Функция Гомпертца

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца — это тип математической модели временного ряда , названный в честь Бенджамина Гомпертца (1779–1865). Это сигмовидная функция , которая описывает рост как самый медленный в начале и в конце данного периода времени. К правосторонней или будущей асимптоте функции кривая приближается гораздо более постепенно, чем к левой или более низкой асимптоте. Это контрастирует с простой логистической функцией , в которой кривая приближается к обеим асимптотам симметрично. Это частный случай обобщенной логистической функции . Первоначально функция была разработана для описания человеческой смертности, но с тех пор была изменена для применения в биологии с учетом детализации популяций.

История

Бенджамин Гомпертц (1779–1865) был актуарием в Лондоне, получившим частное образование. Он был избран членом Королевского общества в 1819 году. Эта функция была впервые представлена ​​в его статье от 16 июня 1825 года внизу страницы 518. Функция Гомпертца свела значительный набор данных в таблицах смертности в одну функцию. Он основан на предположении, что уровень смертности увеличивается экспоненциально с возрастом человека. Полученная функция Гомпертца представляет собой зависимость количества людей, живущих в данном возрасте, от возраста.

Ранее работу по построению функциональных моделей смертности провел французский математик Абрахам де Муавр (1667–1754) в 1750-х годах. Однако де Муавр предполагал, что уровень смертности постоянен. Расширение работы Гомпертца было предложено английским актуарием и математиком Уильямом Мэтью Мейкхэмом (1826–1891) в 1860 году, который добавил постоянный фоновый уровень смертности к экспоненциально растущему показателю Гомпертца.

Графики кривых Гомпертца, показывающие эффект изменения одного из a, b, c при сохранении постоянных остальных.

Варьируясь $a$

Варьируясь $b$

Варьируясь $c$

Формула

$$f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}$$где

• а является асимптотой, так как ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b задает смещение по оси x (переводит график влево или вправо).
• c устанавливает скорость роста ( масштабирование y )
• e - число Эйлера (e = 2,71828...)

Характеристики

Кривая ${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$ имеет ту же форму, что и $f(t)=e^{-e^{-t}}$ после аффинного преобразования .

Половину пути можно найти, решив ${\textstyle f(t)=a/2}$ для т. $$t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}$$Точка максимальной скорости роста ( ${\textstyle 0.368a}$) находится путем решения ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$ для т. $$t_{max}=\ln(b)/c$$Увеличение на ${\textstyle t_{max}}$ является $$\max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}$$

Вывод

Функциональную кривую можно вывести из закона смертности Гомпертца , который гласит, что скорость абсолютной смертности (распада) падает экспоненциально с текущим размером. Математически,

$$k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}$$

где

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$ это скорость роста
• k — произвольная константа.

Пример использования

Примеры использования кривых Гомпертца включают:

• Внедрение мобильных телефонов , где затраты изначально были высокими (поэтому внедрение было медленным), затем последовал период быстрого роста, за которым последовало замедление внедрения по мере достижения насыщения.
• Население в ограниченном пространстве, поскольку уровень рождаемости сначала увеличивается, а затем замедляется по мере достижения пределов ресурсов.
• Моделирование роста опухолей
• Моделирование влияния рынка в финансах и динамика совокупных субнациональных кредитов.
• Детализация роста популяции хищных животных с учетом отношений хищник-жертва.
• Моделирование бактериальных клеток внутри популяции
• Изучение распространения болезни
• размер английской Википедии можно смоделировать с помощью функции Гомпертца и в некоторой степени модифицированной функции

Приложения

Кривая Гомпертца

Популяционная биология особенно озабочена функцией Гомпертца. Эта функция особенно полезна при описании быстрого роста определенной популяции организмов, а также позволяет учитывать возможную горизонтальную асимптоту после несущей способности определения (число плато-клеток/популяции).

Он моделируется следующим образом:

$$N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))$$

где:

• ${\textstyle t}$ пора
• ${\textstyle N_{0}}$ - начальная плотность клеток
• ${\textstyle N_{I}}$ - плотность клеток/популяции плато
• ${\textstyle b}$ — начальная скорость роста опухоли

реальной Этот функциональный учет числа клеток плато делает его полезным для точного имитации динамики популяции . Функция также соответствует сигмовидной функции , которая является наиболее широко распространенным соглашением для общего описания роста населения. Более того, функция использует начальную скорость роста, которая обычно наблюдается в популяциях бактериальных и раковых клеток, которые проходят лог-фазу и быстро растут в численности. Несмотря на свою популярность, начальную скорость роста опухоли трудно предопределить, учитывая различные микрокосмы, присутствующие у пациента, или различные факторы окружающей среды в случае популяционной биологии. У больных раком такие факторы, как возраст, диета, этническая принадлежность, генетическая предрасположенность, обмен веществ , образ жизни и происхождение метастазов , играют роль в определении скорости роста опухоли. Ожидается, что пропускная способность также будет меняться в зависимости от этих факторов, поэтому описать такие явления сложно.

Метаболическая кривая

Метаболическая функция особенно связана с учетом скорости обмена веществ внутри организма. Эту функцию можно применять для мониторинга опухолевых клеток; Скорость метаболизма динамична и очень гибка, что делает ее более точной при определении роста рака. Метаболическая кривая учитывает энергию, которую организм выделяет на поддержание и создание тканей. Эту энергию можно рассматривать как метаболизм, и она следует определенной схеме клеточного деления. Сохранение энергии можно использовать для моделирования такого роста независимо от разных масс и времени развития. Все таксоны имеют схожий характер роста, и в результате эта модель считает деление клеток основой развития опухоли.

$$B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)$$

• ${\textstyle B}$ = энергия, которую организм использует в состоянии покоя
• ${\textstyle N_{C}}$ = количество клеток в данном организме
• ${\textstyle B_{C}}$= скорость метаболизма отдельной клетки
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= энергия, необходимая для поддержания существующей ткани
• ${\textstyle E_{C}}$= энергия, необходимая для создания новой ткани из отдельной клетки

Дифференциация между энергией, используемой в состоянии покоя, и работой по скорости метаболизма позволяет модели более точно определять скорость роста. Энергия покоя ниже, чем энергия, используемая для поддержания ткани, и вместе представляет собой энергию, необходимую для поддержания существующей ткани. Использование этих двух факторов, наряду с энергией, необходимой для создания новой ткани, позволяет составить полную карту скорости роста и, более того, приводит к точному представлению лаг-фазы .

Рост опухолей

В 1960-е годы А. К. Лэрд впервые успешно применил кривую Гомпертца для аппроксимации данных о росте опухолей. Фактически, опухоли представляют собой клеточные популяции, растущие в замкнутом пространстве, где доступность питательных веществ ограничена. Обозначая размер опухоли как X(t), полезно записать кривую Гомпертца следующим образом:

$X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)$

где:

• ${\textstyle X(0)}$ – размер опухоли в начальный момент наблюдения;
• ${\textstyle K}$ – это несущая способность, т.е. максимальный размер, которого можно достичь с помощью имеющихся питательных веществ. На самом деле это: $$\lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K$$

независимо от X(0)>0. Обратите внимание, что при отсутствии терапии и т. д. обычно это X(0) <K, тогда как при наличии терапии это может быть X(0)>K;

• ${\textstyle \alpha }$ – константа, связанная с пролиферативной способностью клеток.
• ${\textstyle \log()}$ относится к натуральному журналу .

Можно показать, что динамика X(t) определяется дифференциальным уравнением Гомпертца:

$$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)$$

т.е. имеет вид в разобранном виде:

$$X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,$$

F(X) — мгновенная скорость пролиферации клеточной популяции, характер снижения которой обусловлен конкуренцией за питательные вещества вследствие увеличения клеточной популяции, аналогично логистической скорости роста. Однако есть фундаментальное отличие: в логистическом случае скорость пролиферации небольшой клеточной популяции конечна:

$$F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty$$

тогда как в случае Гомпертца скорость распространения не ограничена:

$$\lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty$$

Как заметил Стил и Уэлдон, Скорость пролиферации клеточной популяции в конечном итоге ограничивается временем деления клеток. Таким образом, это может быть свидетельством того, что уравнение Гомпертца не подходит для моделирования роста небольших опухолей. Более того, совсем недавно было замечено что, включая взаимодействие с иммунной системой, законы Гомпертца и другие законы, характеризующиеся неограниченным F(0), исключают возможность иммунного надзора.

Теоретическое исследование Форнальски и др. показали биофизическую основу кривой Гомпертца для роста рака, за исключением очень ранней фазы, когда параболическая функция более уместна. Они также обнаружили, что кривая Гомпертца описывает наиболее типичный случай среди широкого семейства функций динамики рака.

Рост Gompertz и рост логистики

Дифференциальное уравнение Гомпертца

$$X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)$$

является предельным случаем обобщенного логистического дифференциального уравнения

$$X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)$$

(где $\nu >0$ положительное действительное число), так как

$$\lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)$$.

имеется точка перегиба Кроме того, на графике обобщенной логистической функции , когда

$$X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K$$

и один на графике функции Гомпертца, когда

$$X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }$$.

Gomp-ex закон роста

Основываясь на вышеизложенных соображениях, Велдон предложил математическую модель роста опухоли, названную моделью Гомп-Экс, которая слегка модифицирует закон Гомпертца. В модели Gomp-Ex предполагается, что изначально нет конкуренции за ресурсы, поэтому клеточная популяция увеличивается по экспоненциальному закону. Однако существует критический порог размера. $X_{C}$ такой, что для $X>X_{C}$. Предположение об отсутствии конкуренции за ресурсы справедливо в большинстве сценариев. Однако на него могут влиять ограничивающие факторы , что требует создания переменных подфакторов.

рост соответствует закону Гомпертца:

$$F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)$$

так что:

$$X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).$$

Вот некоторые численные оценки для $X_{C}$:

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$ для опухолей человека
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$ при опухолях мышей (мышей)

Обратная функция Гомпертца

Функция Гомпертца представляет собой взаимно однозначное соответствие (также известное как биективная функция ), поэтому ее обратная функция может быть явно выражена в традиционных функциональных обозначениях как одна непрерывная функция. Дана функция Гомпертца вида:

$$f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d$$где

• d — базовая горизонтальная асимптота, поскольку ${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty }+d=d}$
• а — расстояние от основания до второй асимптоты, поскольку ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b задает смещение по оси x (переводит график влево или вправо).
• c устанавливает скорость роста ( масштабирование y )
• e - число Эйлера ( e = 2,71828...)

соответствующая обратная функция может быть выражена как:

$$f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]$$

Обратная функция выдает только числовые значения в наборе действительных чисел между двумя ее асимптотами, которые теперь вертикальны, а не горизонтальны, как в прямой функции Гомпертца. За пределами диапазона, определяемого вертикальными асимптотами, обратная функция требует вычисления логарифма отрицательных чисел. По этой и другим причинам часто непрактично пытаться подогнать обратную функцию Гомпертца к данным напрямую, особенно если имеется лишь относительно мало точек данных, на основе которых можно рассчитать подгонку. Вместо этого можно подогнать транспонированную связь данных к прямой функции Гомпертца, а затем преобразовать ее в эквивалентную обратную функцию, используя связь между двумя указанными выше.

Таким образом, обратная функция имеет множество применений. Например, некоторые анализы ELISA имеют стандартную кривую , концентрации которой можно очень хорошо согласовать с их оптической плотностью с помощью функции Гомпертца. Как только стандарты таким образом соответствуют функции Гомпертца, расчет неизвестной концентрации образцов в анализе на основе их измеренной оптической плотности достигается с использованием обратной функции Гомпертца, которая была получена при аппроксимации стандартной кривой.

См. также

• Распределение Гомпертца
• Кривая роста
• Из функции Берталанфи
• Сигмовидная функция

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Гомпертца» . Математический мир .
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth