Трансверсальная (геометрия)

В геометрии трансверсалью называется линия , проходящая через две прямые в одной плоскости в двух различных точках . Трансверсали играют роль в определении того, две или более других прямых в евклидовой плоскости ли параллельны . Пересечения трансверсали с двумя прямыми образуют различные типы пар углов : последовательные внутренние углы , последовательные внешние углы , соответствующие углы и альтернативные углы . Как следствие постулата параллельности Евклида , если две прямые параллельны, то последовательные внутренние углы являются дополнительными , соответствующие углы равны, а альтернативные углы равны.


Восемь углов трансверсали. ( Вертикальные углы, такие как $\alpha$ и $\gamma$ всегда совпадают.)		Трансверсализация между непараллельными прямыми. Последовательные углы не являются дополнительными.	Трансверсаль между параллельными прямыми. Последовательные углы являются дополнительными.

Углы трансверсали

Трансверсаль образует 8 углов, как показано на графике слева вверху:

4 с каждой из двух линий, а именно α, β, γ и δ, а затем α ₁ , β ₁ , γ ₁ и δ ₁ ; и
4 из которых являются внутренними (между двумя линиями), а именно α, β, γ ₁ и δ ₁ , и 4 из них являются внешними , а именно α ₁ , β ₁ , γ и δ.

Трансверсаль, пересекающая две параллельные прямые под прямым углом, называется перпендикулярной трансверсалью . В данном случае все 8 углов прямые. ^[1]

Когда линии параллельны (случай, который часто рассматривается), поперечная линия образует несколько конгруэнтных дополнительных углов . Некоторые из этих пар углов имеют конкретные названия и обсуждаются ниже: соответствующие углы, альтернативные углы и последовательные углы. ^[2]^[3]^{: Искусство. 87}

Альтернативные ракурсы

Альтернативные углы — это четыре пары углов, которые:

иметь отдельные вершин , точки
лежат по разные стороны от поперечной и
оба угла являются внутренними или оба угла являются внешними.

Если два угла одной пары конгруэнтны (равны по мере), то углы каждой из остальных пар также равны.

Предложение 1.27 « Евклида» Элементов , теорема абсолютной геометрии (следовательно, справедливая как в гиперболической , так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары альтернативных углов трансверсали конгруэнтны, то эти две прямые параллельны (непересекающиеся).

Евклида следует Из постулата параллельности , что если две прямые параллельны, то углы пары переменных углов трансверсали равны (предложение 1.29 « Начал» Евклида ).

Соответствующие углы

Соответствующие углы – это четыре пары углов, которые:

иметь отдельные точки вершин,
лежат по одну сторону от поперечной и
один угол внутренний, другой внешний.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары соответствующих углов любой трансверсали конгруэнтны (равны по мере).

Евклида» Предложение 1.28 « Элементов , теорема абсолютной геометрии (следовательно, справедливая как в гиперболической , так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары соответствующих углов трансверсали конгруэнтны, то две прямые параллельны (непересекающиеся).

Евклида следует Из постулата параллельности , что если две прямые параллельны, то углы пары соответствующих углов трансверсали равны (предложение 1.29 « Начал» Евклида ).

Если углы одной пары соответствующих углов равны, то углы каждой из остальных пар также равны. На различных изображениях с параллельными линиями на этой странице соответствующие пары углов: α=α ₁ , β=β ₁ , γ=γ ₁ и δ=δ ₁ .

Последовательные внутренние углы

Последовательные внутренние углы – это две пары углов, которые: ^[4]^[2]

иметь отдельные точки вершин,
лежат по одну сторону от поперечной и
оба внутренние.

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда два угла любой пары последовательных внутренних углов любой трансверсали являются дополнительными (в сумме 180 °).

Евклида» Предложение 1.28 « Элементов , теорема абсолютной геометрии (следовательно, справедливая как в гиперболической , так и в евклидовой геометрии ), доказывает, что если углы пары последовательных внутренних углов являются дополнительными, то эти две прямые параллельны (непересекающиеся).

Евклида следует Из постулата параллельности , что если две прямые параллельны, то углы пары последовательных внутренних углов трансверсали являются дополнительными (предложение 1.29 « Начал» Евклида ).

Если одна пара последовательных внутренних углов является дополнительной, то и другая пара также является дополнительной.

Другие характеристики трансверсалей

Если три прямые, находящиеся в общем положении, образуют треугольник, а затем пересечь их трансверсалью, то длины шести получившихся отрезков удовлетворяют теореме Менелая .

Связанные теоремы

Евклида Формулировку постулата параллельности можно сформулировать в терминах трансверсали. В частности, если внутренние углы на одной стороне поперечной линии меньше двух прямых, линии должны пересекаться. Фактически, Евклид использует ту же самую фразу на греческом языке, которая обычно переводится как «поперечная». ^[5]^{: 308, примечание 1}

Предложение 27 Евклида гласит, что если трансверсаль пересекает две прямые так, что чередующиеся внутренние углы равны, то эти прямые параллельны. Евклид доказывает это от противного : если прямые не параллельны, то они должны пересечься и образоваться треугольник. Тогда один из альтернативных углов является внешним углом, равным другому углу, противоположному внутреннему углу треугольника. Это противоречит предложению 16, которое утверждает, что внешний угол треугольника всегда больше противоположных внутренних углов. ^[5]^: 307^[3]^{: Искусство. 88}

Предложение 28 Евклида расширяет этот результат двумя способами. Во-первых, если трансверсаль пересекает две прямые так, что соответствующие углы равны, то эти прямые параллельны. Во-вторых, если поперечная пересекает две прямые так, что внутренние углы по одну и ту же сторону от поперечной являются дополнительными, то эти прямые параллельны. Они следуют из предыдущего предложения с применением того факта, что противоположные углы пересекающихся прямых равны (предложение 15) и что смежные углы на прямой являются дополнительными (предложение 13). Как заметил Прокл , Евклид дает только три из шести возможных таких критериев параллельных прямых. ^[5]^{: 309–310}^[3]^{: Искусство. 89-90}

Предложение 29 Евклида является обратным двум предыдущим. Во-первых, если трансверсаль пересекает две параллельные прямые, то альтернативные внутренние углы равны. Если нет, то один больше другого, что означает, что его дополнение меньше, чем дополнение другого угла. Это означает, что по одну и ту же сторону поперечной есть внутренние углы, меньшие двух прямых, что противоречит пятому постулату. Предложение продолжается утверждением, что при пересечении двух параллельных прямых соответствующие углы равны, а внутренние углы на одной стороне равны двум прямым углам. Эти утверждения следуют так же, как предложение 28 следует из предложения 27. ^[5]^{: 311–312}^[3]^{: Искусство. 93-95}

В доказательстве Евклида существенно используется пятый постулат, однако в современных трактовках геометрии вместо него используется аксиома Плейфэра . Чтобы доказать предложение 29, предполагая аксиому Плейфэра, пусть трансверсаль пересекает две параллельные прямые и предположим, что альтернативные внутренние углы не равны. Проведите третью линию через точку, где поперечная пересекает первую линию, но под углом, равным углу, который поперечная образует со второй линией. В результате через точку проходят две разные линии, обе параллельные другой линии, что противоречит аксиоме. ^[5]^: 313^[6]

В высших измерениях

В пространствах более высоких размерностей линия, пересекающая каждую из набора линий в разных точках, является трансверсалью этого набора линий. В отличие от двумерного (плоского) случая, существование трансверсалей не гарантируется для наборов, состоящих более чем из двух прямых.

В евклидовом 3-мерном пространстве регуляр — это набор косых линий R $,$ что через каждую точку на каждой прямой $R$ проходит трансверсаль $R$ , а через каждую точку трансверсали $R$ проходит прямая $R.$ таких , Множество трансверсалей правила $R$ также является правилом, называемым противоположным правилом , $R тот$ . В этом пространстве три взаимно перекошенные прямые всегда можно продолжить до регуляра.

Ссылки

^ «Поперечная» . Открытый справочник по математике. 2009. (интерактив)
^ Перейти обратно: ^а ^б Род Пирс (2011). «Параллельные линии» . MathisFun. (интерактивный)
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Холгейт, Томас Франклин (1901). Элементарная геометрия . Макмиллан.
^ К.Клэпхэм, Дж.Николсон (2009). «Оксфордский краткий математический словарь» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 582.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Хит, TL (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Том. 1. Университетское издательство.
^ Аналогичное доказательство дано в Holgate 1901, Art. 93

[1] «Поперечная» . Открытый справочник по математике. 2009. (интерактив)

[MathisFun-2] Перейти обратно: ^а ^б Род Пирс (2011). «Параллельные линии» . MathisFun. (интерактивный)

[holgate1901-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Холгейт, Томас Франклин (1901). Элементарная геометрия . Макмиллан.

[Oxford-4] К.Клэпхэм, Дж.Николсон (2009). «Оксфордский краткий математический словарь» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 582.

[heath1908-5] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Хит, TL (1908). Тринадцать книг «Начал» Евклида . Том. 1. Университетское издательство.

[6] Аналогичное доказательство дано в Holgate 1901, Art. 93

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]