Коэффициент богатого клуба

Коэффициент богатого клуба — это показатель графов и сетей , предназначенный для измерения степени, в которой хорошо связанные узлы также соединяются друг с другом. Говорят, что сети, которые имеют относительно высокий коэффициент богатого клуба, демонстрируют эффект богатого клуба и будут иметь множество связей между узлами высокой степени. Коэффициент клуба богатых был впервые введен в 2004 году в статье, посвященной топологии Интернета . ^[1]^[2]

Эффект «клуба богатых» был измерен и отмечен в сетях научного сотрудничества и сетях воздушного транспорта. Было показано, что ему существенно не хватает сетей взаимодействия белков .

Определение

Ненормализованная форма

Коэффициент богатого клуба был впервые представлен как немасштабированная метрика, параметризованная рангами степеней узлов. ^[1] Совсем недавно это было обновлено и теперь параметризовано в виде степеней узла k , что указывает на отсечение степени. Тогда коэффициент богатого клуба для данной сети N определяется как:

\phi (k)={\frac {2E_{>k}}{N_{>k}(N_{>k}-1)}}

( 1 )

^[3]^[4]^[5]

где $E_{>k}$ количество ребер между узлами степени, большей или равной k , и $N_{>k}$ — количество узлов со степенью, большей или равной k . Это измеряет количество ребер между узлами степени не ниже k , нормализованное по количеству ребер, которые могут быть между этими узлами в полном графе. Когда это значение близко к 1, для значений k, близких к $k_{max}$ , считается, что узлы сети высокой степени хорошо связаны. Соответствующий подграф узлов степени не ниже k также называется графом «Богатого клуба».

Нормализовано для рандомизации топологии.

Критика приведенного выше показателя заключается в том, что он не обязательно подразумевает существование эффекта клуба богатых, поскольку он монотонно возрастает даже для случайных сетей. В распределениях определенной степени невозможно избежать подключения концентраторов высокой степени. Чтобы учесть это, необходимо сравнить приведенную выше метрику с той же метрикой распределения степеней, сохраняющей рандомизированную версию сети. Этот обновленный показатель определяется как:

\rho _{rand}(k)={\frac {\phi (k)}{\phi _{rand}(k)}}

( 2 )

где $\phi _{rand}(k)$ — метрика богатого клуба в максимально рандомизированной сети с одинаковым распределением степеней $P(k)$ исследуемой сети. Это новое соотношение не учитывает неизбежные структурные корреляции , возникающие в результате распределения степеней, и дает лучший показатель значимости эффекта клуба богатых.

Для этой метрики, если для определенных значений k имеем $\rho _{rand}(k)>1$ , это означает наличие эффекта богатого клуба.

Обобщения

Общие свойства богатства

Естественным определением «богатства» узла является количество его соседей. Если вместо этого мы заменим это общей метрикой богатства в узлах r , то мы можем переписать немасштабированный коэффициент Rich-Club как:

\phi (r)={\frac {2E_{>r}}{N_{>r}(N_{>r}-1)}}

( 3 )

Вместо этого мы рассматриваем подграф только на узлах с мерой богатства не менее r . Например, в сетях научного сотрудничества, где богатство степеней (число соавторов) заменяется богатством степеней (количество опубликованных статей), топология графа богатого клуба кардинально меняется.

Связанные показатели

Ассортативность

Ассортативность сети — это измерение того, насколько связаны похожие узлы, при этом сходство обычно рассматривается с точки зрения степени узла. Rich-club можно рассматривать как более конкретное обозначение ассортативности, где нас интересует только связность узлов за пределами определенной метрики богатства. Например, если сеть состоит из совокупности узлов и спиц, где концентраторы хорошо связаны, такая сеть будет считаться дисассортативной. Однако из-за сильной связанности хабов в сети сеть будет демонстрировать эффект клуба богатых.

Приложения

Коэффициент богатого клуба сети полезен в качестве эвристического измерения надежности сети . Высокий коэффициент богатого клуба означает, что концентраторы хорошо связаны, а глобальная связь устойчива к удалению любого одного концентратора. Это также полезно для проверки теорий, которые обобщаются на другие сети. Например, постоянное наблюдение за высокими коэффициентами богатых клубов для сетей научного сотрудничества дополняет теорию о том, что внутри социальных групп элита склонна ассоциироваться друг с другом.

Реализации

Коэффициент богатого клуба был реализован в NetworkX , библиотеке Python для сетевого анализа. Эта реализация включает как ненормализованную, так и нормализованную формы, как описано выше.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Чжоу, Ши и Мондрагон, Рауль Дж. (2004). «Феномен богатого клуба в топологии Интернета». Коммуникационные письма IEEE . 8 (3): 180–182. arXiv : cs/0308036 . дои : 10.1109/lcomm.2004.823426 . S2CID 7007263 .
^ Маттиа Гаспарини, Хавьер Луис Кановас Искьердо, Роберт Кларисо, Марко Брамбилла, Хорди Кэбот: Анализ поведения богатых клубов в проектах с открытым исходным кодом . Протоколы OpenSym 2019
^ Колицца В., Фламмини А., Серрано М.А. и Веспиньяни А. (2006). «Обнаружение заказов богатых клубов в сложных сетях». Физика природы . 2. 2 (2): 110–115. arXiv : физика/0602134 . Бибкод : 2006NatPh...2..110C . дои : 10.1038/nphys209 . S2CID 2418153 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Маколи, Джулиан Дж. и да Фонтура Коста, Лучано и Каэтано, Тиберио С. (2007). «Феномен богатого клуба в сложных сетевых иерархиях». Письма по прикладной физике . 91 (8): 084103. arXiv : физика/0701290 . Бибкод : 2007АпФЛ..91х4103М . дои : 10.1063/1.2773951 . S2CID 16544534 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Опсал, Торе; Колицца, Виттория; Панзараса, Пьетро; Рамаско, Хосе Дж. (2008). «Известность и контроль: взвешенный эффект богатого клуба». Письма о физических отзывах . 101 (16): 168702. arXiv : 0804.0417 . Бибкод : 2008PhRvL.101p8702O . дои : 10.1103/physrevlett.101.168702 . ПМИД 18999722 . S2CID 29349737 .

Внешние ссылки

Документация NetworkX для функции коэффициента Rich Club

[rc_zhou-1] Перейти обратно: ^а ^б Чжоу, Ши и Мондрагон, Рауль Дж. (2004). «Феномен богатого клуба в топологии Интернета». Коммуникационные письма IEEE . 8 (3): 180–182. arXiv : cs/0308036 . дои : 10.1109/lcomm.2004.823426 . S2CID 7007263 .

[2] Маттиа Гаспарини, Хавьер Луис Кановас Искьердо, Роберт Кларисо, Марко Брамбилла, Хорди Кэбот: Анализ поведения богатых клубов в проектах с открытым исходным кодом . Протоколы OpenSym 2019

[rc_colizza-3] Колицца В., Фламмини А., Серрано М.А. и Веспиньяни А. (2006). «Обнаружение заказов богатых клубов в сложных сетях». Физика природы . 2. 2 (2): 110–115. arXiv : физика/0602134 . Бибкод : 2006NatPh...2..110C . дои : 10.1038/nphys209 . S2CID 2418153 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[rc_mcauley-4] Маколи, Джулиан Дж. и да Фонтура Коста, Лучано и Каэтано, Тиберио С. (2007). «Феномен богатого клуба в сложных сетевых иерархиях». Письма по прикладной физике . 91 (8): 084103. arXiv : физика/0701290 . Бибкод : 2007АпФЛ..91х4103М . дои : 10.1063/1.2773951 . S2CID 16544534 . {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[rc_weighted-5] Опсал, Торе; Колицца, Виттория; Панзараса, Пьетро; Рамаско, Хосе Дж. (2008). «Известность и контроль: взвешенный эффект богатого клуба». Письма о физических отзывах . 101 (16): 168702. arXiv : 0804.0417 . Бибкод : 2008PhRvL.101p8702O . дои : 10.1103/physrevlett.101.168702 . ПМИД 18999722 . S2CID 29349737 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]