Модель шуток

Модель Вичека — это математическая модель, используемая для описания активной материи. Одной из причин изучения активной материи физиками является богатая феноменология, связанная с этой областью. Коллективные движения и роение являются одними из наиболее изученных явлений. Среди огромного количества моделей, разработанных для обнаружения такого поведения на основе микроскопического описания, наиболее известной является модель, предложенная Тамашем Вичеком и др. в 1995 году.

Физики испытывают большой интерес к этой модели, поскольку она минимальна и описывает своего рода универсальность . Он состоит из точечных самодвижущихся частиц , которые эволюционируют с постоянной скоростью и выравнивают свою скорость со скоростью своих соседей в присутствии шума. Такая модель показывает коллективное движение при высокой плотности частиц или малом шуме на юстировке.

Модель (математическое описание)

Поскольку эта модель стремится к минимуму, она предполагает, что скопление происходит из-за комбинации любого вида самодвижения и эффективного выравнивания. Поскольку скорости каждой частицы постоянны, чистый импульс системы не сохраняется во время столкновений.

Индивидуум $i$ описывается своим положением $\mathbf {r} _{i}(t)$ и угол, определяющий направление его скорости $\Theta _{i}(t)$ во время $t$. Эволюция одной частицы в дискретном времени задается двумя уравнениями:

1. На каждом временном шаге $\Delta t$, каждый агент выравнивается со своими соседями на заданном расстоянии $r$ с неопределенностью из-за шума $\eta _{i}(t)$:
   • $\Theta _{i}(t+\Delta t)=\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}+\eta _{i}(t)$
2. Тогда частица движется с постоянной скоростью $v$ в новом направлении:
   • $\mathbf {r} _{i}(t+\Delta t)=\mathbf {r} _{i}(t)+v\Delta t{\begin{pmatrix}\cos \Theta _{i}(t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}$

В этих уравнениях $\langle \Theta _{j}\rangle _{|r_{i}-r_{j}|<r}$ обозначает среднее направление скоростей частиц (в том числе частиц $i$) в пределах круга радиуса $r$ окружающая частица $i$. Средняя нормированная скорость действует как параметр порядка для этой системы и определяется выражением $v_{a}={\frac {1}{Nv}}|\sum _{i=1}^{N}v_{i}|$.

Вся модель контролируется тремя параметрами: плотностью частиц, амплитудой шума при юстировке и соотношением расстояния перемещения. $v\Delta t$ в зону взаимодействия $r$ . Из этих двух простых правил итерации возникли различные непрерывные теории. были разработаны, такие как теория Тонер Ту которое описывает систему на гидродинамическом уровне.Была разработана кинетическая теория типа Энскога, справедливая при произвольной плотности частиц. Эта теория количественно описывает формирование крутых волн плотности, также называемых волнами вторжения, вблизи перехода к коллективному движению.

Феноменология

Эта модель показывает фазовый переход от неупорядоченного движения к крупномасштабному упорядоченному движению. При большом шуме или низкой плотности частицы в среднем не выровнены и их можно описать как неупорядоченный газ. При низком уровне шума и большой плотности частицы глобально выровнены и движутся в одном направлении ( коллективное движение ). Это состояние интерпретируется как упорядоченная жидкость. Переход между этими двумя фазами не является непрерывным, более того, фазовая диаграмма системы демонстрирует фазовый переход первого рода с микрофазовым разделением. В области сосуществования жидкие зоны конечного размера выходят в газовую среду и движутся вдоль своего поперечного направления. Недавно была обнаружена новая фаза: полярно-упорядоченная поперечная морская фаза волн плотности с изначально выбранным углом пересечения. Эта спонтанная организация частиц олицетворяет коллективное движение .

Расширения

С момента своего появления в 1995 году эта модель пользовалась большой популярностью в физическом сообществе; многие ученые работали над и расширили его. Например, можно выделить несколько классов универсальности из простых аргументов симметрии, касающихся движения частиц и их выравнивания.

Более того, в реальные системы можно включить множество параметров, чтобы дать более реалистичное описание, например, притяжение и отталкивание между агентами (частицы конечного размера), хемотаксис (биологические системы), память, неидентичные частицы, окружающая жидкость. .

Более простая теория, модель активного Изинга, был разработан для облегчения анализа модели Вичека.