Полиномы Макдональда
В этой статье есть несколько проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти шаблонные сообщения )
|
В математике полиномы Макдональда P λ ( x ; t , q ) представляют собой семейство ортогональных симметричных полиномов от нескольких переменных, введенных Макдональдом в 1987 году. Позже он представил несимметричное обобщение в 1995 году. Макдональд первоначально связал свои полиномы с весами λ. конечных систем корней и использовал только одну переменную t , но позже понял, что более естественно связать их с аффинными системами корней, а не с конечными системами корней, и в этом случае переменную t можно заменить несколькими разными переменными t =( t 1 ,..., t k ), по одному на каждую из k орбит корней аффинной системы корней. Полиномы Макдональда — это полиномы от n переменных x = ( x 1 ,..., x n ), где n — ранг аффинной корневой системы. Они обобщают многие другие семейства ортогональных полиномов, такие как полиномы Джека и полиномы Холла-Литтлвуда и полиномы Аски-Уилсона , которые, в свою очередь, включают большинство названных ортогональных полиномов с 1 переменной как частные случаи. Полиномы Курнвиндера представляют собой полиномы Макдональда некоторых нередуцированных корневых систем. У них глубокие отношения с аффинные алгебры Гекке и схемы Гильберта , которые были использованы для доказательства нескольких гипотез, сделанных о них Макдональдом.
Определение
[ редактировать ]Сначала исправьте некоторые обозначения:
- R конечная система корней в вещественном векторном пространстве V. —
- Р + есть выбор положительных корней , которым соответствует положительная камера Вейля .
- W — Вейля R. группа
- Q — решетка корней R (решетка, натянутая на корни).
- P — весов решетка R (содержащая Q ).
- Порядок по весам : тогда и только тогда, когда является неотрицательной линейной комбинацией простых корней .
- П + представляет собой набор доминирующих весов: элементы P в положительной камере Вейля.
- ρ — вектор Вейля : половина суммы положительных корней; это особый элемент P + внутри положительной камеры Вейля.
- F — поле характеристики 0, обычно это рациональные числа.
- A = F ( P ) — групповая алгебра P записанным с базисом элементов, e л ∈ P. для λ
- Если f = е л , тогда f означает e -л , и это распространяется по линейности на всю групповую алгебру.
- m µ = Σ λ ∈ W µ e л – орбитальная сумма; эти элементы составляют основу подалгебры A В элементов, фиксированных W .
- , бесконечный символ q-Похгаммера .
- является скалярным произведением двух элементов A , по крайней мере, когда t является положительной целой степенью q .
Полиномы Макдональда P λ для λ ∈ P + однозначно определяются следующими двумя условиями:
- где u λμ — рациональная функция от q и t , причем u λλ = 1;
- P λ и P µ ортогональны, если λ < µ.
Другими словами, полиномы Макдональда получаются путем ортогонализации очевидного базиса для A В . Существование полиномов с такими свойствами легко показать (для любого скалярного произведения). Ключевым свойством полиномов Макдональда является то, что они ортогональны : 〈 P λ , P µ 〉 = 0 всякий раз, когда λ ≠ µ. Это нетривиальное следствие определения, поскольку P + не является полностью упорядоченным и поэтому содержит множество несравнимых элементов. Таким образом, необходимо проверить, что соответствующие многочлены по-прежнему ортогональны. Ортогональность можно доказать, показав, что полиномы Макдональда являются собственными векторами. для алгебры коммутирующих самосопряженных операторов с одномерными собственными пространствами и используя тот факт, что собственные пространства для разных собственных значений должны быть ортогональными.
В случае непростых систем корней (B, C, F, G) параметр t можно выбрать изменяющимся в зависимости от длины корня, что дает трехпараметрическое семейство полиномов Макдональда. Можно также распространить определение на нередуцированную корневую систему BC, и в этом случае получится семейство с шестью параметрами (один t для каждой орбиты корней плюс q ), известное как полиномы Курнвиндера . Иногда лучше рассматривать полиномы Макдональда как зависящие от возможно нередуцированной аффинной корневой системы. В этом случае существует один параметр t, связанный с каждой орбитой корней в аффинной корневой системе, плюс один параметр q . Число витков корней может варьироваться от 1 до 5.
Примеры
[ редактировать ]- Если q = t, то полиномы Макдональда становятся характерами Вейля представлений компактной группы корневой системы или функциями Шура в случае корневых систем A. типа
- Если q = 0, полиномы Макдональда становятся (перемасштабированными) зональными сферическими функциями для полупростой p -адической группы или полиномами Холла – Литтлвуда, когда корневая система имеет тип A .
- Если t = 1, полиномы Макдональда становятся суммами по W орбитам, которые являются мономиальными симметричными функциями, когда корневая система имеет тип A .
- Если положить t = q а и пусть q стремится к 1, полиномы Макдональда становятся полиномами Джека, когда корневая система имеет тип A , и полиномами Хекмана – Опдама для более общих корневых систем.
- Для аффинной корневой системы A 1 полиномы Макдональда являются полиномами Роджерса .
- Для нередуцированной аффинной корневой системы ранга 1 типа ( C ∨
1 , C 1 ), полиномы Макдональда представляют собой полиномы Аски–Вильсона , которые, в свою очередь, включают в себя в качестве частных случаев большинство названных семейств ортогональных полиномов от 1 переменной. - Для нередуцированной аффинной корневой системы типа ( C ∨
n , C n ), полиномы Макдональда являются полиномами Курнвиндера .
Гипотеза постоянного члена Макдональда
[ редактировать ]Если т = q к для некоторого положительного целого числа k норма полиномов Макдональда определяется выражением
Это было высказано Макдональдом (1982) как обобщение гипотезы Дайсона и доказано для всех (приведенных) корневых систем Чередником (1995) с использованием свойств дважды аффинных алгебр Гекке . Гипотеза ранее была доказана в каждом конкретном случае типа En для всех систем корней, кроме систем несколькими авторами .
Есть две другие гипотезы, которые вместе с гипотезой о норме в этом контексте называются гипотезами Макдональда: в дополнение к формуле для нормы Макдональд выдвинул гипотезу о формуле для значения P λ в точке t р и симметрия
Опять же, они были доказаны для общих приведенных корневых систем Чередником ( 1995 ) с использованием двойных аффинных алгебр Гекке с вскоре после этого расширением на случай BC благодаря работам ван Диена, Ноуми и Сахи.
Гипотеза Макдональда о позитивности
[ редактировать ]В случае систем корней типа A n −1 полиномы Макдональдаявляются просто симметричными полиномами от n переменных с коэффициентами, которые являются рациональными функциями q и t . Определенная трансформированная версия полиномов Макдональда (см. Комбинаторную формулу ниже) образуют ортогональный базис пространства симметричных функций над , и поэтому может быть выражено через функции Шура . Коэффициенты K λμ ( q , t ) этих соотношений называются коэффициентами Костки–Макдональда или qt -коэффициентами Костки.Макдональд предположил, что коэффициенты Костки – Макдональда представляют собой полиномы от q и t с неотрицательными целыми коэффициентами. Эти предположения теперь доказаны; самым трудным и последним шагом было доказательство положительности, которое было сделано Марком Хейманом (2001), доказав n ! предположение .
-Костки по-прежнему остается центральной открытой проблемой алгебраической комбинаторики Нахождение комбинаторной формулы для коэффициентов qt .
н! догадка
[ редактировать ]Затем ! Гипотеза Адриано Гарсиа и Марка Хаймана утверждает, что для каждого разбиения µ числа n пространство
натянутый на все высшие частные производные
имеет размерность n !, где ( p j , q j ) пробегают n элементов диаграммы разбиения µ, рассматриваемого как подмножество пар неотрицательных целых чисел. Например, если µ — это разбиение 3 = 2 + 1 числа n = 3, то пары ( p j , q j ) являются(0, 0), (0, 1), (1, 0), а пространство D µ натянуто на
который имеет размерность 6 = 3!.
Доказательство Хаймана гипотезы Макдональда о положительности и n ! Гипотеза заключалась в том, чтобы показать, что изоспектральная схема Гильберта из n точек на плоскости была схемой Коэна – Маколея (и даже Горенштейна ). Более ранние результаты Хаймана и Гарсиа уже показали, что это подразумевает n ! гипотеза, и что n ! Гипотеза подразумевала, что коэффициенты Костки–Макдональда представляют собой градуированные кратности характеров для модулей D µ . Это немедленно подразумевает гипотезу Макдональда о положительности, поскольку кратность символов должна быть неотрицательными целыми числами.
Ян Гройновски и Марк Хейман нашли еще одно доказательство гипотезы Макдональда о положительности, доказав гипотезу о положительности для полиномов LLT .
Комбинаторная формула для полиномов Макдональда
[ редактировать ]В 2005 г. Дж. Хаглунд, М. Хайман и Н. Лоер. [1] дал первое доказательство комбинаторной интерпретации Полиномы Макдональда. В 1988 году И.Г. Макдональд [2] дал второе доказательство комбинаторной интерпретации полиномов Макдональда (уравнения (4.11) и (5.13)).Формула Макдональда отличается от формулы Хаглунда, Хаймана и Лоэра и содержит гораздо меньше членов (эта формула доказана также в основополагающей работе Макдональда [3] Ч. VI (7.13)). Хотя их комбинаторные формулы очень полезны для вычислений и интересны сами по себе, они не сразу подразумевают положительность коэффициентов Костки-Макдональда. поскольку они дают разложение полиномов Макдональда в мономиальные симметричные функции, а не в функции Шура.
Записано в преобразованных полиномах Макдональда. а не обычный , они есть
где σ — заполнение диаграммы Юнга формы µ, inv и maj — некоторые комбинаторные статистики (функции), определенные на заполнении σ. Эта формула выражает полиномы Макдональда от бесконечного числа переменных. Чтобы получить полиномы от n переменных, просто ограничьте формулу заполнением, в котором используются только целые числа 1, 2, ..., n . Термин х п следует интерпретировать как где σi — количество ячеек в заполнении µ содержимым i .
Преобразованные полиномы Макдональда в приведенной выше формуле связаны с классическими полиномами Макдональда через последовательность преобразований. Во-первых, интегральная форма полиномов Макдональда, обозначаемая , представляет собой повторное масштабирование что очищает знаменатели коэффициентов:
где представляет собой совокупность квадратов диаграммы Юнга , и и обозначаем руку и ногу квадрата , как показано на рисунке. Примечание. На рисунке справа для таблицы используются французские обозначения, которые перевернуты вертикально по сравнению с английскими обозначениями, используемыми на странице Википедии для диаграмм Янга. Французские обозначения чаще используются при изучении полиномов Макдональда.
Преобразованные полиномы Макдональда тогда можно определить с точки зрения х. У нас есть
где
Обозначение скобок выше обозначает плетистическую замену .
Эту формулу можно использовать для доказательства формулы Кнопа и Сахи для полиномов Джека .
Несимметричные полиномы Макдональда
[ редактировать ]В 1995 году Макдональд представил несимметричный аналог симметричных полиномов Макдональда:а симметричные полиномы Макдональда можно легко восстановить из несимметричного аналога.В своем первоначальном определении он показывает, что несимметричные полиномы Макдональда представляют собой уникальное семейство полиномов. полиномы, ортогональные определенному скалярному произведению, а также удовлетворяющие Свойство треугольности при разложении по мономиальному базису.
В 2007 году Хаглунд, Хайман и Лоер дали комбинаторную формулу для несимметричных полиномов Макдональда.
Несимметричные полиномы Макдональда специализируются на символах Демазюра, принимая q=t=0,и ключевым полиномам, когда q=t=∞.
Комбинаторные формулы, основанные на процессе исключения
[ редактировать ]В 2018 году С. Кортил , О. Мандельштам и Л. Уильямс использовали процесс исключения, чтобы дать прямую комбинаторную характеристику как симметричных, так и несимметричных полиномов Макдональда. [4] Их результаты отличаются от более ранних работ Хаглунда отчасти потому, что они дают формулу непосредственно для полиномов Макдональда, а не ее преобразование. Они развивают концепцию многострочной очереди, которая представляет собой матрицу, содержащую шары или пустые ячейки вместе с отображением шаров на их соседей и комбинаторным механизмом маркировки. Тогда несимметричный полином Макдональда удовлетворяет:
где сумма равна всем многострочные очереди типа и — это весовая функция, сопоставляющая эти очереди с конкретными полиномами. Симметричный полином Макдональда удовлетворяет:
где внешняя сумма рассчитывается по всем различным композициям которые представляют собой перестановки , а внутренняя сумма такая же, как и раньше.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Хаглунд, Дж.; Хайман, М.; Лоер, Н. (2005), «Комбинаторная формула для полиномов Макдональда», Журнал Американского математического общества , 18 (3): 735–761, arXiv : math/0409538 , doi : 10.1090/S0894-0347-05-00485 -6 , ISSN 0894-0347 , МР 2138143
- ^ Макдональд, И.Г. Новый класс симметричных функций. Опубл. IRMA Страсбург, 1988, 372/S–20 Actes 20e Séminaire Lotharingien, с. 131–171. eudml.org
- ^ Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
- ^ Кортель, Сильви; Мандельштам, Оля; Уильямс, Лорен (2018), «От многострочных очередей к полиномам Макдональда посредством процесса исключения», arXiv : 1811.01024 [ math.CO ]
Библиография
[ редактировать ]- Чередник, Иван (1995), «Двойные аффинные алгебры Гекке и гипотезы Макдональда», Annals of Mathematics , Вторая серия, 141 (1), Annals of Mathematics: 191–216, doi : 10.2307/2118632 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2118632
- Гарсия, Адриано; Реммель, Джеффри Б. (15 марта 2005 г.), « Прорывы в теории полиномов Макдональда », PNAS , 102 (11): 3891–3894, Bibcode : 2005PNAS..102.3891G , doi : 10.1073/pnas.0409705102 , PMC 554818 , PMID 15753285
- Марк Хейман Комбинаторика, симметричные функции и схемы Гильберта. Современные достижения в математике. 2002, вып. 1 (2002), 39–111.
- Хайман, Марк Заметки о полиномах Макдональда и геометрии схем Гильберта. Симметричные функции 2001: обзоры событий и перспектив, 1–64, NATO Sci. Сер. II Матем. Физ. хим., 74 года, Клюверская академия. Изд., Дордрехт, 2002. МР. 2059359
- Хайман, Марк (2001), « Схемы Гильберта, полиграфы и гипотеза положительности Макдональда », J. Amer. Математика. Соц. , 14 (4): 941–1006, arXiv : math.AG/0010246 , doi : 10.1090/S0894-0347-01-00373-3 , S2CID 9253880
- Кириллов А.А. (1997), "Лекции по аффинным алгебрам Гекке и гипотезам Макдональда" , Бюлл. амер. Математика. Соц. , 34 (3): 251–292, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00727-1
- Макдональд, И.Г. (1982), «Некоторые предположения о корневых системах», SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi : 10.1137/0513070 , ISSN 0036-1410 , MR 0674768
- Макдональд, И.Г. Симметричные функции и полиномы Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x+475 стр. ISBN 0-19-853489-2 МР 1354144
- Макдональд, И.Г. Симметричные функции и ортогональные полиномы. Мемориальные лекции декана Жаклин Б. Льюис, прочитанные в Университете Рутгерса, Нью-Брансуик, Нью-Джерси. Серия университетских лекций, 12. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1998. xvi+53 стр. ISBN 0-8218-0770-6 МР 1488699
- Макдональд, И.Г. Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены. Семинар Бурбаки 797 (1995).
- Макдональд, И.Г. (2000–2001), «Ортогональные полиномы, связанные с корневыми системами», Séminaire Lotharingien de Combinatoire , 45 : Art. B45a, arXiv : math.QA/0011046 , MR 1817334
- Макдональд, И.Г. (2003), Аффинные алгебры Гекке и ортогональные многочлены , Кембриджские трактаты по математике, том. 157, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. x+175, ISBN 978-0-521-82472-9 , МР : 1976581
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Страница Майка Заброцкого о полиномах Макдональда .
- Некоторые статьи Хеймана о полиномах Макдональда.