Нормальная форма Фробениуса

В линейной алгебре или нормальная форма Фробениуса рациональная каноническая форма квадратной матрицы A с элементами в поле F является канонической формой для матриц, сопряжением обратимыми матрицами над F. полученных Форма отражает минимальное разложение векторного пространства на подпространства, циклические для A (т. е. натянутые на некоторый вектор и его повторяющиеся образы под A ). Поскольку из данной матрицы можно достичь только одной нормальной формы (отсюда и «каноническая»), матрица A тогда подобна и B только тогда, когда она имеет ту же рациональную каноническую форму, что A. и Поскольку эту форму можно найти без каких-либо операций, которые могли бы измениться при расширении поля F (отсюда и «рациональное»), особенно без факторизации многочленов, это показывает, что сходство двух матриц не меняется при расширении поля. Форма названа в честь немецкого математика Фердинанда Георга Фробениуса .

Некоторые авторы используют термин «рациональная каноническая форма» для обозначения несколько иной формы, которую правильнее называть первичной рациональной канонической формой . Вместо разложения на минимальное количество циклических подпространств первичная форма разлагается на максимальное количество циклических подпространств. Она также определена над F , но имеет несколько иные свойства: нахождение формы требует факторизации многочленов первичная рациональная каноническая форма может измениться, когда одна и та же матрица рассматривается над полем расширения F. , и, как следствие , В этой статье в основном рассматривается форма, не требующая факторизации, и явно упоминается «первичная», когда имеется в виду форма, использующая факторизацию.

Мотивация

При попытке выяснить, подобны ли две квадратные матрицы A и B , один из подходов состоит в том, чтобы попытаться для каждой из них разложить векторное пространство, насколько это возможно, в прямую сумму стабильных подпространств и сравнить соответствующие действия над ними. подпространства. Например, если оба диагонализуемы, то можно выполнить разложение на собственные пространства (для чего действие максимально простое, а именно с помощью скаляра), а затем определить сходство можно путем сравнения собственных значений и их кратностей. Хотя на практике это зачастую весьма проницательный подход, у этого общего метода есть различные недостатки. Во-первых, требуется найти все собственные значения, скажем, как корни характеристического многочлена, но дать им явное выражение может оказаться невозможным. Во-вторых, полный набор собственных значений может существовать только в расширении поля, над которым ведется работа, и тогда не удается получить доказательство подобия над исходным полем. Наконец, A и B могут оказаться недиагонализуемыми даже в этом большем поле, и в этом случае вместо этого необходимо использовать разложение на обобщенные собственные пространства и, возможно, на жордановые блоки.

Но получение такого точного разложения не обязательно для того, чтобы просто решить, подобны ли две матрицы. Рациональная каноническая форма вместо этого основана на использовании разложения прямой суммы на стабильные подпространства как можно большего размера, но при этом позволяющие очень простое описание действия на каждом из них. Эти подпространства должны быть порождены одним ненулевым вектором v и всеми его изображениями путем многократного применения линейного оператора, связанного с матрицей; такие подпространства называются циклическими подпространствами (по аналогии с циклическими подгруппами) и они, очевидно, устойчивы относительно линейного оператора. Базис такого подпространства получается путем взятия v и его последовательных образов, если они линейно независимы. Матрица линейного оператора относительно такого базиса является сопутствующей матрицей монического полинома; этот полином (минимальный полином оператора, ограниченного на подпространство, понятие которого аналогично понятию порядка циклической подгруппы) определяет действие оператора на циклическом подпространстве с точностью до изоморфизма и не зависит от выбора вектор v создание подпространства.

Разложение в прямую сумму на циклические подпространства всегда существует, и его поиск не требует факторизации многочленов. Однако возможно, что циклические подпространства допускают разложение в прямую сумму меньших циклических подпространств (по существу, в соответствии с китайской теоремой об остатках ). Следовательно, просто иметь для обеих матриц некоторое разложение пространства на циклические подпространства и знать соответствующие минимальные многочлены само по себе недостаточно для определения их подобия. Для того, чтобы для подобных матриц были получены точно совпадающие разложения на циклические подпространства, накладывается дополнительное условие: в списке ассоциированных минимальных многочленов каждый должен делить следующий (а постоянному многочлену 1 запрещено исключать тривиальные циклические подпространства размерности 0 ). Полученный список полиномов называется инвариантными факторами ( K [ X ]-модуля, определяемого) матрицы, и две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные списки инвариантных факторов. Рациональная каноническая форма матрицы A получается путем выражения его на базисе, адаптированном к разложению на циклические подпространства, ассоциированные с которыми минимальные многочлены являются инвариантными факторами A ; две матрицы подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму.

Пример

Рассмотрим следующую матрицу A над Q :

\scriptstyle A={\begin{pmatrix}-1&3&-1&0&-2&0&0&-2\\-1&-1&1&1&-2&-1&0&-1\\-2&-6&4&3&-8&-4&-2&1\\-1&8&-3&-1&5&2&3&-3\\0&0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&-1&0&0&0\\1&0&0&0&2&0&0&0\\0&0&0&0&4&0&1&0\end{pmatrix}}.

A имеет минимальный полином $\mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1$ , так что размерность подпространства, порожденного повторяющимися изображениями одного вектора, не превышает 6. Характеристический многочлен равен $\chi =X^{8}-X^{7}-5X^{6}+2X^{5}+10X^{4}+2X^{3}-7X^{2}-5X-1$ , кратный минимальному многочлену в множитель $X^{2}-X-1$ . Всегда существуют векторы такие, что порождаемое ими циклическое подпространство имеет тот же минимальный полином, что и оператор во всем пространстве; действительно, большинство векторов будут обладать этим свойством, и в этом случае первый стандартный базисный вектор $e_{1}$ делает это: векторы $A^{k}(e_{1})$ для $k=0,1,\ldots ,5$ линейно независимы и охватывают циклическое подпространство с минимальным полиномом $\mu$ . К этому циклическому подпространству существуют дополнительные стабильные подпространства (размерности 2), а пространство, порожденное векторами, $v=(3,4,8,0,-1,0,2,-1)^{\top }$ и $w=(5,4,5,9,-1,1,1,-2)^{\top }$ это пример. На самом деле у одного есть $A\cdot v=w$ , поэтому дополнительное подпространство является циклическим подпространством, порожденным $v$ ; он имеет минимальный полином $X^{2}-X-1$ . С $\mu$ — минимальный полином всего пространства, ясно, что $X^{2}-X-1$ должен разделить $\mu$ (а это легко проверить), и мы нашли инвариантные множители $X^{2}-X-1$ и $\mu =X^{6}-4X^{4}-2X^{3}+4X^{2}+4X+1$ А. Тогда рациональной канонической формой A является блочная диагональная матрица с соответствующими сопутствующими матрицами в виде диагональных блоков, а именно

\scriptstyle C={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1\\0&0&1&0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&0&0&0&-4\\0&0&0&0&1&0&0&2\\0&0&0&0&0&1&0&4\\0&0&0&0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Основу достижения этой формы составляют векторы $v,w$ выше, за которым следует $A^{k}(e_{1})$ для $k=0,1,\ldots ,5$ ; явно это означает, что для

\scriptstyle P={\begin{pmatrix}3&5&1&-1&0&0&-4&0\\4&4&0&-1&-1&-2&-3&-5\\8&5&0&-2&-5&-2&-11&-6\\0&9&0&-1&3&-2&0&0\\-1&-1&0&0&0&1&-1&4\\0&1&0&0&0&0&-1&1\\2&1&0&1&-1&0&2&-6\\-1&-2&0&0&1&-1&4&-2\end{pmatrix}}

,

у одного есть $A=PCP^{-1}.$

Общий случай и теория

Зафиксируем базовое поле F и конечномерное векторное пространство V над F . Учитывая многочлен P ∈ F [ X ], с ним связана сопутствующая матрица C _P и минимальный многочлен которого характеристический многочлен оба равны P. ,

Теорема : Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем F , а A — матрица над F. квадратная Тогда V (рассматриваемый как F [ X ] -модуль с действием X , заданным A ) допускает изоморфизм F [ X ]-модуля

V ≅ F [ Икс ]/ ж ₁ ⊕ … ⊕ F [ Икс ]/ ж _k

где f _i ∈ F [ X ] можно рассматривать как монические многочлены положительной степени (поэтому они не являются единицами в F [ X ]), которые удовлетворяют соотношениям

ж ₁ | ж ₂ | …| _хз

где «a | b» — обозначение « a делит b »; при этих условиях список многочленов f _i единственен.

Схема доказательства : Примените структурную теорему для конечно порожденных модулей в области главных идеалов к V , рассматривая его как F [ X ]-модуль. Структурная теорема обеспечивает разложение на циклические факторы, каждый из которых является фактором F [ X ] по собственному идеалу; нулевой идеал не может присутствовать, поскольку полученный свободный модуль будет бесконечномерным как F векторное пространство , а V конечномерно. Затем в качестве полиномов f _i берутся уникальные унитарные генераторы соответствующих идеалов, и поскольку структурная теорема обеспечивает включение каждого идеала в предыдущий идеал, получаются условия делимости для f _i . Подробности см. в [DF].

Учитывая произвольную квадратную матрицу, элементарные делители, используемые при построении жордановой нормальной формы, не существуют над F [ X ], поэтому инвариантные множители f _i вместо них необходимо использовать , указанные выше. Тогда последний из этих множителей f _k представляет собой минимальный многочлен, который Таким образом, инвариантные факторы делятся, и произведение инвариантных факторов дает характеристический полином. Обратите внимание, что это означает, что минимальный многочлен делит характеристический многочлен (что по сути является теоремой Кэли-Гамильтона ), и что каждый неприводимый фактор характеристического многочлена также делит минимальный многочлен (возможно, с меньшей кратностью).

Для каждого инвариантного фактора f _i берется сопутствующая ему матрица C _{f _i} , и блочная диагональная матрица, сформированная из этих блоков, дает каноническую форму A рациональную . Когда минимальный многочлен идентичен характеристическому многочлену (случай k = 1), нормальная форма Фробениуса является сопутствующей матрицей характеристического многочлена. Поскольку рациональная каноническая форма однозначно определяется уникальными инвариантными факторами, связанными с A , и эти инвариантные факторы не зависят от базиса , отсюда следует, что две квадратные матрицы A и B подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую рациональную каноническую форму.

Рациональная нормальная форма, обобщающая жорданову нормальную форму.

Нормальная форма Фробениуса не отражает никакой формы факторизации характеристического многочлена, даже если он существует над основным полем F . Это означает, что оно инвариантно, когда F заменяется другим полем (пока оно содержит элементы исходной матрицы A ). С другой стороны, это делает нормальную форму Фробениуса весьма отличной от других нормальных форм, которые действительно зависят от факторизации характеристического многочлена, особенно от диагональной формы (если A диагонализуемо) или, в более общем плане, от нормальной формы Жордана (если характеристический многочлен распадается на линейные факторы). Например, нормальная форма Фробениуса диагональной матрицы с различными диагональными элементами является просто сопутствующей матрицей ее характеристического многочлена.

Существует другой способ определения нормальной формы, который, как и нормальная форма Фробениуса, всегда определяется над тем же полем F, что и A , но это отражает возможную факторизацию характеристического многочлена (или, что эквивалентно, минимального многочлена) на неприводимые факторы. над F и которая сводится к жордановой нормальной форме, когда эта факторизация содержит только линейные множители (соответствующие собственным значениям ). Эта форма ^[1] иногда называют обобщенной жордановой нормальной формой или первичной рациональной канонической формой . Он основан на том факте, что векторное пространство можно канонически разложить в прямую сумму стабильных подпространств, соответствующих различным неприводимым факторам P характеристического многочлена (как утверждает лемма des noyaux [ fr ] ^[2]), где характеристический многочлен каждого слагаемого является степенью соответствующего P . Эти слагаемые могут быть далее неканонически разложены как прямая сумма циклических F [ x ]-модулей (как это сделано для нормальной формы Фробениуса выше), где характеристический полином каждого слагаемого по-прежнему представляет собой (обычно меньшую) степень П. Первичная рациональная каноническая форма - это блочная диагональная матрица, соответствующая такому разложению на циклические модули, с особой формой, называемой обобщенным жордановым блоком в диагональных блоках, соответствующей определенному выбору базиса для циклических модулей. Этот обобщенный жорданов блок сам по себе является блочной матрицей вида

\scriptstyle {\begin{pmatrix}C&0&\cdots &0\\U&C&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &U&C\end{pmatrix}}

где C — сопутствующая матрица неприводимого многочлена $P$ , а $U$ — матрица, единственная ненулевая запись которой равна 1 в верхнем правом углу. В случае линейного неприводимого множителя $P = x - λ$ эти блоки сводятся к одиночным элементам $C = λ$ и $U = 1$ , и находится (транспонированный) жордановый блок . В любом обобщенном жордановом блоке все элементы непосредственно под главной диагональю равны 1. Базис циклического модуля, порождающего эту форму, получается путем выбора порождающего вектора $v$ (того, который не аннулируется $P к -1 (A)$ где минимальный многочлен циклического модуля равен $P к$ ), и взяв за основу

v,A(v),A^{2}(v),\ldots ,A^{d-1}(v),~P(A)(v),A(P(A)(v)),\ldots ,A^{d-1}(P(A)(v)),~P^{2}(A)(v),\ldots ,~P^{k-1}(A)(v),\ldots ,A^{d-1}(P^{k-1}(A)(v))

где $d = град(п)$ .

См. также

Смит, нормальная форма

Ссылки

[DF] Дэвид С. Даммит и Ричард М. Фут. Абстрактная алгебра . 2-е издание, Джон Уайли и сыновья. стр. 442, 446, 452-458. ISBN 0-471-36857-1 .

^ Фани Бхушан Бхаттачарья, Сурендер Кумар Джайн, С.Р. Нагпол, Основная абстрактная алгебра , Теорема 5.4, стр.423
^ Ксавье Гурдон, Математика в уме, Математика для М ', Алгебра , 1998, Эллипсы, 1 стр. 173

Внешние ссылки

Рациональная каноническая форма (Mathworld)

Алгоритмы

[1] Фани Бхушан Бхаттачарья, Сурендер Кумар Джайн, С.Р. Нагпол, Основная абстрактная алгебра , Теорема 5.4, стр.423

[2] Ксавье Гурдон, Математика в уме, Математика для М ', Алгебра , 1998, Эллипсы, 1 стр. 173

[1]

[2]