показатель Херста

Показатель Херста используется как мера долговременной памяти временных рядов . Это связано с автокорреляцией временных рядов и скоростью, с которой они уменьшаются по мере увеличения задержки между парами значений. Исследования с использованием показателя Херста изначально были разработаны в гидрологии для практического определения оптимального размера плотины для неустойчивых условий дождя и засухи на реке Нил , которые наблюдались в течение длительного периода времени. Название «показатель Херста» или «коэффициент Херста» происходит от имени Гарольда Эдвина Херста (1880–1978), который был ведущим исследователем в этих исследованиях; использование стандартного обозначения H для коэффициента также связано с его именем.

Во фрактальной геометрии обобщенный показатель Херста был обозначен (1924–2010) как H или H _q в честь Гарольда Эдвина Херста и Людвига Отто Гёльдера (1859–1937) Бенуа Мандельбротом . H напрямую связан с фрактальной размерностью D и является мерой «мягкой» или «дикой» случайности ряда данных.

Показатель Херста называют «индексом зависимости» или «индексом долгосрочной зависимости». Он количественно определяет относительную тенденцию временного ряда либо сильно регрессировать к среднему значению, либо группироваться в определенном направлении. Значение H в диапазоне 0,5–1 указывает на временной ряд с долгосрочной положительной автокорреляцией, что означает, что затухание автокорреляции происходит медленнее, чем экспоненциальное, по степенному закону ; для ряда это означает, что за одним высоким значением обычно следует другое высокое значение и что в будущем действительно происходят отклонения к более высоким значениям. Значение в диапазоне 0–0,5 указывает на временной ряд с длительным переключением между высокими и низкими значениями в соседних парах. Это означает, что за одним высоким значением, вероятно, последует низкое значение, и что значение после этого будет иметь тенденцию к снижению. высокий, с этой тенденцией к переключению между высокими и низкими значениями, сохраняющейся долгое время в будущем, также подчиняющейся степенному закону. Значение H =0,5 указывает на короткую память , при этом (абсолютные) автокорреляции экспоненциально быстро затухают до нуля.

Определение

Показатель Херста H определяется с точки зрения асимптотического поведения масштабированного диапазона как функции временного интервала временного ряда следующим образом;

$$\mathbb {E} \left[{\frac {R(n)}{S(n)}}\right]=Cn^{H}{\text{ as }}n\to \infty \,,$$где

• $R(n)$ это диапазон первого $n$ совокупные отклонения от среднего значения
• $S(n)$ - это ряд (сумма) первых n стандартных отклонений
• $\mathbb {E} \left[x\right]\,$ значение ожидаемое
• $n$ - временной интервал наблюдения (количество точек данных во временном ряду)
• $C$ является константой.

Связь с фрактальным измерением

Для самоподобных временных рядов H напрямую связан с фрактальной размерностью D , где 1 < D < 2, такой что D = 2 - H . Значения показателя Херста варьируются от 0 до 1, причем более высокие значения указывают на более плавный тренд, меньшую волатильность и меньшую неровность.

Для более общего временного ряда или многомерного процесса показатель Херста и фрактальная размерность могут быть выбраны независимо, поскольку показатель Херста представляет структуру за асимптотически более длинные периоды, тогда как фрактальная размерность представляет структуру за асимптотически более короткие периоды.

Оценка показателя степени

В литературе предложен ряд оценок дальнодействующей зависимости. Самым старым и самым известным является так называемый анализ масштабированного диапазона (R/S), популяризированный Мандельбротом и Уоллисом. и основано на предыдущих гидрологических выводах Херста. Альтернативы включают DFA , периодограммную регрессию, совокупные отклонения, местный оценщик Уиттла, вейвлет-анализ, как во временной, так и в частотной области .

Анализ масштабированного диапазона (R/S)

Чтобы оценить показатель Херста, необходимо сначала оценить зависимость масштабированного диапазона от времени n . наблюдения Временной ряд полной длины N разбивается на ряд непересекающихся более коротких временных рядов длины n , где n принимает значения N , N /2, N /4, ... (в удобном случае, когда N является степенью 2 ). рассчитывается средний масштабированный диапазон Затем для каждого значения n .

Для каждого такого временного ряда длиной $n$, $X=X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\,$, масштабированный диапазон рассчитывается следующим образом:

1. Вычислить среднее значение ; $$m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\,.$$
2. Создайте ряд с поправкой на среднее значение; $$Y_{t}=X_{t}-m\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.$$
3. Рассчитайте совокупный ряд отклонений $Z$; $$Z_{t}=\sum _{i=1}^{t}Y_{i}\quad {\text{ for }}t=1,2,\dots ,n\,.$$
4. Вычислить диапазон $R$; $$R(n)=\operatorname {max} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right)-\operatorname {min} \left(Z_{1},Z_{2},\dots ,Z_{n}\right).$$
5. Вычислите стандартное отклонение $S$; $$S(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-m\right)^{2}}}.$$
6. Вычислить масштабированный диапазон $R(n)/S(n)$ и среднее значение по всем частичным временным рядам длины $n.$

Показатель Херста оценивается путем аппроксимации степенного закона $\mathbb {E} [R(n)/S(n)]=Cn^{H}$ к данным. Это можно сделать, построив график $\log[R(n)/S(n)]$ как функция $\log n$, и подгоняя прямую линию; наклон линии дает $H$. Более принципиальный подход заключался бы в том, чтобы подогнать степенной закон по принципу максимального правдоподобия. Такой график называется коробчатой ​​диаграммой. Однако известно, что этот подход приводит к смещенным оценкам степенного показателя. Для маленьких $n$ имеется значительное отклонение от наклона 0,5. Анис и Ллойд оценивается теоретически (т.е. для белого шума) значения статистики R/S должны быть:

$$\mathbb {E} [R(n)/S(n)]={\begin{cases}{\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n\leq 340\\{\frac {1}{\sqrt {n{\frac {\pi }{2}}}}}\sum \limits _{i=1}^{n-1}{\sqrt {\frac {n-i}{i}}},&{\text{for }}n>340\end{cases}}$$

где $\Gamma$ — гамма-функция Эйлера . Скорректированный показатель R/S Херста Анис-Ллойда рассчитывается как 0,5 плюс наклон $R(n)/S(n)-\mathbb {E} [R(n)/S(n)]$.

Доверительные интервалы

Для большинства оценок показателя Херста до сих пор не было выведено никакой асимптотической теории распределения. Однако Верон использовал бутстреп для получения приближенных функциональных форм для доверительных интервалов двух наиболее популярных методов, т.е. для метода Аниса-Ллойда. исправленный анализ R/S:

Уровень	Нижняя граница	Верхняя граница
90%	0,5 - exp(-7,35 log(log M) + 4,06)	exp(-7,07 log(log M) + 3,75) + 0,5
95%	0,5 − exp(−7,33 log(log M) + 4,21)	exp(-7,20 log(log M) + 4,04) + 0,5
99%	0,5 - exp(-7,19 log(log M) + 4,34)	exp(-7,51 log(log M) + 4,58) + 0,5

и для DFA :

Уровень	Нижняя граница	Верхняя граница
90%	0,5 − exp (−2,99 log M + 4,45)	exp(-3,09 log M + 4,57) + 0,5
95%	0,5 − exp (−2,93 log M + 4,45)	exp(-3,10 log M + 4,77) + 0,5
99%	0,5 − exp (−2,67 log M + 4,06)	exp(-3,19 log M + 5,28) + 0,5

Здесь $M=\log _{2}N$ и $N$ длина серии. В обоих случаях только подсерии длины $n>50$ учитывались при оценке показателя Херста; подсерии меньшей длины приводят к высокой дисперсии оценок R/S.

Обобщенный показатель

Базовый показатель Херста может быть связан с ожидаемым размером изменений как функцией задержки между наблюдениями, измеряемой E(| X _{t + τ} − X _t | ² ). Для обобщенной формы коэффициента показатель степени здесь заменяется более общим термином, обозначаемым q .

Существует множество методов оценки H , однако оценка точности оценки может оказаться сложной задачей. Математически, с помощью одного метода, показатель Херста можно оценить так: $$H_{q}=H(q),$$для временного ряда $$g(t),t=1,2,\dots$$может определяться масштабирующими свойствами его структурных функций $S_{q}$ ( $\tau$): $$S_{q}=\left\langle \left|g(t+\tau )-g(t)\right|^{q}\right\rangle _{t}\sim \tau ^{qH(q)},$$где $q>0$, $\tau$ это временной лаг, а усреднение ведется по временному окну $$t\gg \tau ,$$обычно самый большой временной масштаб системы.

Практически в природе нет предела времени, и поэтому H недетерминирован, поскольку его можно оценить только на основе наблюдаемых данных; например, самое резкое дневное движение вверх, когда-либо наблюдаемое в индексе фондового рынка, всегда может быть превышено в течение какого-нибудь последующего дня.

В описанном выше методе математической оценки функция H ( q ) содержит информацию об усредненных обобщенных волатильностях в масштабе $\tau$ ( только q = 1, 2 для определения волатильности используются ). В частности, показатель H ₁ указывает на устойчивое ( H ₁ > 1 ⁄ 2 ) или антиперсистентный ( H ₁ < 1 ⁄ 2 ) поведение тренда.

Для BRW ( коричневый шум , $1/f^{2}$) человек получает $$H_{q}={\frac {1}{2}},$$и для розового шума ( $1/f$) $$H_{q}=0.$$

Показатель Херста для белого шума зависит от размерности: и для 1D и 2D это так $$H_{q}^{1D}={\frac {1}{2}},\quad H_{q}^{2D}=-1.$$

Для популярных устойчивых процессов Леви и усеченных процессов Леви с параметром α было обнаружено, что

$$H_{q}=q/\alpha ,$$ для $q<\alpha$, и $H_{q}=1$ для $q\geq \alpha$. Мультифрактальный анализ отклонений от тренда это один из методов оценки $H(q)$ из нестационарного временного ряда.Когда $H(q)$ является нелинейной функцией q; временной ряд представляет собой мультифрактальную систему .

Примечание

В приведенном выше определении два отдельных требования смешаны вместе, как если бы они были одним. Вот два независимых требования: (i) стационарность приращений x T ( t + T ) − x ( t ) = x ( ) − x (0) в распределении. Это условие, которое приводит к долговременной автокорреляции. (ii) Самоподобие стохастического процесса приводит к масштабированию дисперсии, но не требуется для долговременной памяти. Например, как марковские процессы (т.е. процессы без памяти), так и дробное броуновское движение масштабируются на уровне одноточечных плотностей (простых средних), но ни один из них не масштабируется на уровне парных корреляций или, соответственно, двухточечной плотности вероятности. .

Эффективный рынок требует условия мартингала , и если дисперсия не является линейной во времени, это приводит к нестационарным приращениям, x ( t + T ) - x ( t ) ≠ x ( T ) - x (0) . Мартингейлы являются марковскими на уровне парных корреляций, а это означает, что парные корреляции нельзя использовать для победы на рынке мартингейлов. Стационарные приращения с нелинейной дисперсией, с другой стороны, вызывают долговременную парную память о дробном броуновском движении , которое сделало бы рынок побежденным на уровне парных корреляций. Такой рынок обязательно будет далек от «эффективности».

Анализ экономических временных рядов с помощью показателя Херста с использованием масштабированного диапазона и анализа колебаний без тренда проводится эконофизиком А.Ф. Баривьерой. В данной статье изучается изменяющийся во времени характер долговременной зависимости и, следовательно, информационной эффективности.

Показатель Херста также применялся для исследования дальних зависимостей в ДНК . и материалы с фотонной запрещенной зоной .

См. также

• Зависимость на дальнем расстоянии
• Аномальная диффузия
• Измененный диапазон
• Анализ колебаний без тренда

Реализации

• Код Matlab для расчета R/S, DFA, периодограммной регрессии и вейвлет-оценок показателя Херста и соответствующих им доверительных интервалов доступен на RePEc: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
• Реализация R/S в Python: https://github.com/Mottl/hurst и DFA и MFDFA в Python: https://github.com/LRydin/MFDFA
• Код Matlab для вычисления реального и сложного Херста: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
• Для этого также можно использовать лист Excel: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator.