Закон взаимности
![]() | Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( январь 2019 г. ) |
В математике закон взаимности представляет собой обобщение закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены. с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичная взаимность, определяет, когда неприводимый многочлен распадается на линейные члены при уменьшении мод. . То есть он определяет, для каких простых чисел выполняется соотношение
держит. Для общего закона взаимности [1] стр. 3 , оно определяется как правило, определяющее, какие простые числа полином разбивается на линейные факторы, обозначаемые .
Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, обнаруженные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом n-й степени по модулю другого простого числа, и давали соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности так, что произведение ) по p Гильберта символов вычета нормы ( a , b / p , принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина из идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиально на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.
имен Закон взаимности был придуман Лежандром в его публикации 1785 года «Recherches d'analyse indetermine» . [2] потому что нечетные простые числа совершают возвратно-поступательные движения или нет в смысле квадратичной взаимности, указанной ниже, в соответствии с их классами вычетов. . Такое возвратно-поступательное поведение не является хорошим обобщением, в отличие от эквивалентного поведения расщепления. имен Закон взаимности до сих пор используется в более общем контексте расщеплений.
Квадратичная взаимность [ править ]
В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности гласит:
для положительных нечетных простых чисел у нас есть
Используя определение символа Лежандра, это эквивалентно более элементарному утверждению об уравнениях.
Для положительных нечетных простых чисел растворимость для определяет растворимость для и наоборот, по сравнительно простому критерию: является или .
Согласно факторной теореме и поведению степеней при факторизации разрешимость таких квадратных уравнений эквивалентна расщеплению ассоциированных квадратных многочленов по кольцу вычетов на линейные множители. В этой терминологии закон квадратичной взаимности формулируется следующим образом.
Для положительных нечетных простых чисел расщепление многочлена в -вычеты определяют расщепление многочлена в -остатки и наоборот через количество .
Это устанавливает мост от названия, обозначающего возвратно-поступательное поведение простых чисел, введенное Лежандром, к поведению расщепления полиномов, используемых в обобщениях.
Кубическая взаимность [ править ]
Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β первичны (простые числа, конгруэнтные 2 по модулю 3), то
Квартичная взаимность [ править ]
С точки зрения символа вычета четвертой степени, закон взаимности четвертой степени для гауссовых целых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) 3 ) Гауссовы простые числа тогда
Октическая взаимность [ править ]
Взаимность Эйзенштейна [ править ]
Предположим, что ζ корень из единицы для некоторого нечетного простого числа . Степенной характер — это степень ζ такая, что
для любого простого идеала Z [ ζ ]. Он распространяется на другие идеалы посредством мультипликативности. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что
для любого целого рационального числа, взаимно простого с и α любой элемент из Z [ζ], взаимно простой с a и и конгруэнтный целому рациональному модулю (1–ζ) 2 .
Куммер взаимность [ править ]
Предположим, что ζ — корень l -й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Поскольку l регулярен, мы можем уникальным образом распространить символ {} на идеалы, так что
- где n — некоторое целое число, простое с l такое, что p н является основным.
Закон взаимности Куммера гласит, что
для p и q любые различные простые идеалы группы Z [ζ], отличные от (1–ζ).
Взаимность Гильберта [ править ]
С точки зрения символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел гласит, что
где произведение находится по всем конечным и бесконечным местам. Для рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы убедиться в этом, возьмем a и b как различные нечетные простые числа. Тогда закон Гильберта принимает вид Но ( p , q ) p равно символу Лежандра, ( p , q ) ∞ равно 1, если один из p и q положителен, и –1 в противном случае, и ( p , q ) 2 равно (–1) ( п –1)( q –1)/4 . Таким образом, для p и q положительных нечетных простых чисел закон Гильберта является законом квадратичной взаимности.
Искусство взаимности [ править ]
На языке идел закон взаимности Артина для конечного расширения L / K утверждает, что отображение Артина из группы классов иделей C K в абелианизацию Gal( L / K ) аб группы Галуа исчезает на N L / K ( CL ) и индуцирует изоморфизм
Хотя это и не сразу очевидно, из закона взаимности Артина легко вытекают все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям L / K . Например, в частном случае, когда K содержит корни n- й степени из единицы и L = K [ a 1/ н ] является расширением Куммера K , тот факт, что отображение Артина обращается в нуль на N L / K ( CL ) , влечет за собой закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.
Местная взаимность [ править ]
Хассе ввел локальный аналог закона взаимности Артина, названный локальным законом взаимности. Одна из его форм утверждает, что для конечного абелева расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом от в группу Галуа .
взаимности Явные законы
Чтобы получить классический закон взаимности из закона взаимности Гильберта Π( a , b ) p =1, нужно знать значения ( a , b ) p для p , делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.
взаимности власти Законы
Степенной закон взаимности можно сформулировать как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как [3]
взаимности Законы рациональной
Рациональный закон взаимности формулируется в терминах целых рациональных чисел без использования корней из единицы.
Закон взаимности Шольца [ править ]
Взаимность Шимуры [ править ]
взаимности Вейля Закон
Ленглендса Взаимность
Программа Ленглендса включает несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL 1 влекут за собой закон взаимности Артина.
Ямамото Закон взаимности
Закон взаимности Ямамото — это закон взаимности, связанный с числами классов полей квадратичных чисел.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Хирамацу, Тоёкадзу; Сайто, Сэйкен (4 мая 2016 г.). Введение в неабелеву теорию полей классов . Серия по теории чисел и ее приложениям. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/10096 . ISBN 978-981-314-226-8 .
- ^ Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции . Основы математических наук. Том 281. Берлин: Шпрингер. п. 152ф. дои : 10.1007/978-3-642-52244-4 . ISBN 3-540-15295-4 .
- ^ Нойкирх (1999) стр.415
- Фрей, Гюнтер (1994), «Закон взаимности от Эйлера до Эйзенштейна», в книге Чикара, Сасаки (ред.), Пересечение истории и математики. Доклады, представленные на симпозиуме по истории математики, проходившем в Токио, Япония, 31 августа - 1 сентября 1990 г. , Sci. Сети Студ., вып. 15, Базель: Биркхойзер, стр. 67–90, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1972-12997-5 , ISBN. 9780817650292 , МР 0308080 , Збл 0818.01002
- Гильберт, Дэвид (1897), «Теория полей алгебраических чисел» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456
- Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03545-0 , ISBN 978-3-540-62779-1 , МР 1646901
- Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4 , МР 1761696 , Збл 0949.11002
- Леммермейер, Франц, Законы взаимности. От Куммера до Гильберта
- Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6 , Збл 0956.11021
- Степанов С.А. (2001) [1994], «Законы взаимности» , Энциклопедия математики , EMS Press
- Вайман, Б.Ф. (1972), «Что такое закон взаимности?», Amer. Математика. Monthly , 79 (6): 571–586, doi : 10.2307/2317083 , JSTOR 2317083 , MR 0308084 . Поправка, там же. 80 (1973), 281.