Равноугольная карта

В дифференциальной геометрии эквиплощадная карта , иногда называемая аутентичной картой , представляет собой гладкое отображение одной поверхности на другую, сохраняющее площади фигур.

Характеристики

Если M и N — две римановы (или псевдоримановы ) поверхности, то равноплощадное отображение f из M в N может быть охарактеризовано любым из следующих эквивалентных условий:

Площадь поверхности f U ( для ) равна площади U любого открытого U на M. множества
Откат , элемента площади µ _N на N равен µ _M элемента площади на M .
В каждой точке p из M и касательных векторах v и w к M в точке p ,

${\bigl |}df_{p}(v)\wedge df_{p}(w){\bigr |}=|v\wedge w|\,$

где ${\textstyle \wedge }$ обозначает евклидово клиновое произведение векторов, а df обозначает движение вперед вдоль f .

Пример

Примером равноплощадной карты Архимеда Сиракузского является проекция единичной сферы x. ² + и ² + я ² = 1 к единичному цилиндру x ² + и ² = 1 наружу от их общей оси. Явная формула

f(x,y,z)=\left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},z\right)

для ( x , y , z ) точки на единичной сфере.

Линейные преобразования

Любая евклидова изометрия евклидовой плоскости эквиареальна, но обратное неверно. Фактически, карты сдвига и отображения сжатия являются контрпримерами обратного.

Отображение сдвига преобразует прямоугольник в параллелограмм той же площади. Записанное в матричной форме отображение сдвига вдоль $оси x$ имеет вид

{\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.

Отображение сжатия удлиняет и сжимает стороны прямоугольника обратным образом, так что область сохраняется. Записанное в матричной форме, при λ > 1 сжатие имеет вид

{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}

Линейное преобразование ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ умножает площади на абсолютное значение своего определителя $| объявление - до н.э. |$ .

Метод исключения Гаусса показывает, что каждое равноплощадное линейное преобразование ( включая вращения ) можно получить, сложив не более двух сдвигов вдоль осей, сжатия и (если определитель отрицательный) отражения .

В картографических проекциях

В контексте географических карт называется проекция карты равновеликой , эквивалентной , аутентичной , равноплощадной или сохраняющей площадь , если площади сохраняются с точностью до постоянного коэффициента; встраивание целевой карты, обычно рассматриваемой как подмножество R ², очевидным образом в R ³, тогда вышеуказанное требование ослабляется до:

|df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|

для некоторого κ > 0, не зависящего от $v$ и $w$ .Примеры таких проекций см. в разделе Равновеликая картографическая проекция .

См. также

Матрица Якобиана и определитель

Ссылки

Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , Серия студентов по математике Springer, Лондон: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8 , МР 1800436