Инвариантное подпространство

В математике инвариантное подпространство линейного отображения T : V → V , т. е. некоторого векторного пространства V в себя, представляет собой подпространство W в V , которое сохраняется T . В более общем смысле, инвариантное подпространство для набора линейных отображений — это подпространство, сохраняемое каждым отображением индивидуально.

Для одного оператора

Рассмотрим векторное пространство $V$ и линейная карта $T:V\to V.$ Подпространство $W\subseteq V$ называется инвариантным подпространством для $T$ или, что то же самое, $T$ -инвариант, если $T$ преобразует любой вектор $\mathbf {v} \in W$ обратно $В.$ в В формулах это можно записать $\mathbf {v} \in W\implies T(\mathbf {v} )\in W$ или ^[1] $TW\subseteq W{\text{.}}$

случае $T$ ограничивается эндоморфизмом этом W $:$ В ^[2] $T|_{W}:W\to W{\text{;}}\quad T|_{W}(\mathbf {w} )=T(\mathbf {w} ){\text{.}}$

Существование инвариантного подпространства имеет также матричную формулировку . Выберите базис C для W его до базиса B из V. и дополните Относительно $B$ оператор $T$ имеет вид $T={\begin{bmatrix}T|_{W}&T_{12}\\0&T_{22}\end{bmatrix}}$ для некоторых $Т 12$ и $Т 22$ .

Примеры

Любая линейная карта $T:V\to V$ допускает следующие инвариантные подпространства:

Векторное пространство $V$ , потому что $T$ отображает каждый вектор в $V$ в $V.$
Набор $\{0\}$ , потому что $T(0)=0$ .

Это несобственные и тривиальные инвариантные подпространства соответственно. Некоторые линейные операторы не имеют собственного нетривиального инвариантного подпространства: например, вращение двумерного вещественного векторного пространства. Однако ось вращения в трех измерениях всегда является инвариантным подпространством.

1-мерные подпространства

Если $U$ — одномерное инвариантное подпространство для оператора $T$ с вектором $v \in U$ , то векторы $v$ и $T v$ должны быть линейно зависимыми . Таким образом $\forall \mathbf {v} \in U\;\exists \alpha \in \mathbb {R} :T\mathbf {v} =\alpha \mathbf {v} {\text{.}}$ Фактически скаляр $α$ не зависит от $v$ .

Приведенное выше уравнение формулирует проблему собственных значений . Любой собственный вектор T $.$ охватывает одномерное инвариантное подпространство, и наоборот В частности, ненулевой инвариантный вектор (т.е. фиксированная точка T ) охватывает инвариантное подпространство размерности 1.

Как следствие фундаментальной теоремы алгебры , каждый линейный оператор в ненулевом конечномерном комплексном векторном пространстве имеет собственный вектор. Следовательно, каждый такой линейный оператор хотя бы в двух измерениях имеет собственное нетривиальное инвариантное подпространство.

Диагонализация через проекции

Определение того, является ли данное подпространство W инвариантным относительно T, является якобы проблемой геометрической природы. Матричное представление позволяет сформулировать эту проблему алгебраически.

Запишите $V$ как прямую сумму $W \oplus W'$ ; подходящий $W можно выбрать ,$ расширив базис $W.$ всегда Соответствующий оператор проектирования P на W имеет матричное представление

P={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}W\\\oplus \\W'\end{matrix}}.

Непосредственный расчет показывает, что W - инвариантен $T$ тогда и только тогда, когда PTP = TP .

Если 1 — тождественный оператор , то $1- P$ — проекция на $W'$ . Уравнение $TP = PT$ выполняется тогда и только тогда, когда оба im( P ) и im(1 − P ) инвариантны относительно T . В этом случае T имеет матричное представление $T={\begin{bmatrix}T_{11}&0\\0&T_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {im} (P)\\\oplus \\\operatorname {im} (1-P)\end{matrix}}\;.$

В разговорной речи проекция, коммутирующая с T, «диагонализирует» T .

Решетка подпространств

Как показывают приведенные выше примеры, инвариантные подпространства данного линейного преобразования T проливают свет на структуру T . Когда V — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем , линейные преобразования, действующие на , характеризуются (с точностью до подобия) жордановой канонической формой , которая разлагает V на инвариантные подпространства в T. V Многие фундаментальные вопросы, касающиеся , можно перевести в вопросы об инвариантных подпространствах T. T

Набор $T$ -инвариантных подпространств $V$ иногда называют решеткой инвариантных подпространств T $и$ пишут $Lat(T)$ . Как следует из названия, это ( модульная ) решетка с узлами и соединениями, заданными (соответственно) пересечением множеств и линейным пролетом . Минимальный элемент в $Lat(T)$ называется минимальным инвариантным подпространством .

При изучении бесконечномерных операторов $Lat(T)$ иногда ограничивается только замкнутыми инвариантными подпространствами.

Для нескольких операторов

Для набора $T$ операторов подпространство называется $T$ -инвариантным, если оно инвариантно относительно каждого $T \in T$ .

Как и в случае с одним оператором, решетка инвариантных подпространств $T$ , записанная $Lat(T)$ , представляет собой набор всех $T$ -инвариантных подпространств и выполняет те же операции встречи и соединения. Теоретико-множество — это пересечение $\mathrm {Lat} ({\mathcal {T}})=\bigcap _{T\in {\mathcal {T}}}{\mathrm {Lat} (T)}{\text{.}}$

Примеры

Пусть $End(V)$ — множество всех линейных операторов на $V$ . Тогда $Lat(End(V))={0, V}$ .

Учитывая представление группы ( G в векторном пространстве V , мы имеем линейное преобразование T → g ): V каждого V для g из G. элемента Если подпространство W в V инвариантно относительно всех этих преобразований, то оно является подпредставлением и группа G действует на W естественным образом. Та же конструкция применима и к представлениям алгебры .

В качестве другого примера, пусть $T \in End(V)$ и $Σ$ — алгебра, порожденная {1, T }, где 1 — тождественный оператор. Тогда Lat( T ) = Lat(Σ).

Основная теорема некоммутативной алгебры

Подобно тому, как фундаментальная теорема алгебры гарантирует, что каждое линейное преобразование, действующее в конечномерном комплексном векторном пространстве, имеет нетривиальное инвариантное подпространство, фундаментальная теорема некоммутативной алгебры утверждает, что Lat(Σ) содержит нетривиальные элементы для некоторых Σ.

Теорема (Бернсайда) . Предположим, что $V$ — комплексное векторное пространство конечной размерности. Для каждой собственной подалгебры $Σ$ в $End(V)$ , $Lat(Σ)$ содержит нетривиальный элемент.

Одним из следствий является то, что каждое коммутирующее семейство в L ( V ) может быть одновременно треугольизировано сверху . Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что верхнетреугольное матричное представление соответствует флагу инвариантных подпространств, что коммутирующее семейство порождает коммутирующую алгебру и что $End(V)$ не является коммутативным, когда $dim(V) \geq 2$ .

Левые идеалы

Если A — алгебра , можно определить левое регулярное представление Φ на A : Φ( a ) b = ab — гомоморфизм из A в L ( A ) , алгебра линейных преобразований на A

Инвариантные подпространства Φ являются в точности левыми идеалами A . Левый идеал A дает M подпредставление A на M .

Если M — левый идеал A , то левое регулярное представление Φ на M теперь сводится к представлению Φ' в фактор-векторном пространстве A / M . Если [ b ] обозначает класс эквивалентности в A / M , Φ'( a )[ b ] = [ ab ]. Ядром представления Φ' является множество { a ∈ A | ab ∈ M для всех b }.

Представление Φ' неприводимо тогда и только тогда, когда M — максимальный левый идеал, поскольку подпространство V ⊂ A / M является инвариантом относительно {Φ'( a ) | a ∈ A } тогда и только тогда, когда его при фактор отображении - V + M является левым идеалом в A. прообраз

Проблема инвариантного подпространства

Проблема инвариантного подпространства касается случая, когда V — сепарабельное гильбертово пространство над комплексными числами размерности > 1, а T — ограниченный оператор . Проблема состоит в том, чтобы решить, имеет ли каждое такое T нетривиальное, замкнутое, инвариантное подпространство. Это неразрешимо.

В более общем случае, когда V считается банаховым пространством , Пер Энфло (1976) нашел пример оператора без инвариантного подпространства. Конкретный пример оператора без инвариантного подпространства был создан в 1985 году Чарльзом Ридом .

Почти инвариантные полупространства

С инвариантными подпространствами связаны так называемые почти-инвариантные полупространства ( AIHS ). Закрытое подпространство $Y$ банахова пространства $X$ называется почти инвариантным относительно оператора $T\in {\mathcal {B}}(X)$ если $TY\subseteq Y+E$ для некоторого конечномерного подпространства $E$ ; эквивалентно, $Y$ почти инвариантен относительно $T$ если существует оператор конечного ранга $F\in {\mathcal {B}}(X)$ такой, что $(T+F)Y\subseteq Y$ , то есть если $Y$ инвариантен (в обычном смысле) относительно $T+F$ . В этом случае минимально возможный размер $E$ (или звание $F$ ) называется дефектом .

Ясно, что всякое конечномерное и конечнокомерное подпространство почти инвариантно относительно любого оператора. Таким образом, чтобы сделать вещи нетривиальными, мы говорим, что $Y$ является полупространством, если оно является замкнутым подпространством с бесконечной размерностью и бесконечной коразмерностью.

Проблема AIHS заключается в том, признает ли каждый оператор AIHS. В комплексной постановке она уже решена; то есть, если $X$ представляет собой комплексное бесконечномерное банахово пространство и $T\in {\mathcal {B}}(X)$ затем $T$ допускает AIHS дефекта не более 1. В настоящее время неизвестно, справедливо ли то же самое, если $X$ является реальным банаховым пространством. Однако были установлены некоторые частичные результаты: например, любой самосопряженный оператор в бесконечномерном вещественном гильбертовом пространстве допускает АИГС, как и любой строго сингулярный (или компактный) оператор, действующий в вещественном бесконечномерном рефлексивном пространстве.

См. также

Ссылки

^ Роман 2008 , с. 73 §2
^ Роман 2008 , с. 73 §2

Источники

Абрамович Юрий А.; Алипрантис, Хараламбос Д. (2002). Приглашение к теории операторов . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2146-6 .

Бозами, Бернар (1988). Введение в теорию операторов и инвариантные подпространства . Северная Голландия.

Энфло, Пер ; Ломоносов, Виктор (2001). «Некоторые аспекты проблемы инвариантного подпространства». Справочник по геометрии банаховых пространств . Том. I. Амстердам: Северная Голландия. стр. 533–559.

Гохберг, Израиль; Ланкастер, Питер; Родман, Лейба (2006). Инвариантные подпространства матриц с приложениями . Классика прикладной математики. Том. 51 (Перепечатка со списком опечаток и новым предисловием изд. Wiley 1986 г.). Общество промышленной и прикладной математики (SIAM). стр. XXII+692. ISBN 978-0-89871-608-5 .

Любич, Юрий И. (1988). Введение в теорию банаховых представлений групп (Перевод из русскоязычного изд. 1985 г.). Харьков, Украина: Birkhäuser Verlag.

Раджави, Гейдар; Розенталь, Питер (2003). Инвариантные подпространства (обновление от 1973 г., изд. Springer-Verlag). Дуврские публикации. ISBN 0-486-42822-2 .

Роман, Стивен (2008). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (Третье изд.). Спрингер. ISBN 978-0-387-72828-5 .

[1] Роман 2008 , с. 73 §2

[2] Роман 2008 , с. 73 §2

[1]

[2]