Свойство фиксированной точки

Математический , объект X обладает свойством фиксированной точки если каждое правильное отображение в X себя имеет фиксированную точку . Этот термин чаще всего используется для описания топологических пространств , в которых каждое непрерывное отображение имеет фиксированную точку. Но есть еще одно применение в теории порядка , где частично упорядоченное множество P говорят, что обладает свойством неподвижной точки, если каждая возрастающая функция на P имеет фиксированную точку.

Определение

Пусть A объект конкретной категории C. — Тогда A обладает свойством неподвижной точки , если каждый морфизм (т. е. каждая функция ) $f:A\to A$ имеет фиксированную точку.

Чаще всего используется, когда C = Top — категория топологических пространств . Тогда топологическое пространство X обладает свойством неподвижной точки, если каждое непрерывное отображение $f:X\to X$ имеет фиксированную точку.

Примеры

Одиночки

В категории множеств объекты со свойством фиксированной точки являются именно одиночками .

Закрытый интервал

Замкнутый интервал [0,1] обладает свойством неподвижной точки: пусть f : [0,1] → [0,1] — непрерывное отображение. Если f (0) = 0 или f (1) = 1, то наше отображение имеет неподвижную точку в точке 0 или 1. Если нет, то f (0) > 0 и f (1) − 1 < 0. Таким образом, функция g ( x ) = f ( x ) − x является непрерывной вещественнозначной функцией, которая положительна при x = 0 и отрицательна при x = 1. По теореме о промежуточном значении существует некоторая точка x ₀ с g ( x ₀ ) = 0, то есть f ( x ₀ ) − x ₀ = 0, и поэтому x ₀ является фиксированной точкой.

не Открытый интервал обладает свойством фиксированной точки. Отображение f ( x ) = x ² не имеет неподвижной точки на отрезке (0,1).

Закрытый диск

Замкнутый интервал — это частный случай замкнутого диска , который в любой конечной размерности обладает свойством неподвижной точки по теореме Брауэра о неподвижной точке .

Топология

Ретракт X A пространства . со свойством неподвижной точки также обладает свойством неподвижной точки Это потому, что если $r:X\to A$ представляет собой откат и $f:A\to A$ — любая непрерывная функция, то композиция $i\circ f\circ r:X\to X$ (где $i:A\to X$ является включением) имеет неподвижную точку. То есть, есть $x\in A$ такой, что $f\circ r(x)=x$. С $x\in A$ у нас есть это $r(x)=x$ и поэтому $f(x)=x.$

Топологическое пространство обладает свойством неподвижной точки тогда и только тогда, когда его тождественное отображение универсально .

Произведение пространств со свойством неподвижной точки, как правило, не обладает свойством неподвижной точки, даже если одно из пространств является замкнутым вещественным интервалом.

ФПП является топологическим инвариантом , т. е. сохраняется при любом гомеоморфизме . FPP также сохраняется при любом втягивании .

Согласно теореме Брауэра о неподвижной точке , каждое компактное и выпуклое подмножество имеет евклидова пространства FPP. В более общем смысле, согласно теореме Шаудера-Тихонова о неподвижной точке, каждое компактное и выпуклое подмножество локально выпуклого топологического векторного пространства имеет FPP. Сама по себе компактность не подразумевает FPP, а выпуклость даже не является топологическим свойством, поэтому имеет смысл задаться вопросом, как топологически охарактеризовать FPP. В 1932 году Борсук задался вопросом, может ли компактность вместе со сжимаемостью быть достаточным условием для существования FPP. Проблема оставалась открытой в течение 20 лет, пока гипотеза не была опровергнута Киношитой, который нашел пример компактного сжимаемого пространства без ФПП.

Ссылки

• Сэмюэл Эйленберг, Норман Стинрод (1952). Основы алгебраической топологии . Издательство Принстонского университета.
• Шредер, Бернд (2002). Заказанные наборы . Биркхойзер Бостон.