Jump to content

Полиномы Макдональда

В математике полиномы Макдональда P λ ( x ; t , q ) представляют собой семейство ортогональных симметричных полиномов от нескольких переменных, введенных Макдональдом в 1987 году. Позже он представил несимметричное обобщение в 1995 году. Макдональд первоначально связал свои полиномы с весами λ. конечных систем корней и использовал только одну переменную t , но позже понял, что более естественно связать их с аффинными системами корней, а не с конечными системами корней, и в этом случае переменную t можно заменить несколькими разными переменными t =( t 1 ,..., t k ), по одному на каждую из k орбит корней аффинной системы корней. Полиномы Макдональда — это полиномы от n переменных x = ( x 1 ,..., x n ), где n — ранг аффинной корневой системы. Они обобщают многие другие семейства ортогональных полиномов, такие как полиномы Джека и полиномы Холла-Литтлвуда и полиномы Аски-Уилсона , которые, в свою очередь, включают большинство названных ортогональных полиномов с 1 переменной как частные случаи. Полиномы Курнвиндера представляют собой полиномы Макдональда некоторых нередуцированных корневых систем. У них глубокие отношения с аффинные алгебры Гекке и схемы Гильберта , которые были использованы для доказательства нескольких гипотез, сделанных о них Макдональдом.

Определение

[ редактировать ]

Сначала исправьте некоторые обозначения:

  • R конечная система корней в вещественном векторном пространстве V.
  • Р + есть выбор положительных корней , которым соответствует положительная камера Вейля .
  • W Вейля R. группа
  • Q — решетка корней R (решетка, натянутая на корни).
  • P весов решетка R (содержащая Q ).
  • Порядок по весам : тогда и только тогда, когда является неотрицательной линейной комбинацией простых корней .
  • П + представляет собой набор доминирующих весов: элементы P в положительной камере Вейля.
  • ρ — вектор Вейля : половина суммы положительных корней; это особый элемент P + внутри положительной камеры Вейля.
  • F — поле характеристики 0, обычно это рациональные числа.
  • A = F ( P ) — групповая алгебра P записанным с базисом элементов, e л P. для λ
  • Если f = е л , тогда f означает e , и это распространяется по линейности на всю групповую алгебру.
  • m µ = Σ λ ∈ W µ e л – орбитальная сумма; эти элементы составляют основу подалгебры A В элементов, фиксированных W .
  • , бесконечный символ q-Похгаммера .
  • является скалярным произведением двух элементов A , по крайней мере, когда t является положительной целой степенью q .

Полиномы Макдональда P λ для λ ∈ P + однозначно определяются следующими двумя условиями:

где u λμ — рациональная функция от q и t , причем u λλ = 1;
P λ и P µ ортогональны, если λ < µ.

Другими словами, полиномы Макдональда получаются путем ортогонализации очевидного базиса для A В . Существование полиномов с такими свойствами легко показать (для любого скалярного произведения). Ключевым свойством полиномов Макдональда является то, что они ортогональны : 〈 P λ , P µ 〉 = 0 всякий раз, когда λ ≠ µ. Это нетривиальное следствие определения, поскольку P + не является полностью упорядоченным и поэтому содержит множество несравнимых элементов. Таким образом, необходимо проверить, что соответствующие многочлены по-прежнему ортогональны. Ортогональность можно доказать, показав, что полиномы Макдональда являются собственными векторами. для алгебры коммутирующих самосопряженных операторов с одномерными собственными пространствами и используя тот факт, что собственные пространства для разных собственных значений должны быть ортогональными.

В случае непростых систем корней (B, C, F, G) параметр t можно выбрать изменяющимся в зависимости от длины корня, что дает трехпараметрическое семейство полиномов Макдональда. Можно также распространить определение на нередуцированную корневую систему BC, и в этом случае получится семейство с шестью параметрами (один t для каждой орбиты корней плюс q ), известное как полиномы Курнвиндера . Иногда лучше рассматривать полиномы Макдональда как зависящие от возможно нередуцированной аффинной корневой системы. В этом случае существует один параметр t, связанный с каждой орбитой корней в аффинной корневой системе, плюс один параметр q . Число витков корней может варьироваться от 1 до 5.

  • Если q = t, то полиномы Макдональда становятся характерами Вейля представлений компактной группы корневой системы или функциями Шура в случае корневых систем A. типа
  • Если q = 0, полиномы Макдональда становятся (перемасштабированными) зональными сферическими функциями для полупростой p -адической группы или полиномами Холла – Литтлвуда, когда корневая система имеет тип A .
  • Если t = 1, полиномы Макдональда становятся суммами по W орбитам, которые являются мономиальными симметричными функциями, когда корневая система имеет тип A .
  • Если положить t = q а и пусть q стремится к 1, полиномы Макдональда становятся полиномами Джека, когда корневая система имеет тип A , и полиномами Хекмана – Опдама для более общих корневых систем.
  • Для аффинной корневой системы A 1 полиномы Макдональда являются полиномами Роджерса .
  • Для нередуцированной аффинной корневой системы ранга 1 типа ( C
    1
    , C 1 ), полиномы Макдональда представляют собой полиномы Аски–Вильсона , которые, в свою очередь, включают в себя в качестве частных случаев большинство названных семейств ортогональных полиномов от 1 переменной.
  • Для нередуцированной аффинной корневой системы типа ( C
    n
    , C n ), полиномы Макдональда являются полиномами Курнвиндера .

Гипотеза постоянного члена Макдональда

[ редактировать ]

Если т = q к для некоторого положительного целого числа k норма полиномов Макдональда определяется выражением

Это было высказано Макдональдом (1982) как обобщение гипотезы Дайсона и доказано для всех (приведенных) корневых систем Чередником (1995) с использованием свойств дважды аффинных алгебр Гекке . Гипотеза ранее была доказана в каждом конкретном случае типа En для всех систем корней, кроме систем несколькими авторами .

Есть две другие гипотезы, которые вместе с гипотезой о норме в этом контексте называются гипотезами Макдональда: в дополнение к формуле для нормы Макдональд выдвинул гипотезу о формуле для значения P λ в точке t р и симметрия

Опять же, они были доказаны для общих приведенных корневых систем Чередником ( 1995 ) с использованием двойных аффинных алгебр Гекке с вскоре после этого расширением на случай BC благодаря работам ван Диена, Ноуми и Сахи.

Гипотеза Макдональда о позитивности

[ редактировать ]

В случае систем корней типа A n −1 полиномы Макдональдаявляются просто симметричными полиномами от n переменных с коэффициентами, которые являются рациональными функциями q и t . Определенная трансформированная версия полиномов Макдональда (см. Комбинаторную формулу ниже) образуют ортогональный базис пространства симметричных функций над , и поэтому может быть выражено через функции Шура . Коэффициенты K λμ ( q , t ) этих соотношений называются коэффициентами Костки–Макдональда или qt -коэффициентами Костки.Макдональд предположил, что коэффициенты Костки – Макдональда представляют собой полиномы от q и t с неотрицательными целыми коэффициентами. Эти предположения теперь доказаны; самым трудным и последним шагом было доказательство положительности, которое было сделано Марком Хейманом (2001), доказав n ! предположение .

-Костки по-прежнему остается центральной открытой проблемой алгебраической комбинаторики Нахождение комбинаторной формулы для коэффициентов qt .

н! догадка

[ редактировать ]

Затем ! Гипотеза Адриано Гарсиа и Марка Хаймана утверждает, что для каждого разбиения µ числа n пространство

натянутый на все высшие частные производные

имеет размерность n !, где ( p j , q j ) пробегают n элементов диаграммы разбиения µ, рассматриваемого как подмножество пар неотрицательных целых чисел. Например, если µ — это разбиение 3 = 2 + 1 числа n = 3, то пары ( p j , q j ) являются(0, 0), (0, 1), (1, 0), а пространство D µ натянуто на

который имеет размерность 6 = 3!.

Доказательство Хаймана гипотезы Макдональда о положительности и n ! Гипотеза заключалась в том, чтобы показать, что изоспектральная схема Гильберта из n точек на плоскости была схемой Коэна – Маколея (и даже Горенштейна ). Более ранние результаты Хаймана и Гарсиа уже показали, что это подразумевает n ! гипотеза, и что n ! Гипотеза подразумевала, что коэффициенты Костки–Макдональда представляют собой градуированные кратности характеров для модулей D µ . Это немедленно подразумевает гипотезу Макдональда о положительности, поскольку кратность символов должна быть неотрицательными целыми числами.

Ян Гройновски и Марк Хейман нашли еще одно доказательство гипотезы Макдональда о положительности, доказав гипотезу о положительности для полиномов LLT .

Комбинаторная формула для полиномов Макдональда

[ редактировать ]

В 2005 г. Дж. Хаглунд, М. Хайман и Н. Лоер. [1] дал первое доказательство комбинаторной интерпретации Полиномы Макдональда. В 1988 году И.Г. Макдональд [2] дал второе доказательство комбинаторной интерпретации полиномов Макдональда (уравнения (4.11) и (5.13)).Формула Макдональда отличается от формулы Хаглунда, Хаймана и Лоэра и содержит гораздо меньше членов (эта формула доказана также в основополагающей работе Макдональда [3] Ч. VI (7.13)). Хотя их комбинаторные формулы очень полезны для вычислений и интересны сами по себе, они не сразу подразумевают положительность коэффициентов Костки-Макдональда. поскольку они дают разложение полиномов Макдональда в мономиальные симметричные функции, а не в функции Шура.

Записано в преобразованных полиномах Макдональда. а не обычный , они есть

где σ — заполнение диаграммы Юнга формы µ, inv и maj — некоторые комбинаторные статистики (функции), определенные на заполнении σ. Эта формула выражает полиномы Макдональда от бесконечного числа переменных. Чтобы получить полиномы от n переменных, просто ограничьте формулу заполнением, в котором используются только целые числа 1, 2, ..., n . Термин х п следует интерпретировать как где σi количество ячеек в заполнении µ содержимым i .

Это изображает руку и ногу квадрата диаграммы Юнга. Рука — это количество клеток справа от нее, а нога — количество клеток над ней.

Преобразованные полиномы Макдональда в приведенной выше формуле связаны с классическими полиномами Макдональда через последовательность преобразований. Во-первых, интегральная форма полиномов Макдональда, обозначаемая , представляет собой повторное масштабирование что очищает знаменатели коэффициентов:

где представляет собой совокупность квадратов диаграммы Юнга , и и обозначаем руку и ногу квадрата , как показано на рисунке. Примечание. На рисунке справа для таблицы используются французские обозначения, которые перевернуты вертикально по сравнению с английскими обозначениями, используемыми на странице Википедии для диаграмм Янга. Французские обозначения чаще используются при изучении полиномов Макдональда.

Преобразованные полиномы Макдональда тогда можно определить с точки зрения х. У нас есть

где

Обозначение скобок выше обозначает плетистическую замену .

Эту формулу можно использовать для доказательства формулы Кнопа и Сахи для полиномов Джека .

Несимметричные полиномы Макдональда

[ редактировать ]

В 1995 году Макдональд представил несимметричный аналог симметричных полиномов Макдональда:а симметричные полиномы Макдональда можно легко восстановить из несимметричного аналога.В своем первоначальном определении он показывает, что несимметричные полиномы Макдональда представляют собой уникальное семейство полиномов. полиномы, ортогональные определенному скалярному произведению, а также удовлетворяющие Свойство треугольности при разложении по мономиальному базису.

В 2007 году Хаглунд, Хайман и Лоер дали комбинаторную формулу для несимметричных полиномов Макдональда.

Несимметричные полиномы Макдональда специализируются на символах Демазюра, принимая q=t=0,и ключевым полиномам, когда q=t=∞.

Комбинаторные формулы, основанные на процессе исключения

[ редактировать ]

В 2018 году С. Кортил , О. Мандельштам и Л. Уильямс использовали процесс исключения, чтобы дать прямую комбинаторную характеристику как симметричных, так и несимметричных полиномов Макдональда. [4] Их результаты отличаются от более ранних работ Хаглунда отчасти потому, что они дают формулу непосредственно для полиномов Макдональда, а не ее преобразование. Они развивают концепцию многострочной очереди, которая представляет собой матрицу, содержащую шары или пустые ячейки вместе с отображением шаров на их соседей и комбинаторным механизмом маркировки. Тогда несимметричный полином Макдональда удовлетворяет:

где сумма равна всем многострочные очереди типа и — это весовая функция, сопоставляющая эти очереди с конкретными полиномами. Симметричный полином Макдональда удовлетворяет:

где внешняя сумма рассчитывается по всем различным композициям которые представляют собой перестановки , а внутренняя сумма такая же, как и раньше.

  1. ^ Хаглунд, Дж.; Хайман, М.; Лоер, Н. (2005), «Комбинаторная формула для полиномов Макдональда», Журнал Американского математического общества , 18 (3): 735–761, arXiv : math/0409538 , doi : 10.1090/S0894-0347-05-00485 -6 , ISSN   0894-0347 , МР   2138143
  2. ^ Макдональд, И.Г. Новый класс симметричных функций. Опубл. IRMA Страсбург, 1988, 372/S–20 Actes 20e Séminaire Lotharingien, с. 131–171. eudml.org
  3. ^ Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
  4. ^ Кортель, Сильви; Мандельштам, Оля; Уильямс, Лорен (2018), «От многострочных очередей к полиномам Макдональда посредством процесса исключения», arXiv : 1811.01024 [ math.CO ]

Библиография

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: eb692073c46d51746c3a3d2f76df0d06__1705118160
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/eb/06/eb692073c46d51746c3a3d2f76df0d06.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Macdonald polynomials - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)