Моделирование орбиты

Моделирование орбиты — это процесс создания математических моделей для моделирования движения массивного тела, когда оно движется по орбите вокруг другого массивного тела под действием силы тяжести . Другие силы, такие как гравитационное притяжение третичных тел, сопротивление воздуха , солнечное давление или тяга двигательной установки, обычно моделируются как вторичные эффекты. Непосредственное моделирование орбиты может расширить пределы точности машины из-за необходимости моделировать небольшие возмущения на очень больших орбитах. По этой причине для моделирования орбиты часто используются методы возмущений , чтобы добиться большей точности.

Фон

Изучение орбитального движения и математическое моделирование орбит началось с первых попыток предсказать движения планет на небе, хотя в древности причины оставались загадкой. Ньютон , когда он сформулировал свои законы движения и гравитации , применил их к первому анализу возмущений. осознавая сложные трудности их расчета. С тех пор многие великие математики уделяли внимание различным связанным с этим проблемам; на протяжении XVIII и XIX веков существовала потребность в точных таблицах положения Луны и планет для целей навигации на море.

Сложные движения орбит можно разобрать. Гипотетическое движение, которому тело следует только под действием гравитации другого тела, обычно представляет собой коническое сечение и может быть легко смоделировано методами геометрии . Это называется задачей двух тел или невозмущенной кеплеровской орбитой . Различия между кеплеровской орбитой и реальным движением тела вызваны возмущениями . Эти возмущения вызваны силами, отличными от гравитационного эффекта между первичным и вторичным телом, и их необходимо моделировать для создания точной симуляции орбиты. Большинство подходов к моделированию орбиты моделируют задачу двух тел, а затем добавляют модели этих возмущающих сил и моделируют эти модели с течением времени. Возмущающие силы могут включать гравитационное притяжение других тел, помимо основного, солнечный ветер, сопротивление, магнитные поля и движущие силы.

аналитические решения (математические выражения для прогнозирования положений и движений в любой момент времени) для простых задач двух и трех тел Существуют ; ничего не было найдено для задачи n тел, за исключением некоторых особых случаев. Даже задача двух тел становится неразрешимой, если одно из тел имеет неправильную форму.

Из-за сложности поиска аналитических решений большинства представляющих интерес проблем компьютерное моделирование и симуляция для анализа орбитального движения обычно используется . Доступно большое разнообразие программного обеспечения для моделирования орбит и траекторий космических аппаратов.

Модель кеплеровской орбиты

Основная статья: орбита Кеплера

В своей простейшей форме модель орбиты можно создать, предполагая, что задействованы только два тела, оба ведут себя как сферические точечные массы и что на тела не действуют никакие другие силы. В этом случае модель упрощается до орбиты Кеплера .

Кеплеровы орбиты следуют коническим сечениям . Математическая модель орбиты, которая определяет расстояние между центральным телом и вращающимся телом, может быть выражена как:

$r(\nu )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\nu )}}$

Где:

$r$ это расстояние

$a$ — большая полуось , определяющая размер орбиты

$e$ – эксцентриситет , определяющий форму орбиты

$\nu$ — истинная аномалия , представляющая собой угол между текущим положением орбитального объекта и положением на орбите, где он находится ближе всего к центральному телу (называемый перицентром )

Альтернативно уравнение можно выразить как:

$r(\nu )={\frac {p}{1+e\cos(\nu )}}$

Где $p$ называется полурасширенной прямой кишкой кривой. Эта форма уравнения особенно полезна при работе с параболическими траекториями, у которых большая полуось бесконечна.

Альтернативный подход использует Исаака Ньютона , закон всемирного тяготения как он определен ниже:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

где:

$F$ это величина гравитационной силы между двумя точечными массами

$G$ гравитационная постоянная

$m_{1}$ это масса первой точечной массы

$m_{2}$ - масса второй точечной массы

$r$ расстояние между двумя точечными массами

Сделав дополнительное предположение, что масса первичного тела намного больше массы вторичного тела, и подставив во второй закон движения Ньютона , получим следующее дифференциальное уравнение

${\ddot {\mathbf {r} }}={\frac {Gm_{1}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$

Решение этого дифференциального уравнения приводит к кеплеровскому движению орбиты.На практике кеплеровы орбиты обычно полезны только для приближений первого порядка, особых случаев или в качестве базовой модели для возмущенной орбиты.

Методы моделирования орбиты

Основная статья: Возмущение (астрономия)

Модели орбит обычно распространяются во времени и пространстве с использованием специальных методов возмущений . Это выполняется путем предварительного моделирования орбиты как кеплеровской орбиты. Затем в модель добавляются возмущения, чтобы учесть различные возмущения, влияющие на орбиту. Специальные возмущения могут быть применены к любой задаче небесной механики , поскольку она не ограничивается случаями, когда возмущающие силы малы. Специальные методы возмущений лежат в основе наиболее точных машинно генерируемых планетарных эфемерид . см., например, «Эфемериды развития Лаборатории реактивного движения».

метод Коуэлла

Метод Коуэлла. Силы от всех возмущающих тел (черного и серого) суммируются, чтобы сформировать полную силу, действующую на тело i (красный), и она численно интегрируется, начиная с исходного положения (эпохи соприкосновения ).

Метод Коуэлла — это специальный метод возмущений; математически, для $n$ взаимодействующие тела, силы Ньютона, действующие на тело $i$ из других тел $j$ просто суммируются таким образом,

$\mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}{Gm_{j}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}) \over r_{ij}^{3}}$

где

$\mathbf {\ddot {r}} _{i}$ вектор ускорения тела $i$

$G$ гравитационная постоянная

$m_{j}$ это масса тела $j$

$\mathbf {r} _{i}$ и $\mathbf {r} _{j}$ — векторы положения объектов $i$ и $j$

$r_{ij}$ это расстояние от объекта $i$ возражать $j$

при этом все векторы отнесены к барицентру системы. Это уравнение разлагается на компоненты $x$, $y$, $z$ и они численно интегрируются для формирования новых векторов скорости и положения по мере продвижения моделирования во времени. Преимущество метода Коуэлла — простота применения и программирования. Недостаток состоит в том, что когда возмущения становятся большими по величине (например, когда объект приближается к другому), ошибки метода также становятся большими. Другой недостаток состоит в том, что в системах с доминирующим центральным телом, таких как Солнце , приходится носить много значащих цифр в арифметике из-за большой разницы в силах центрального тела и возмущающих тел.

метод Энке

Метод Энке. Здесь сильно преувеличенная небольшая разница δ r (синий) между соприкасающейся невозмущенной орбитой (черный) и возмущенной орбитой (красный) численно интегрируется, начиная с исходного положения (эпоха соприкосновения ).

Метод Энке начинается с соприкасающейся орбиты в качестве эталона и численно интегрируется для определения отклонения от эталонной орбиты как функции времени. Его преимущества заключаются в том, что возмущения обычно невелики по величине, поэтому интегрирование может происходить более крупными шагами (с меньшими ошибками), и на метод гораздо меньше влияют экстремальные возмущения, чем на метод Коуэлла. Его недостатком является сложность; его нельзя использовать бесконечно, не обновляя время от времени соприкасающуюся орбиту и не продолжая оттуда - процесс, известный как выпрямление .

Сдача в аренду ${\boldsymbol {\rho }}$ быть радиус-вектором орбиты соприкасающейся , $\mathbf {r}$ радиус-вектор возмущенной орбиты и $\delta \mathbf {r}$ отклонение от соприкасающейся орбиты,

$\delta \mathbf {r} =\mathbf {r} -{\boldsymbol {\rho }},$ и движения уравнение $\delta \mathbf {r}$ это просто ( 1 )

${\ddot {\delta \mathbf {r} }}=\mathbf {\ddot {r}} -{\boldsymbol {\ddot {\rho }}}.$ ( 2 )

$\mathbf {\ddot {r}}$ и ${\boldsymbol {\ddot {\rho }}}$ это просто уравнения движения $\mathbf {r}$ и ${\boldsymbol {\rho }}$,

$\mathbf {\ddot {r}} =\mathbf {a} _{\text{per}}-{\mu \over r^{3}}\mathbf {r}$ для возмущенной орбиты и ( 3 )

${\boldsymbol {\ddot {\rho }}}=-{\mu \over \rho ^{3}}{\boldsymbol {\rho }}$ для невозмущенной орбиты, ( 4 )

где $\mu =G(M+m)$ гравитационный параметр с $M$ и $m$ массы , центрального тела и возмущенного тела $\mathbf {a} _{\text{per}}$ – возмущающее ускорение , а $r$ и $\rho$ являются величины $\mathbf {r}$ и ${\boldsymbol {\rho }}$.

Подставляя уравнения ( 3 ) и ( 4 ) в уравнение ( 2 ),

${\ddot {\delta \mathbf {r} }}=\mathbf {a} _{\text{per}}+\mu \left({{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}\right),$ ( 5 )

которое теоретически можно было бы проинтегрировать дважды, чтобы найти $\delta \mathbf {r}$. Поскольку соприкасающаяся орбита легко вычисляется методами двух тел, ${\boldsymbol {\rho }}$ и $\delta \mathbf {r}$ учитываются и $\mathbf {r}$ можно решить. На практике количество в скобках ${{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}$, является разницей двух почти равных векторов, и необходимы дальнейшие манипуляции, чтобы избежать необходимости использования дополнительных значащих цифр .

Метод Сперлинга – Бурде

В 1991 году Виктор Р. Бонд и Майкл Ф. Фрайетта создали эффективный и высокоточный метод решения возмущенной задачи двух тел. Этот метод использует линеаризованные и регуляризованные дифференциальные уравнения движения, выведенные Гансом Сперлингом, и теорию возмущений, основанную на этих уравнениях, разработанную К. А. Бурдетом в 1864 году. В 1973 году Бонд и Ханссен усовершенствовали систему дифференциальных уравнений Бурдета, используя полную энергию возмущенную систему в качестве параметра вместо энергии двух тел и за счет уменьшения количества элементов до 13. В 1989 году Бонд и Готлиб встроили интеграл Якобиана, который является константой, когда потенциальная функция явно зависит как от времени, так и от положения. в уравнениях Ньютона. Константа Якоби использовалась как элемент для замены полной энергии при переформулировке дифференциальных уравнений движения. В этом процессе вводится еще один элемент, пропорциональный компоненту углового момента. В результате общее количество элементов вернулось к 14. В 1991 году Бонд и Фрайетта внесли дальнейшие изменения, заменив вектор Лапласа другим векторным интегралом, а также другим скалярным интегралом, который удалил небольшие вековые члены, которые появлялись в дифференциальных уравнениях для некоторых из элементов. элементы.

Метод Сперлинга-Бурде выполняется в 5 этапов следующим образом:

Шаг 1: Инициализация

Учитывая исходное положение, $\mathbf {r} _{0}$, начальная скорость, $\mathbf {v} _{0}$, и начальный момент времени, $t_{0}$, инициализируются следующие переменные:

$s=0$

$r_{0}=(\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {r} _{0})^{1/2}$

$a=r_{0}$

$b=\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0}$

$\tau =t_{0}$

${\boldsymbol {\alpha }}=\mathbf {r} _{0}$

${\boldsymbol {\beta }}=a\mathbf {v} _{0}$

Возмущения, вызванные возмущающими массами, определяемыми как $V_{0}$ и ${\Bigg [}{\partial {V} \over {\partial {\mathbf {r} }}}{\Bigg ]}_{0}$, оцениваются

Возмущения, вызванные другими ускорениями, определяемыми как $\mathbf {P} _{0}$, оцениваются

$\alpha _{J}={\frac {2\mu }{r_{0}}}-\mathbf {v} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0}-2V_{0}$

$\gamma =\mu -\alpha _{J}a$

${\boldsymbol {\delta }}=-(\mathbf {v} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0})\mathbf {r} _{0}+(\mathbf {r} _{0}\cdot \mathbf {v} _{0})\mathbf {v} _{0}+{\frac {\mu }{r_{0}}}\mathbf {r} _{0}-\alpha _{J}\mathbf {r} _{0}$

$\sigma =0$

Шаг 2. Преобразование элементов в координаты

$\mathbf {r} ={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\beta }}sc_{1}+{\boldsymbol {\delta }}s^{2}c_{2}$

$\mathbf {r'} ={\boldsymbol {\beta }}c_{0}+{\boldsymbol {\delta }}sc_{1}$

$\mathbf {x} _{3}=\alpha _{J}({\boldsymbol {\alpha }}-\mathbf {r} )+{\boldsymbol {\delta }}$

$\gamma =\mu -\alpha _{J}a$

$r=a+bsc_{1}+\gamma s^{2}c_{2}$

$\mathbf {v} =\mathbf {r'} /r$

$r'=bc_{0}+\gamma sc_{1}$

$t=\tau +as+bs^{2}c_{2}+\gamma s^{3}c_{3}$

где $c_{0},c_{1},c_{2},c_{3}$ являются функциями Штумпфа

Шаг 3: Оцените дифференциальные уравнения для элементов

$\mathbf {F} =\mathbf {P} -{\partial {V} \over \partial {\mathbf {r} }}$

$\mathbf {Q} =r^{2}\mathbf {F} +2\mathbf {r} (-V+\sigma )$

$\alpha '_{J}=2(-\mathbf {r'} +r{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {P}$

$\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'=2(\mathbf {r'} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {F} )\mathbf {r'} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} )\mathbf {F}$

${\boldsymbol {\alpha }}'=-\mathbf {Q} sc_{1}-\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'s^{2}c_{2}-\alpha '_{J}{\big [}{\boldsymbol {\alpha }}s^{2}c_{2}+2{\boldsymbol {\beta }}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}$

${\boldsymbol {\beta }}'=\mathbf {Q} c_{0}+\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'sc_{1}+\alpha '_{J}{\big [}{\boldsymbol {\alpha }}sc_{1}+{\boldsymbol {\beta }}s^{2}{\bar {c}}_{2}-{\boldsymbol {\delta }}s^{3}(2{\bar {c}}_{3}-c_{1}c_{2}){\big ]}$

${\boldsymbol {\delta }}'=\mathbf {Q} \alpha _{J}sc_{1}-\mu {\boldsymbol {\epsilon }}'c_{0}+\alpha '_{J}{\big [}-{\boldsymbol {\alpha }}c_{0}+2\alpha _{J}{\boldsymbol {\beta }}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\alpha _{J}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}$

$\sigma '=r{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} \times \mathbf {F}$

$a'=-{\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} sc_{1}-\alpha _{J}'{\big [}as^{2}c_{2}+2bs^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}\gamma s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}$

$b'={\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} c_{0}+\alpha _{J}'{\big [}asc_{1}+bs^{2}{\bar {c}}_{2}-\gamma s^{3}(2{\bar {c}}_{3}-c_{1}c_{2}){\big ]}$

$\gamma '=-{\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} \alpha _{J}sc_{1}+\alpha _{J}'{\big [}-ac_{0}+2b\alpha _{J}s^{3}{\bar {c}}_{3}+{\frac {1}{2}}\gamma \alpha _{J}s^{4}c_{2}^{2}{\big ]}$

$\tau '={\frac {1}{r}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {Q} s^{2}c_{2}+\alpha _{J}'{\big [}as^{3}c_{3}+{\frac {1}{2}}bs^{4}c_{2}^{2}-2\gamma s^{5}(c_{5}-4{\bar {c}}_{5}){\big ]}$

Шаг 4: Интеграция

Здесь дифференциальные уравнения интегрируются за период $\Delta s$ чтобы получить значение элемента в $s+\Delta s$

Шаг 5: Продвижение

Набор $s=s+\Delta s$ и возвращаемся к шагу 2, пока не будут выполнены условия остановки моделирования.

Возмущения

Основные статьи: Орбита § Пертурбации и Пертурбации (астрономия)

Возмущающие силы заставляют орбиты отклоняться от идеальной кеплеровской орбиты. Модели для каждой из этих сил создаются и выполняются во время моделирования орбиты, поэтому можно определить их влияние на орбиту.

Несферическая гравитация

Земля не является идеальной сферой, и масса внутри Земли распределена неравномерно. Это приводит к тому, что модель гравитации точечной массы оказывается неточной для орбит вокруг Земли, особенно для низких околоземных орбит . Чтобы учесть изменения гравитационного потенциала вокруг поверхности Земли, гравитационное поле Земли моделируется с помощью сферических гармоник. которые выражаются уравнением:

${\mathbf {f} }=-{\frac {\mu }{R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} +\sum _{n=2}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}{\mathbf {f} }_{n,m}$

где

${\mu }$ — гравитационный параметр, определяемый как произведение G, универсальной гравитационной постоянной и массы первичного тела.

$\mathbf {\hat {r}}$ - единичный вектор, определяющий расстояние между первичным и вторичным телами, при этом ${R}$ является величиной расстояния.

${\mathbf {f} }_{n,m}$ представляет собой вклад в ${\mathbf {f} }$ сферической гармоники степени n и порядка m , которая определяется как:

${\begin{aligned}\mathbf {f} _{n,m}&={\frac {\mu R_{O}^{2}}{R^{n+m+1}}}\left({\frac {C_{n,m}{\mathcal {C}}_{m}+S_{n,m}{\mathcal {S}}_{m}}{R}}(A_{n,m+1}\mathbf {\hat {e}} _{3}-\left(s_{\lambda }A_{n,m+1}+(n+m+1)A_{n,m}\right)\mathbf {\hat {r}} \right)\\[10pt]&{}\quad {}+mA_{n,m}((C_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}+S_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{1}+(S_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}-C_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{2}))\end{aligned}}$

где:

$R_{O}$ — средний экваториальный радиус главного тела.

$R$ — величина вектора положения от центра первичного тела к центру вторичного тела.

$C_{n,m}$ и $S_{n,m}$ — гравитационные коэффициенты степени n и порядка m . Обычно их обнаруживают посредством гравиметрических измерений.

Единичные векторы $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ определить систему координат, закрепленную на основном теле. Для Земли, $\mathbf {\hat {e}} _{1}$ лежит в экваториальной плоскости, параллельной линии, пересекающей геометрический центр Земли и Гринвичский меридиан , $\mathbf {\hat {e}} _{3}$ точки в направлении северной полярной оси, и $\mathbf {\hat {e}} _{2}=\mathbf {\hat {e}} _{3}\times \mathbf {\hat {e}} _{1}$

$A_{n,m}$ называется производным полиномом Лежандра степени n и порядка m . Они решаются через рекуррентное соотношение : $A_{n,m}(u)={\frac {1}{n-m}}((2n-1)uA_{n-1,m}(u)-(n+m-1)A_{n-2,m}(u))$

$s_{\lambda }$ является синус географической широты вторичного тела, которое $\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{3}$.

${\mathcal {C}}_{m},{\mathcal {S}}_{m}$ определяются со следующим рекуррентным соотношением и начальными условиями: ${\mathcal {C}}_{m}={\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}-{\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{m}={\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}+{\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{0}=0,{\mathcal {S}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{2},{\mathcal {C}}_{0}=1,{\mathcal {C}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{1}$

При моделировании возмущений орбиты вокруг основного тела учитывается только сумма ${\mathbf {f} }_{n,m}$ члены должны быть включены в возмущение, поскольку гравитационная модель точечной массы учитывается в $-{\frac {\mu }{R^{2}}}\mathbf {\hat {r}}$ срок

Возмущения третьего тела

Гравитационные силы третьих тел могут вызвать возмущения орбиты. Например, Солнце и Луна вызывают возмущения орбит вокруг Земли. Эти силы моделируются так же, как гравитация моделируется для основного тела посредством прямого моделирования гравитационного N-тела . Обычно для моделирования эффектов от этих третьих тел используется только сферическая гравитационная модель точечной массы. Некоторые частные случаи возмущений третьего тела имеют приближенные аналитические решения. Например, возмущения для прямого восхождения восходящего узла и аргумента перигея для круговой орбиты Земли составляют:

${\dot {\Omega }}_{\mathrm {MOON} }=-0.00338(\cos(i))/n$

${\dot {\omega }}_{\mathrm {MOON} }=-0.00169(4-5\sin ^{2}(i))/n$

где:

${\dot {\Omega }}$ — изменение прямого восхождения восходящего узла в градусах за сутки.

${\dot {\omega }}$ — изменение аргумента перигея в градусах в день.

$i$ это наклонение орбиты.

$n$ — количество орбитальных оборотов в день.

Солнечное излучение

Основная статья: Радиационное давление

Давление солнечной радиации вызывает возмущения орбит. Величина ускорения, которое он сообщает космическому кораблю на околоземной орбите, моделируется с использованием приведенного ниже уравнения:

$a_{R}\approx -4.5\times 10^{-6}(1+r)A/m$

где:

$a_{R}$ — величина ускорения в метрах на секунду в квадрате.

$A$ — площадь поперечного сечения, подвергающаяся воздействию Солнца, в квадратных метрах.

$m$ — масса космического корабля в килограммах .

$r$ коэффициент отражения, который зависит от свойств материала. $r=0$ для поглощения, $r=1$ для зеркального отражения и $r\approx 0.4$ для диффузного отражения.

На орбитах вокруг Земли давление солнечной радиации становится более сильной силой, чем сопротивление на высоте более 800 км.

Движение

Основная статья: Двигательная установка космического корабля

Существует множество различных типов двигателей космических кораблей. Ракетные двигатели являются одними из наиболее широко используемых. Сила ракетного двигателя моделируется уравнением:

$F_{n}={\dot {m}}\;v_{\text{e}}={\dot {m}}\;v_{\text{e-act}}+A_{\text{e}}(p_{\text{e}}-p_{\text{amb}})$

где:
${\dot {m}}$	= массовый расход выхлопных газов
$v_{\text{e}}$	= эффективная скорость выхлопа
$v_{\text{e-act}}$	= фактическая скорость струи в плоскости выхода из сопла
$A_{\text{e}}$	= площадь потока в плоскости выхода из сопла (или плоскости, в которой струя выходит из сопла, если поток разделен)
$p_{\text{e}}$	= статическое давление в плоскости среза сопла
$p_{\text{amb}}$	= окружающее (или атмосферное) давление

Другой возможный метод — солнечный парус . Солнечные паруса используют радиационное давление для достижения желаемой движущей силы. Модель возмущения, вызванного солнечным ветром, можно использовать как модель движущей силы солнечного паруса.

Тащить

Основная статья: Перетаскивание (физика)

Основной негравитационной силой, действующей на спутники на низкой околоземной орбите, является атмосферное сопротивление. Сопротивление будет действовать против направления скорости и удалять энергию с орбиты. Сила сопротивления моделируется следующим уравнением:

$F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{d}\,A,$

где

$\mathbf {F} _{D}$ это сила сопротивления,

$\mathbf {} \rho$ - плотность жидкости,

$\mathbf {} v$ - скорость объекта относительно жидкости,

$\mathbf {} C_{d}$ — коэффициент сопротивления ( безразмерный параметр , например от 2 до 4 для большинства спутников). )

$\mathbf {} A$ это эталонная область .

Орбиты высотой менее 120 км обычно имеют настолько высокое сопротивление, что орбиты затухают слишком быстро, чтобы дать спутнику срок службы, достаточный для выполнения какой-либо практической миссии. С другой стороны, орбиты высотой более 600 км имеют относительно небольшое сопротивление, поэтому орбита затухает достаточно медленно, чтобы не оказывать реального воздействия на спутник в течение его срока службы. Плотность воздуха может значительно различаться в термосфере , где находится большинство низкоорбитальных спутников. Изменение в первую очередь связано с солнечной активностью, и, таким образом, солнечная активность может сильно влиять на силу сопротивления космического корабля и усложнять долгосрочное моделирование орбиты.

Магнитные поля

Магнитные поля могут играть значительную роль в качестве источника возмущений орбиты, как это было замечено в Центре длительного воздействия . Как и гравитация, магнитное поле Земли можно выразить через сферические гармоники, как показано ниже:

${\mathbf {B} }=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}{\mathbf {B} }_{n,m}$

где

${\mathbf {B} }$ — вектор магнитного поля в точке над поверхностью Земли.

${\mathbf {B} }_{n,m}$ представляет собой вклад в ${\mathbf {B} }$ сферической гармоники степени n и порядка m , определяемой как:

${\begin{aligned}\mathbf {B} _{n,m}={}&{\frac {K_{n,m}a^{n+2}}{R^{n+m+1}}}\left[{\frac {g_{n,m}{\mathcal {C}}_{m}+h_{n,m}{\mathcal {S}}_{m}}{R}}((s_{\lambda }A_{n,m+1}+(n+m+1)A_{n,m})\mathbf {\hat {r}} )-A_{n,m+1}\mathbf {\hat {e}} _{3}\right]\\[10pt]&{}-mA_{n,m}((g_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}+h_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{1}+(h_{n,m}{\mathcal {C}}_{m-1}-g_{n,m}{\mathcal {S}}_{m-1})\mathbf {\hat {e}} _{2}))\end{aligned}}$

где:

$a$ — средний экваториальный радиус главного тела.

$R$ — величина вектора положения от центра первичного тела к центру вторичного тела.

$\mathbf {\hat {r}}$ — единичный вектор в направлении вторичного тела с началом в центре первичного тела.

$g_{n,m}$ и $h_{n,m}$ — коэффициенты Гаусса степени n и порядка m . Обычно их обнаруживают посредством измерений магнитного поля .

Единичные векторы $\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}$ определить систему координат, закрепленную на основном теле. Для Земли, $\mathbf {\hat {e}} _{1}$ лежит в экваториальной плоскости, параллельной линии, пересекающей геометрический центр Земли и Гринвичский меридиан , $\mathbf {\hat {e}} _{3}$ точки в направлении северной полярной оси, и $\mathbf {\hat {e}} _{2}=\mathbf {\hat {e}} _{3}\times \mathbf {\hat {e}} _{1}$

$A_{n,m}$ называется производным полиномом Лежандра степени n и порядка m . Они решаются через рекуррентное соотношение: $A_{n,m}(u)={\frac {1}{n-m}}((2n-1)uA_{n-1,m}(u)-(n+m-1)A_{n-2,m}(u))$

$K_{n,m}$ определяется как: 1, если m = 0, ${\big [}{\frac {n-m}{n+m}}{\big ]}^{0.5}K_{n-1,m}$ для $n\geq (m+1)$ и $m=[1\ldots \infty ]$ , и $[(n+m)(n-m+1)]^{-0.5}K_{n,m-1}$ для $n\geq m$ и $m=[2\ldots \infty ]$

$s_{\lambda }$ является синус географической широты вторичного тела, которое $\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{3}$.

${\mathcal {C}}_{m},{\mathcal {S}}_{m}$ определяются со следующим рекуррентным соотношением и начальными условиями: ${\mathcal {C}}_{m}={\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}-{\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{m}={\mathcal {S}}_{1}{\mathcal {C}}_{m-1}+{\mathcal {C}}_{1}{\mathcal {S}}_{m-1},{\mathcal {S}}_{0}=0,{\mathcal {S}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{2},{\mathcal {C}}_{0}=1,{\mathcal {C}}_{1}=\mathbf {R} \cdot \mathbf {\hat {e}} _{1}$

См. также

• проблема с n-телом
• Орбитальный резонанс
• Соприкасающаяся орбита
• Возмущение (астрономия)
• Сфера влияния (астродинамика)
• Задача двух тел

Внешние ссылки

• [1] Гравитационные карты Земли .