Закон взаимности

В математике закон взаимности представляет собой обобщение закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены. $f(x)$ с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичная взаимность, определяет, когда неприводимый многочлен $f(x)=x^{2}+ax+b$ распадается на линейные члены при уменьшении мод. $p$ . То есть он определяет, для каких простых чисел выполняется соотношение

$f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p}){\text{ }}({\text{mod }}p)$

держит. Для общего закона взаимности ^[1]^{стр. 3}, оно определяется как правило, определяющее, какие простые числа $p$ полином $f_{p}$ разбивается на линейные факторы, обозначаемые ${\text{Spl}}\{f(x)\}$ .

Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, обнаруженные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом n- й степени по модулю другого простого числа, и давало соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности так, что произведение ) по p Гильберта символов вычета нормы ( a , b / p , принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина из идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиально на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

имен Закон взаимности был придуман Лежандром в его публикации 1785 года «Recherches d'analyse indetermine» . ^[2] потому что нечетные простые числа совершают возвратно-поступательные движения или нет в смысле квадратичной взаимности, указанной ниже, в соответствии с их классами вычетов. ${\bmod {4}}$ . Такое возвратно-поступательное поведение не является хорошим обобщением, в отличие от эквивалентного поведения расщепления. имен Закон взаимности до сих пор используется в более общем контексте расщеплений.

Квадратичная взаимность [ править ]

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности гласит:

for positive odd primes  $p,q$  we have  $\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.$

Используя определение символа Лежандра, это эквивалентно более элементарному утверждению об уравнениях.

For positive odd primes  $p,q$  the solubility of  $n^{2}-p\equiv 0{\bmod {q}}$  for  $n$  determines the solubility of  $m^{2}-q\equiv 0{\bmod {p}}$  for  $m$  and vice versa by the comparatively simple criterion whether  $(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}$  is  $1$  or  $-1$ .

Согласно факторной теореме и поведению степеней при факторизации разрешимость таких квадратных уравнений сравнения эквивалентна расщеплению ассоциированных квадратных многочленов по кольцу вычетов на линейные множители. В этой терминологии закон квадратичной взаимности формулируется следующим образом.

For positive odd primes  $p,q$  the splitting of the polynomial  $x^{2}-p$  in  ${\bmod {q}}$ -residues determines the splitting of the polynomial  $x^{2}-q$  in  ${\bmod {p}}$ -residues and vice versa through the quantity  $(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}\in \{\pm 1\}$ .

Это устанавливает мост от названия, обозначающего возвратно-поступательное поведение простых чисел, введенное Лежандром, к поведению расщепления полиномов, используемых в обобщениях.

Кубическая взаимность [ править ]

Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β первичны (простые числа, конгруэнтные 2 по модулю 3), то

{\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.

Квартичная взаимность [ править ]

С точки зрения символа вычета четвертой степени, закон взаимности четвертой степени для гауссовых целых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) ³) Гауссовы простые числа тогда

{\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.

Октическая взаимность [ править ]

Взаимность Эйзенштейна [ править ]

Предположим, что ζ $l$ корень из единицы для некоторого нечетного простого числа $l$ . Степенной характер — это степень ζ такая, что

\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}{\pmod {\mathfrak {p}}}

для любого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ Z [ ζ ]. Он распространяется на другие идеалы посредством мультипликативности. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что

\left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}

для любого целого рационального числа, взаимно простого с $l$ и α любой элемент из Z [ζ], взаимно простой с a и $l$ и конгруэнтный целому рациональному модулю (1–ζ) ².

Куммер взаимность [ править ]

Предположим, что ζ — корень l- й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Поскольку l регулярен, мы можем расширить символ {} до идеалов единственным способом, так что

\left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\}

где n — некоторое целое число, простое с l такое, что p ^н является основным.

Закон взаимности Куммера гласит, что

\left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\}

для p и q любые различные простые идеалы группы Z [ζ], отличные от (1–ζ).

Взаимность Гильберта [ править ]

С точки зрения символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел гласит, что

\prod _{v}(a,b)_{v}=1

где произведение находится по всем конечным и бесконечным местам. Для рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы убедиться в этом, возьмем a и b как различные нечетные простые числа. Тогда закон Гильберта принимает вид $(p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1$ Но ( p , q ) _p равно символу Лежандра, ( p , q ) _∞ равно 1, если один из p и q положителен, и –1 в противном случае, и ( p , q ) ₂ равно (–1) ^{( п –1)( q –1)/4}. Таким образом, для p и q положительных нечетных простых чисел закон Гильберта является законом квадратичной взаимности.

Искусство взаимности [ править ]

На языке идел закон взаимности Артина для конечного расширения L / K утверждает, что отображение Артина из группы классов иделей C _K в абелианизацию Gal( L / K ) ^аб группы Галуа исчезает на N _{L / K} ( CL ₎ и индуцирует изоморфизм

\theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}}.

Хотя это не сразу очевидно, из закона взаимности Артина легко вытекают все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям L / K . Например, в частном случае, когда K содержит корни n-й степени из единицы и L = K [ a ^{1/ н}] является расширением Куммера K , тот факт, что отображение Артина обращается в нуль на N _{L / K} ( CL _{) ,} влечет за собой закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.

Местная взаимность [ править ]

Хассе ввел локальный аналог закона взаимности Артина, названный локальным законом взаимности. Одна из его форм утверждает, что для конечного абелева расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом от $K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })$ в группу Галуа $Gal(L/K)$ .

законы Явные взаимности

Чтобы получить закон взаимности классического стиля из закона взаимности Гильберта Π( a , b ) _p =1, нужно знать значения ( a , b ) _p для p, делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.

Законы взаимности власти

Степенной закон взаимности можно сформулировать как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как ^[3]

\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}\ .

Законы рациональной взаимности

Рациональный закон взаимности формулируется в терминах целых рациональных чисел без использования корней из единицы.