощную основу для обработки границ. Этот метод предпочтителен из-за хорошо зарекомендовавшей себя стабильности при длительном моделировании и высокого порядка точности.

См. также

Ссылки

^ Чу, Вэньчан (2007). «Лемма Абеля о суммировании по частям и основные гипергеометрические ряды» . Достижения прикладной математики . 39 (4): 490–514. дои : 10.1016/j.aam.2007.02.001 .
^ Эдмондс, Шейла М. (1957). «Суммы степеней натуральных чисел». Математический вестник . 41 (337): 187–188. дои : 10.2307/3609189 . JSTOR 3609189 . МР 0096615 .
^ Стрэнд, Бо (январь 1994 г.). «Суммирование по частям для конечно-разностных приближений для d/dx». Журнал вычислительной физики . 110 (1): 47–67. дои : 10.1006/jcph.1994.1005 .
^ Мэттссон, Кен; Нордстрем, Ян (сентябрь 2004 г.). «Операторы суммирования по частям для конечно-разностных аппроксимаций вторых производных». Журнал вычислительной физики . 199 (2): 503–540. дои : 10.1016/j.jcp.2004.03.001 .
^ Карпентер, Марк Х.; Готлиб, Дэвид; Абарбанель, Саул (апрель 1994 г.). «Устойчивые во времени граничные условия для конечно-разностных схем решения гиперболических систем: методология и применение к компактным схемам высокого порядка». Журнал вычислительной физики . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . дои : 10.1006/jcph.1994.1057 .

Библиография

Абель, Нильс Хенрик (1826). «Расследования о сериале $1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots$ usw». Дж. Рейн Ангью. Математика 1 : 311–339.

[1] Чу, Вэньчан (2007). «Лемма Абеля о суммировании по частям и основные гипергеометрические ряды» . Достижения прикладной математики . 39 (4): 490–514. дои : 10.1016/j.aam.2007.02.001 .

[2] Эдмондс, Шейла М. (1957). «Суммы степеней натуральных чисел». Математический вестник . 41 (337): 187–188. дои : 10.2307/3609189 . JSTOR 3609189 . МР 0096615 .

[3] Стрэнд, Бо (январь 1994 г.). «Суммирование по частям для конечно-разностных приближений для d/dx». Журнал вычислительной физики . 110 (1): 47–67. дои : 10.1006/jcph.1994.1005 .

[4] Мэттссон, Кен; Нордстрем, Ян (сентябрь 2004 г.). «Операторы суммирования по частям для конечно-разностных аппроксимаций вторых производных». Журнал вычислительной физики . 199 (2): 503–540. дои : 10.1016/j.jcp.2004.03.001 .

[5] Карпентер, Марк Х.; Готлиб, Дэвид; Абарбанель, Саул (апрель 1994 г.). «Устойчивые во времени граничные условия для конечно-разностных схем решения гиперболических систем: методология и применение к компактным схемам высокого порядка». Журнал вычислительной физики . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . дои : 10.1006/jcph.1994.1057 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]