Чарльз Лоунер

Чарльз Лоунер
Рожденный	( 1893-05-29 ) 29 мая 1893 г. Девушка , Богемия
Умер	8 января 1968 г. ) ( 1968-01-08 ) ( 74 года Стэнфорд , Калифорния
Национальность	Американский
Альма-матер	Университет Карла Фердинанда
Известный	Операторная монотонная функция Систолическая геометрия Уравнение Лёвнера Орден Лёвнера Неравенство тора Лёвнера Теорема Лёвнера – Хайнца
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Стэнфордский университет Сиракузский университет Пражский университет
Докторантура	Георг Александр Пик
Докторанты	Липман Берс Уильям Дж. Файри Адриано Гарсия Роджер Хорн Пао Мин Пу

Чарльз Лоунер (29 мая 1893 — 8 января 1968) — американский математик . Его звали Карел Лёвнер по-чешски и Карл Лёвнер по-немецки.

Карл Лёвнер родился в еврейской семье в Лани, примерно в 30 км от Праги, где его отец Зигмунд Лёвнер был владельцем магазина.

Лёвнер получил докторскую степень. из Пражского университета в 1917 году под руководством Георга Пика .Одним из его центральных математических вкладов является доказательство гипотезы Бибербаха в первом весьма нетривиальном случае третьего коэффициента. Предложенный им метод, дифференциальное уравнение Левнера , имел далеко идущие последствия в геометрической теории функций ; в окончательном решении гипотезы Бибербаха он был использован Луи де Бранжем в 1985 году. Левнер работал в Берлинском университете , Пражском университете , Университете Луисвилля , Университете Брауна , Сиракузском университете и, в конечном итоге, в Стэнфордском университете . Среди его учеников Липман Берс , Роджер Хорн , Адриано Гарсиа и П.М. Пу .

Неравенство тора Лёвнера

В 1949 году Левнер доказал свое неравенство тора о том, что каждая метрика на 2-торе удовлетворяет оптимальному неравенству

$\operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),$

где sys — его систола . Граничный случай равенства достигается тогда и только тогда, когда метрика плоская и гомотетична так называемому равностороннему тору , т. е. тору, группа преобразований колоды которого представляет собой в точности шестиугольную решетку, натянутую кубическими корнями из единицы в $\mathbb {C}$.

Матричная теорема Лёвнера

Матрица Лёвнера (в линейной алгебре ) — это квадратная матрица или, точнее, линейный оператор (действительного числа). $C^{1}$ функции), связанные с двумя входными параметрами, состоящими из (1) действительной непрерывно дифференцируемой функции на подинтервале действительных чисел и (2) $n$-мерный вектор с элементами, выбранными из подинтервала; двум входным параметрам назначается выходной параметр, состоящий из $n\times n$ матрица.

Позволять $f$ быть вещественной функцией, непрерывно дифференцируемой на открытом интервале $(a,b)$.

Для любого $s,t\in (a,b)$ определить разделенную разность $f$ в $s,t$ как

$f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{if }}s\neq t\\f'(s),&{\text{if }}s=t\end{cases}}$.

Данный $t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)$, матрица Лёвнера $L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})$ связанный с $f$ для $(t_{1},\ldots ,t_{n})$ определяется как $n\times n$ матрица, чья $(i,j)$-вход $f^{[1]}(t_{i},t_{j})$.

В своей фундаментальной статье 1934 года Лёвнер доказал, что для каждого натурального числа $n$, $f$ является $n$-монотонный на $(a,b)$ тогда и только тогда, когда $L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})$ положительно полуопределена при любом выборе $t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)$. Самое главное, используя эту эквивалентность, он доказал, что $f$ является $n$-монотонный на $(a,b)$ для всех $n$ тогда и только тогда, когда $f$ является вещественно-аналитическим с аналитическим продолжением в верхнюю полуплоскость, имеющим положительную мнимую часть в верхней плоскости. См. Оператор монотонной функции .

Непрерывные группы

«Во время визита [Лёвнера] в Беркли в 1955 году он прочитал курс по непрерывным группам , и его лекции были воспроизведены в виде дублированных конспектов. Лёвнер планировал написать подробную книгу о непрерывных группах на основе этих конспектов лекций, но проект все еще не был реализован. на стадии формирования на момент его смерти». Харли Фландерс и Мюррей Х. Проттер «решили пересмотреть и исправить оригинальные конспекты лекций и сделать их доступными в постоянной форме». Чарльз Лоунер: Теория непрерывных групп (1971) была опубликована The MIT Press . и переиздан в 2008 году.

По терминологии Лёвнера, если $x\in S$ и групповое действие выполняется над $S$, затем $x$ называется количеством (стр. 10). Различают абстрактную группу ${\mathfrak {g}},$ и реализация ${\mathfrak {g}},$ в терминах линейных преобразований , которые дают представление группы . Эти линейные преобразования являются якобианами , обозначаемыми $J({\overset {u}{v}})$ (стр. 41). Термин «инвариантная плотность» используется для меры Хаара , которую Левнер приписывает Адольфу Гурвицу (стр. 46). Лёвнер доказывает, что компактные группы имеют равные плотности левых и правых инвариантов (стр. 48).

Рецензент сказал: «Читателю помогают поясняющие примеры и комментарии о взаимосвязях с анализом и геометрией».

См. также

• Эллипсоид Лёвнера-Джона
• Эволюция Шрамма – Лёвнера
• Случайное блуждание со стиранием цикла
• Систолы поверхностей

Ссылки

• Бергер, Марсель : В тени Лёвнера. (Французский) Энн. наук. Норм школа. Как дела. (4) 5 (1972), 241–260.
• Лёвнер, Чарльз; Ниренберг, Луи: Уравнения в частных производных, инвариантные относительно конформных или проективных преобразований. Вклад в анализ (сборник статей, посвященный Липману Берсу), стр. 245–272. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1974.

Внешние ссылки

• Мемориальная резолюция Стэнфорда
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Чарльз Лёвнер» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс